1 VIII Le hamp életromagnétique 4. Le quadriveteur densité de harge densité de ourant. Les équations de Maxwell peuvent être divisées en deux groupes: des équations sans soure (première ligne) et des équations ave soures (deuxième ligne): (4-1) B = 0 E = ρ ε B E = - 1 E B = µ 0 j + t 0 où ρ est la densité de harge et j la densité de ourant. Dérivant la première équation ave soures par rapport au temps et prenant la divergene de la seonde on obtient l'équation de onservation de la harge (4-) ρ + j = 0. On reonnaît dans ette équation une divergene. Nous pouvons don interpréter (4-) de la façon suivante: j et ρ forment un quadriveteur à divergene nulle (quadriourant). Sa norme invariante est (4-3) ρ - j = ρ 0. (4-) est d'autre part très semblable à l'équation de ontinuité de l'hydrodynamique qui traduit la onservation du nombre de partiules n + ( nv) = 0 et que nous interprétons: nv et n forment également un quadriveteur à divergene nulle. Or l'expériene (Millikan) nous apprend qu'il existe une harge élémentaire e (=1.6 10-19 Coulomb). La densité de ourant résulte du bilan du mouvement des harges. Imaginons que le ourant ne soit dû qu'au déplaement d'életrons (haun portant la harge - e). Un élément fluide du gaz d'életrons est animé de la vitesse v dans R. Loalement:
ρ = - ne j = - nev. Nous sommes don fondés à admettre que la harge élémentaire e a un statut d'invariant relativiste. Ce point aquis montrons que j et ρ forment bien un quadriveteur et que nous obtenons ainsi une formulation ohérente. Supposons la vitesse v uniforme. Alors la densité partiulaire dans R tient ompte de la ontration de Fitzgerald Lorentz n = n 0 1 - v = n 0 γ v où n 0 est la densité qu'aurait le gaz d'életrons en l'absene de mouvement d'ensemble. Dans es onditions ρ = - en = - en 0 γ v j = - env = - en 0 γ v v. (jρ) est le produit de -en 0 par la quadrivitesse. C'est un quadriveteur. On le vérifie diretement en onsidérant un référentiel R' se déplaçant par rapport à R ave la vitesse u parallèle à v on a d'abord la relation entre fateurs de Lorentz: d'où toutes les vitesses étant parallèles: γ v' = γ u γ v (1 - uv ) j' = - en 0 γ v' v' = - en 0 γ u γ v (v - u) = - en 0 γ u (γ v v - β u γ v ) = γ u (j - β u ρ). De même: de sorte que: ρ' = - en 0 γ v' = - en 0 γ u γ v (1 - uv ) ρ' = - en 0 γ u (- β u vγ v + γ v ) = γ u (- β u j + ρ). j et ρ obéissent à la transformation de Lorentz. C.Q.F.D.
3 43. Le quadripotentiel. Les équations de Maxwell sont érites en termes de hamps életrique et magnétique dérivant d'un potentiel salaire φ et d'un potentiel veteur A selon les relations : E = - φ - A B = A. Utilisant es égalités dans les équations ave soures il vient : - φ - A = ρ ε 0 ( A) = A ( ) - A = µ 0 j - 1 φ - 1 A. Après arrangement: 1 φ - φ - 1 φ + A = ρ ε 0 1 A - A = µ 0 j - 1 φ + A. Sous la ondition: (43-1) 1 φ + A = 0 qui définit la jauge de Lorentz on trouve deux équations déouplées de même forme en φ et A: 1 φ - φ = ρ ε 0 (43-) 1 A - A = µ 0 j = j ε 0. Or j et ρ forment un quadriveteur et d'autre part les opérateurs différentiels des premiers membres sont invariants par transformation de Lorentz. Les équations (43-) sont invariantes par transformation de Lorentz. Il en est évidemment de même pour les équations de Maxwell dont elles sont issues. Ainsi A et φ forment un quadriveteur dont (43-1) nous montre qu il est à divergene nulle. Ce quadriveteur le quadripotentiel se transforme par:
4 A' x' = γ A x - β φ A' y' = A y A' z' = A z φ' = γ - βa x + φ. 44. Transformation du hamp életromagnétique. Pour passer des hamps E et B dans le référentiel R à es mêmes hamps dans un référentiel R' nous allons utiliser la transformation de Lorentz pour le quadripotentiel et appliquer les formules de transformation des dérivées premières = γ x' x + β = γ β ' x + aux expressions des hamps dérivant du quadripotentiel. On trouve ainsi E' x' = - x' φ' - A' x' ' ( ) = - γ 1 - β φ x + A x = E x. Pour les autres omposantes: E' y' = - y' φ' - A' y' ' = - γ φ y + A y + γu A x y - A y x = γ ( E y - ub z ) E' z' = γ ( E z + ub y ). On alule de même: B' x' = A' z' y' - A' y' z' = A z y - A y z = B x puis: B' y' = A' x' z' - A' z' x' = γ B x + u E z = γ A x z - A z x - γ u φ z + A z
5 B' z' = γ B z - u E y. On reonnaît dans le seond membre des formules orrespondant aux omposantes des hamps orthogonales au mouvement du référentiel R' les omposantes des produits vetoriels u B et u On érit don la transformation du hamp E. életromagnétique lors d'un hangement de référentiel d'inertie : E' x' = E x B' x' = B x E' y' = γ E + u B y B' y' = γ B - u E y E' z' = γ E + u B z B' z' = γ B - u E z Une forme plus ompate s'obtient en déomposant les veteurs en une omposante parallèle à la vitesse u de translation du référentiel mobile et une omposante orthogonale. E = E // + E B = B // + B. Ainsi: E' // = E // B' // = B // (44-1) E' = γ E + u B B' = γ B - u E. La transformation des hamps életrique et magnétique n'est évidemment pas elle de Lorentz. E et B y apparaissent indissoiables. Ce sont deux aspets d'une même réalité: l'interation életromagnétique dont la loi de fore s'exprime à l'aide de es deux hamps. Sur une partiule hargée s'exere la fore de Lorentz: F = q(e + v B) à partir de laquelle on peut onstruire le quadriveteur fore travail (C.F. 8) γ v F = γ v q(e + v B) γ v (F v) = γ v q(e v). La dernière égalité est justifiée par le fait que v est orthogonale au produit vetoriel v B.
6 Ni E ni B ne sont des quadriveteurs. Il existe ependant deux invariants du hamp. D'abord: E' - B' = E' // + E' - B' // - B' = E // + γ (E + u B) - B // - γ (B - u E/ ). Or: u B = (βb ) et u E/ = (βe ) / de sorte que les termes roisés s'éliminent et: E' - B' = E // + γ (1 - β )E - B // - γ (1 - β )B = E - B. Ensuite: E' B' = E x B x + γ E y -ub z B y + u E z + γ E z +ub y B z - u E y = E x B x + γ (1 - β )E y B y + γ (1 - β )E z B z = E B. On a don finalement les deux invariants: E - B et E B. 45. Le tenseur du hamp életromagnétique. Forme tensorielle des équations. Tel qu il vient d être présenté le hamp életromagnétique est dérit par des objets mathématiques veteurs qui s insrivent dans l espae physique à 3 dimensions. Il onvient maintenant de reherher quels objets représentent e hamp dans l espaetemps à 4 dimensions de la relativité restreinte. Or les hamps életrique et magnétique dérivent du quadripotentiel. On les obtient en proédant à des différeniations réérites ii par exemple pour les omposantes suivant Ox: E x = - A x t - φ x = - 0 A 1-1 A 0 ( ) B x = A z y - A y z = -( A 3-3 A ). Ces omposantes qui dépendent de deux indies sont les éléments d un tenseur du seond ordre antisymétrique deux fois ontravariant. En effet on obtient immédiatement
7 F 01 = 0 A 1-1 A 0 = - E x = - F 10 F 3 = A 3-3 A = - B x = - F 3. La forme généralement adoptée du tenseur du hamp életromagnétique s érit ( F µν ) = 0 - E x - E y - E z E x 0 - B z B y E y B z 0 - B x E z - B y B x 0. Le tenseur doublement ovariant assoié est obtenu en appliquant la règle F µν = g µο g ντ F στ. Il s érit ( F µν ) = 0 E x E y E z - E x 0 - B z B y - E y B z 0 - B x - E z - B y B x 0 différent du préédent par hangement de signe des omposantes életriques. Les omposantes életriques E x E y et E z forment un veteur polaire (vrai veteur dont les omposantes hangent de signe lorsqu on inverse le sens des axes)) dans l espae physique tridimensionnel tandis que les omposantes magnétiques forment un tenseur antisymétrique de rang 3 qui est aussi un veteur axial (pseudo veteur dont les omposantes ne hangent pas de signe par réflexion propriété du produit vetoriel ) dans e même espae. On peut don érire de façon onise: Les équations de Maxwell ave soures ( F µν ) = (- E B) ; ( F µν ) = ( E B). E = ρ ε B - 1 E = t 0 ε 0 j ont également une expression tensorielle. La première est aussi µ F 0µ = j 0 ε 0
tandis que haune des omposantes de la seonde peut se mettre sous la forme 8 µ F iµ = j i ε 0 (i = 13). Dans es équations le quadriveteur ourant est (ρ j ). On peut don énoner que la divergene du tenseur du hamp est égale au quadriourant divisé par ε 0. soit: µ F νµ = j ν ε 0. (45-1) Pour l autre paire d équations sans soures E + B t = 0 B = 0 on onstate d abord que la dernière est 1 F 3 + F 31 + 3 F 1 = 0. De même par exemple la omposante suivant Ox de la première est F 30 + 3 F 0 + 0 F 3 = 0. On aura finalement 4 équations de forme µ F νσ + ν F σµ + σ F µν = 0 (45-) où les indies doivent être tous différents. L ensemble (45-1) (45-) onstitue la forme tensorielle ovariante des équations du hamp életromagnétique. Assoiés à elui-i la densité d énergie et la densité de flux d énergie s érivent dans l espae physique à 3 dimensions U = ε 0 Φ = E B µ 0. ( E + B ) Dans l espae-temps à 4 dimensions on a affaire à un tenseur d énergie impulsion (présenté ii sans démonstration) dont l expression générale des omposantes est T µν = ε 0 g µσ F στ F τν + gµν 4 F στ F στ.
9 Ce tenseur est symétrique. On notera que: T 00 = ε 0 T 0i = E B T ij = ε 0 µ 0 ( E + B ) densité d' énergie i omposante du veteur de Poynting E i E j + B i B j - δ ij ( E + B ). Passons enfin à l équation du mouvement d une harge életrique q dans un hamp életromagnétique. Dans l espae physique à 3 dimensions elle est soumise à la fore de Lorentz et le mouvement obéit à l équation dp dt = q ( E + v B). Considérons l équation relative à la omposante suivant Ox par exemple et multiplions les deux membres par γ v. Alors γ v dp x dt = dp1 dt 0 = q ( E x γ v + γ v v y B z - γ v v z B y ) = q ( F 1µ v µ ) où p 1 et v 1 sont les omposantes suivant Ox de la quadri-impulsion (E p) et de la quadrivitesse (γ v γ v v) respetivement et t 0 est le temps propre. Multipliant maintenant le travail de la fore par γ v il vient (C.F. 8) F γ v v = γ v m 0 dγ v dt = dp0 dt 0 = q ( E x γ v v x ) = q F 0µ v µ. D où l équation du mouvement érite sous forme ovariante dans l espae-temps à quatre dimensions dp µ dt 0 = q F µν v ν. (45-3)