Schéma d Euler pour les EDS

Schéma d Euler pour les EDS Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) ENSA AGADIR Décembre 2008 hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 1 / 34

Plan Chapitre 1: Le schéma d Euler pour les EDO Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Le schéma d Euler Résultats de convergence Le cas du CIR Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 2 / 34

Bibliographie BALLY, V. AND TALAY, D. : The law of the Euler scheme for stochastic differential equations (I) : convergence rate of the distribution function. Probability Theory and Related Fields, 104 :43-60, 1995. N. BOULEAU, D. TALAY : Probabilités numériques, INRIA, 1992. D. LAMBERTON, B. LAPEYRE: Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Second edition, Ellipses, Paris, 1997. B. LAPEYRE, E TEMAM: Competitive Monte Carlo Method for the pricing of asian options, Journal of computational finance, 2002. PAGÈS G., Multi-step Richardson-Romberg Extrapolation : Remarks on Variance Control and Complexity, prépublication PMA, 2006. L.C.G ROGERS, D. WILLIAMS : Diffusions, Marvov processes and Martingales, Vol 1. Foundations, Springer, Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2000. TALAY, D. AND TUBARO, L. : Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differential equations. Stochastic Anal. Appl. 8(4) :483-509, 1990. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 3 / 34

Plan 1 Le schéma d Euler pour les EDO Le schéma d Euler pour les EDO 2 Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Résultat d existence Le schéma d Euler Le schéma d Euler Résultats de convergence 3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 4 / 34

Le schéma d Euler pour les EDO On considère l équation differentielle ordinaire (EDO) suivante : y (t) = f (t, y(t)); y(0) = x 0. Lorsque qu il n y a pas de solution explicite on peut construire un schéma d approximation sur [0, T ] : On se donne une subdivision, ici, {t 0 = 0, t 1 = T N,..., t N = T }. On approxime la solution aux points de la subdivision ŷ(0) = x 0 ŷ(t k ) = ŷ(t k 1 ) + T N f (t k 1, ŷ(t k 1 )). On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire par morceaux passant par les points (t k, ŷ(t k )) 0 k N. Sous des hypothèses très faible sur la régularité de f y ŷ 0 N Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 5 / 34

Le schéma d Euler pour les EDO hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 6 / 34

Les EDS On considère un mouvement Brownien (MB) d dimensionnel (W t ) t [0,T ] i.e W t = B 1 t.. B d t où B 1,..., B d sont des Browniens indépendants. Une équation differentielle stochastique (EDS) est une équation de la forme X 0 = x 0 R n (E) dx t = b(t, X t )dt + σ(t, X t )dw t où b : R + R n R n σ : R + R n M n d (R). Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 8 / 34

Les EDS Exemples: Black-Scholes (d = 1, n = 1, b(t, x) = rx, σ(t, x) = σx) ds t = rs t dt + σs t dw t. Modèles à volatilité locale (d = 1, n = 1) ds t = rs t dt + σ(t, X t )X t dw t. Modèles à volatilité stochastique (d = 2, n = 2, ρ [0, 1]) [ ] [ ] [ ] St µ(t, St ) σt S d = dt + t 0 dw a(t, σ t ) ρ b(t, σ t ) 1 ρ b(t, σt ) t σ t Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 9 / 34

Les EDS Définition Une solution à l équation (E) est un processus vectoriel (X t ) t [0,T ] adapté à la filtration Brownienne tel que T 0 b(s, X s) + σ(s, X s ) 2 ds < p.s t [0, T ], t t X t = x + b(s, X s )ds + σ(s, X s )dws p.s 0 0 hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 10 / 34

Les EDS: Résultat d existence Proposition Sous l hypothèse K > 0, t [0, T ], (x, y) (R n ) 2 b(t, x) b(t, y) + σ(t, x) σ(t, y) K x y H 1 b(t, x) + σ(t, x) K (1 + x ) l équation (E) admet une unique solution (X t ) t [0,T ] vérifiant [ ] E sup Xs 2 s [0,T ] <. L hypothèse H 1 est suffisante mais pas nécéssaire cf avec (a, b, σ, r 0 ) R +. (CIR): dr t = a(b r t )dt + σ r t dw t hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 12 / 34

Les EDS D un point de vue pratique nous avons souvent à calculer des quantités du type où (X t ) t R+ est solution de (E). La méthode MC nous assure que Problèmes: E[f (X T )] E[f (X T )] 1 M La loi de (X t ) est souvent inconnue M f (XT i ). Impossible de simuler en temps continu Discrétisation i=1 Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 14 / 34

Le Schéma d Euler Définition Pour N N, On se donne une subdivision, ici, {t 0 = 0, t 1 = T N,..., t N = T }. On approxime la solution aux points de la subdivision par ˆX N (0) = x 0 ˆX N (t k ) = ˆX N (t k 1 ) + T N b(t k 1, ˆX N (t k 1 )) + σ(t k 1, ˆX N (t k 1 ))(W tk W tk 1 ). On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire par morceaux passant par les points (t k, ˆX N (t k )) 0 k N : t [t k, t k+1 ], ˆX N (t) = ˆX N (t k ) + (t t k )b(t k, ˆX N (t k )) + σ(t k, ˆX N (t k ))(W t W tk ). hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 16 / 34

Le Schéma d Euler La mise en oeuvre pratique est très simple. Il suffit de générer N vecteurs gaussiens indépéndents et considérer G i N (0, Id n n ) W ti W ti 1 = t i t i 1 G i. Dans le cas Black-Scholes le schéma est donné en chaque pas de la subdivision par ˆX N (t k ) = ˆX N (t k 1 )[1 + T b N + σ(w t k W tk 1 )]. Lorsque l on sait simuler de manière exacte une diffusion en temps discret le schéma d Euler est inutile. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 18 / 34

Convergence forte du schéma d Euler On considère l hypothèse suivante K > 0, α > 0, (t, s) [0, T ] 2, x R n H 2 b(t, x) b(s, x) + σ(t, x) σ(s, x) K (1 + x ) t s α. Remarque: Lorsque (E) est homogène H 2 est automatiquement vérifiée. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 20 / 34

Convergence forte du schéma d Euler Proposition Supposons (H 2 ) vérifiée. Pour β = min(α, 1 2 ), p 1, C p > 0, N N Ainsi, γ < β, E[ sup ˆX N (t) X t 2p ] C p t [0,T ] N 2βp. N γ sup ˆX N (t) X t 0 t [0,T ] N p.s. hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 21 / 34

Convergence forte du schéma d Euler Corollaire Lorsque l équation est homogène, p 1, C p > 0, N N Ainsi, γ < 1 2, E[ sup ˆX N (t) X t 2p ] C p t [0,T ] N p. N γ sup ˆX N (t) X t 0 t [0,T ] N p.s. hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 22 / 34

Convergence forte du schéma d Euler En remarquant que pour f : R n R Lipschitzienne, E[f (X T )] E[f ( ˆX N (t))] K E[ ˆX N (t) X t 2 ]. Corollaire Premier résultat (grossier) de convergence faible Sous (H 2 ), lorsque α > 1 2, E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] C. N 1 2 Lorsque l équation est homogène E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] C. N 1 2 Exemple: Call ou Put européen lorsque n = 1. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 23 / 34

Convergence forte du schéma d Euler De la même manière si g : (R n ) d+1 R est Lipschitzienne et si 0 = t 0 t 1... t d = T, Corollaire Sous (H 2 ), lorsque α > 1 2, E[g(X t0,..., X td )] E[g( ˆX N (t 0 ),..., ˆX N (t d ))] C. N 1 2 Lorsque l équation est homogène E[g(X t0,..., X td )] E[g( ˆX N (t 0 ),..., ˆX N (t d ))] C. N 1 2 Exemple: Lorsque n = 1, options asiatiques ou lookback discrètes. hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 24 / 34

Convergence faible du schéma d Euler On etudie ici la vitesse de convergence de E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] Notations: C b ([0, T ] Rn ; R p ) est l ensemble des fonctions dans C ([0, T ] R n ; R p ) dont les dérivées de tout ordre 1 sont bornées. C pol (Rn ) est l ensemble des fonctions dans C (R n ; R) dont les dérivées de tout ordre sont à croissance polynomiale: a = (a 1,..., a n ) N n, p a N, C a > 0, x R n, (a 1+...+a n) F x a (x) 1 an 1... x C a(1+ x pa ). n Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 25 / 34

Convergence faible du schéma d Euler Proposition (Talay-Tubaro 1990) On suppose que b C b ([0, T ] Rn ; R n ) et σ C b ([0, T ] Rn ; R nd ). Lorsque f C pol (Rn ) on a k N E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] = où les C i ne dépendent que de f. k i=1 ( ) C i 1 N i + O N k+1 Remarque: Ce résultat n est pas utilisable dans le cadre du Put ou du Call européens... hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 26 / 34

Convergence faible du schéma d Euler Proposition (Bally-Talay 1995) On suppose que l équation (E) est homogène et que b C b (Rn ; R n ) et σ C b (Rn ; R nd ). Si A > 0, ξ R n, x R n, ξ t σ(x)σ t (x)ξ A ξ 2, lorsque f est mesurable bornée, où C ne dépendent que de f. E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] = C N + O ( 1 N 2 ) Remarque: Ce résultat est utilisable dans le cadre du Put européen (donc du call). hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 27 / 34

Convergence faible du schéma d Euler Pour abaisser les conditions de régularité sur f on augmente celles sur la loi de la diffusion étudiée Les dévellopements précédents permettent d obtenir un ordre de convergence en 1 (Procédure d extrapolation de Romberg): N 2 ( ) E[f (X T )] E[2f ( ˆX 2N (T )) f ( ˆX 1 N (T ))] = O N 2. Cependant cette procédure a tendance a faire exploser la variance de l estimateur (Pagès 2006). Ne pas oublier que Erreur Pricing= Erreur discrétisation + Erreur Monte Carlo hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 28 / 34

Les options asiatiques Soit n = 1 = d, on considère l équation homogène suivante X 0 = x 0 R + (H 1 ) dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t. On note A T = 1 T T 0 X sds et on s intéresse aux options asiatiques: Call asiatique à strike fixe ( 1 T T 0 X sds K ) + Put asiatique à strike fixe (K 1 T T 0 X sds) + Call asiatique à strike flottant ( 1 T T 0 X sds X T ) + Call asiatique à strike flottant (X T 1 T T 0 X sds) + Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 30 / 34

Les options asiatiques En notant A t = 1 T t 0 X sds, d [ Xt A t ] [ b(xt ) = X t T Le schéma d euler correspondant est ] dt + [ ] σ(xt ) dw 0 t ˆX N (t k ) = ˆX N (t k 1 ) + T N b( ˆX N (t k 1 )) + σ( ˆX N (t k 1 ))(W tk W tk 1 ) Ainsi Â N (t k ) = 1 N ˆX N (t k ) + ÂN (t k 1 ). Â N (T ) = 1 N N ˆX N (t k ). Rq: Il s agit ici de la méthode des rectangles pour le calcul de l intégrale approchée. k=0 Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 31 / 34

Les options asiatiques Les fonctions φ(x, y) = (x y) + et φ(x, y) = (x K ) + étant Lipschitziennes: E[(A T X T ) + ] E[(ÂN (T ) X N T ) + ] Ĉ E[(A T K ) + ] E[(ÂN (T ) K ) + ] Ĉ Rq: Ces résultats sont valides dans le cadre Black-Scholes. N 1 2 N 1 2.. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 32 / 34

Les options asiatiques Mais dans le modèle de Black-Scholes on sait simuler exactement Pourquoi ne pas utiliser Proposition 1 T T 0 (X 0, X T,..., X T ). N X s ds 1 N N X tk = A N (T )? k=0 (Lapeyre Témam 2002) Dans Black-Scholes, E[(A T X T ) + ] E[(A N (T ) XT N ) + ] C, N 1 2 e où C = σ (σ2 +2r)T 1 12(σ 2 +2r). E[(A T K ) + ] E[(A N (T ) K ) + ] C N 1 2 Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 33 / 34

Les options asiatiques Comparaison des 2 methodes des rectangles pour un call asiatique (T=1,K=100,x0=100,sigma=0.02,r=0.01) exact(en noir) / Euler (en bleu) 7.8 7.6 7.4 7.2 prix 7.0 6.8 6.6 6.4 6.2 0 50 100 150 200 N hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre 2008 34 / 34