I Rappels- Les vecteurs I-1 Généralités : * tout couple de points (,B dans un plan, est associé un vecteur B Soit u un représentant de B, alors u = B Lorsque = B,alors u = 0 * La norme du vecteur B est la longueur B Elle est notée par B = B On admet que : 2 B = B = B 2 2 * Deux vecteurs non nuls sont égaux, lorsqu ils ont même sens même direction et même longueur * Soient,B,C et D quatre points non alignés, alors : B = DC équivaut à BCD est un parallélogramme * ddition de deux vecteurs : 1 La relation de Chasles : 2 La règle du parallélogramme : B + BC = C B + C = D - Les vecteurs B et B sont opposés et on a B = B * Multiplication d un vecteur par un réel Soit k un réel donné Les vecteur B et k B n ont même sens que si k est strictement positif et sont de sens opposé que si k est strictement négatif Règles de calculs k B = k B Soit u et v deux vecteurs et k et k deux réels, alors les propriétés suivantes sont vérifiées : ( u + v = k u k v k ( k u = ( k k u k + ( k + k u = k u + k u k u = 0 k = 0 ou u = 0 * Vecteurs colinéaires - Dire que deux vecteurs non nuls B etcd sont colinéaires, signifie qu ils ont la même direction (en d autres termes, et CD sont parallèles (B ( - Deux vecteurs non nuls B etcd sont colinéaires, signifie qu il existe un réel non nul k tel que B = k CD - Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs - Dire que trois points distincts, B et C sont alignés équivaut à dire qu il existe un réel k tel que B = k C - Dire que deux droites (B et (CD sont parallèles signifie qu il existe un réel non nul k tel que B = k CD - Milieu d un segment [B] Le milieu M d un segment [B] est tel que M + MB = 0 - Centre de gravité G d un triangle BC est un point tel que : G + GB + GC = 0 hosseini@maths-stanfr 1
Les vecteurs vus analytiquement ;, alors on peut dire que OM = x i + y j, dans ce cas le vecteur OM a pour coordonnées OM ( x; y donc les coordonnées d un vecteur u tel que u = OM sont données par u ( x; y Soit M(x ;y les coordonnées d un point M dans le repère ( O i ; j Propriétés : Dans un repère ( O i ; j ( x y u ; et ( x y v ;, alors : * u = v équivaut à x = x et y = y * Les coordonnées de u * Les coordonnées de v ;, les vecteurs u et v sont de coordonnées respectives k sont ( kx;ky u + sont ( x x y + y +, Colinéarité de deux vecteurs : Définition : Deux vecteurs u ( x; y et v ( x ; y sont colinéaires si et seulement si : x y x y = 0 Le nombre x y x y est appelé le déterminant de u et v dans la base ( i ; j Équation de droites ; : * Toute droite d a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 où a, b et c sont des Dans un plan muni d un repère ( O i ; j réels tels que a 0, b 0, et le vecteur u ( b; a Remarque : les autres vecteurs directeurs de d sont de la forme : u ( kb; ka est un vecteur directeur de d où k R * Toute droite non parallèle à l axe des ordonnées a pour équation réduite : y = mx + p où m et p sont respectivement le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de la droite Remarque : Deux droites d équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a x + b y + c = 0 sont parallèles si et seulement si a b a b = 0 vec les équations réduites : deux droites d et d d équations respectives : y = m x + p sont parallèles si et seulement si m = m' y = mx + p et hosseini@maths-stanfr 2
II- Barycentre Problème : Imaginez une balance avec les deux bras de longueurs inégales, accompagnée d un point d'application (le centre de gravité G pour le poids L un des plateaux comporte trois objets dont le poids total est 6 Kg Le problème consiste à trouver le poids nécessaire dans l autre plateau pour que la balance retrouve son équilibre II-1 Barycentre de deux points Existence et unicité Théorème 1 : Soient et B deux points du plan, α et, deux nombres réels donnés Lorsque α + 0, il existe un point unique G tel que : α G + GB = 0 Démonstration : Remarque : Dans notre problème, les masses associées aux deux plateaux sont les nombres positifs α et, mais mathématiquement, ces nombres peuvent être positifs ou négatifs Définition 1: Le point G, cité précédemment est appelé le barycentre des points pondérés,α,,α B, équivaut à dire: (, ( B Donc, dire que G est le barycentre de (, ( α + 0 et α G + GB = 0 Remarque : - On peut parler aussi de G comme barycentre du système {(, α (, B, } - Si α + = 0 alors le barycentre n existe pas Résolution du problème : ppelons et B les points associés aux extrémités de notre balance et G le point d'application de la balance, alors le point G sera associé à un état d équilibre si et seulement si 6 G + xgb = 0 Or, 40 G + 20GB = 0 ou encore GB = 2G D après le principe des leviers : Des poids inégaux s équilibreront à des distances inégales, et le plus grand sera situé à la plus petite distance C est le principe de la balance dite romaine D où 6 G 2xG = 0 ( 6 2x G = 0 Or, G et sont deux points distincts donc 6 2x = 0 ou encore x = 3 Donc le poids nécessaire sur l autre plateau est de 3 Kg hosseini@maths-stanfr 3
II-2 Position du barycentre de deux points pondérés Théorème 2: Le barycentre G des points pondérés (,α, (, B est un point G tel que G = B Donc, lorsque B, G appartient à la droite (B α + Démonstration : Remarque : Si α et sont de même signe, alors G appartient au segment [ B], si non G sera placé sur (B en dehors du segment [ B ] Exercice 1 : 1 Soient et B sont deux points du plan Placez le point R tel que R = 5RB 4 2 S est le point tel que S = B Démontrer que S est le barycentre de (,1, ( B, 4 5 Solution : II-3 Homogénéité du barycentre de deux points pondérés Théorème 3: Le barycentre G de deux points pondérés (,α, (, remplace les deux coefficients par des coefficients proportionnels (, kα, ( k Démonstration : B ne change pas lorsqu on B,, k R* hosseini@maths-stanfr 4
II-4 L isobarycentre de deux points pondérés Définition : Lorsque G est le barycentre de deux points pondérés (,α, ( B,α appelé l isobarycentre de et B D après le théorème de l homogénéité, G est aussi le barycentre de (,1, alors G est, ( B, 1, donc G +GB = 0, cela prouve que lorsque B, l isobarycentre G de deux points et B est le milieu du segment [ B] II-5 Réduction deα M + MB, lorsque α + 0 Théorème 4: Soit G le barycentre de deux points pondérés (,α, ( B, point M du plan, α M + MB = ( α + MG Démonstration : lors, pour tout Remarque : Le point M peut être n importe quel point du plan, en particulier le point ou B Si M=, alors α { + B = ( α + G et on retrouve : G = B α + = 0 Remarque : De et B, le point le plus près du barycentre est celui dont le coefficient a la plus grande valeur absolue II- 6 Coordonnées du barycentre de deux points pondérés ;, considérons les points ( x y G x y G ; où G est le barycentre de (,α, (, M + Dans le plan rapporté à un repère ( O i ; j ( G ( ;, B x ; y et B B B Si on pose dans α MB = ( α + MG α M=O (origine du repère, on obtient OG = O + OB En passant aux coordonnées, α + α + α α xg xo = ( x xo + ( xb xo xg 0 = ( x 0 + ( xb 0 α + α + α + α +, α = ( + ( α yg yo y yo y B yo yg 0 = ( y 0 + ( y B 0 α + α + α + α + On obtient alors : α x + xb x G = et α + y G α y + y = α + B hosseini@maths-stanfr 5
II- 7 Barycentre de trois points pondérés La définition et les théorèmes précédents se généralisent sans difficulté au cas d un système de trois points pondérés ou encore de plusieurs points pondérés Pour la suite, on se limite à les énoncer, sans les démontrer car les démonstrations sont analogues au cas de deux points Théorème 5 : Soient, B et C trois points du plan, α, et γ trois nombres réels données Lorsque α + + γ 0, il existe un point G unique tel que : α G + GB + γ GC = 0 Définition 2: Le point G, cité précédemment est appelé le barycentre des points pondérés,α,, C,γ,α B,, C,γ équivaut à : (, ( B ( Donc, dire que G est le barycentre de (, ( ( α + + γ 0 et α G + GB + γ GC = 0 II- 8 Position du barycentre de trois points pondérés Théorème 6: Le barycentre G des points pondérés (,α, (,, ( C,γ G = γ B + C α + + γ α + + γ B est un point G tel que Remarque : Lorsque, B et C sont deux à deux distincts et non alignés, alors G est à l intérieur du tringle BC si α, et γ sont de même signe et à l extérieur du tringle BC si α, et γ sont de signes contraires II- 9 L isobarycentre de trois points pondérés Lorsque G est le barycentre de trois points pondérés (,α, ( B, α, ( C,α l isobarycentre de, B et C D après le théorème de l homogénéité, G est aussi le barycentre de (,1, alors G est appelé, ( B, 1, ( C, 1, donc G + GB + GC = 0, cela prouve que lorsque, B et C sont deux à deux distincts et non alignés, l isobarycentre G de trois points, B et C est le centre de gravité du triangle BC II- 10 Réduction de α M + MB + γ MC, lorsque α + + γ 0 Théorème 7: Soit G le barycentre de trois points pondérés (,α, ( B,, ( C,γ tout point M du plan, α M + MB + γ MC = ( α + + γ MG lors, pour Remarque : Le point M peut être n importe quel point du plan, en particulier le point ou B ou C Si M=, alors α { + B + γ C = ( α + + γ G = 0 γ G = B + C α + + γ α + + γ et on retrouve : hosseini@maths-stanfr 6
II- 11 Coordonnées du barycentre de trois points pondérés ;, considérons les points : ( x ; y, B ( x ; y, C ( x ; y et ( x y B B C C G G Comme dans le cas de deux points pondérés, on obtient : Dans le plan rapporté à un repère ( O i ; j G ; où G est le barycentre de (,α, (,, ( C,γ B α x + xb + γ xc x G = et α + + γ II- 12 Barycentre partiel ou associativité y G α y = + y B α + + γ + γ y C Théorème 8: Soit G le barycentre de trois points pondérés (,α, (,, ( C,γ B avec α + + γ 0 Si α + 0, alors on peut considérer H le barycentre partiel des points, H, α +, C, γ pondérés (,α Démonstration :, ( B, dans ce cas G est le barycentre de ( ( Exercice 2: Considérons trois points pondérés (,3, ( B, 4, ( C, 3 En utilisant l associativité des barycentres, construisez le point G, le barycentre du système précédent Solution : hosseini@maths-stanfr 7
II- 13 Conservation du barycentre Théorème 8:(admis Soit f une transformation usuelle (comme translation, symétrie ou du α,, α,, α,,, α plan et G le barycentre d un système de points pondérés ( 1, 1 ( 2 2 ( 3 3 L ( n n avec α1 + α 2 + α 3 + L + α n 0 alors ( G ( f ( α, ( f (, α, ( f (, α,,( f (, α f est le barycentre du système de points pondérés : 1, 1 2 2 3 3 L n n Exercice à faire à la maison Exercice I- 1 Placer sur la figure suivante le point H barycentre de (,2 et de (B,1, après avoir donné une relation vectorielle vérifiée par ce point F 2 D après la figure précédente, écrire F comme barycentre des points C et D, avec des coefficients que l on précisera 3 En déduire G comme barycentre des points, B, C et D avec des coefficients que l on précisera Exercice II- Soit BC un triangle On appelle : D le barycentre de (B,2 et (C,4 ; E le barycentre de (C,4 et (,1 ; F le barycentre de (B,2 et (,1 D autre part, G est le barycentre de (,1, (B,2 et (C,4 1 a Construire sur une figure les points D, E et F, en justifiant la construction par une relation vectorielle b Donner une relation vectorielle vérifiée par le point G et placer G sur la figure 2 Démontrer que les droites (D, (BE et (CF sont concourantes en G hosseini@maths-stanfr 8
Exercice III- Soit BC un triangle quelconque 1 M est un point quelconque du plan r uuur uuur uuuur a Démontrer que le vecteur u = M 2MB+ MCest un vecteur indépendant du point M choisi uuur uuur uuur uuur uuur uuur b En déduire les égalités 2B+ C = B+ BC = C 2CB c On appelle B le milieu du segment [C] uuur uuur uuuur uuuur Montrer que M 2MB+ MC = 2 BB' 2 On considère le point G barycentre de (,1, (B, 4 et (C,1 Placer G sur la figure, en justifiant la construction 3 On considère l ensemble Ε des points M du plan M du plan tels que : uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur M 4MB+ MC = M 2MB+ MC a Quelle est la nature de l ensemble Ε? Construire cet ensemble sur la figure b Prouver que le point B est un point de Ε 4 Quel est l ensemble des points M du plan tels que 4 + = + Exercice IV- uuur uuur uuuur uuur uuuur M MB MC M MC BCD est un quadrilatère quelconque du plan G est le centre de gravité du triangle BD et H le centre de gravité du triangle BCD On appelle K le milieu de [GH] 1 Faire un dessin 2 Démontrer que K est le barycentre de (,1, (B,2, (C,1 et (D,2 3 Soit I le milieu de [C] et J le milieu de [BD] Démontrer que les points I, J et K sont alignés Exprimer le vecteur uur IK en fonction du vecteur uur IJ 4 Soit E le centre de gravité du triangle BC et F le centre de gravité du triangle DC On appelle L, le milieu de [EF] Démontrer que les points I, J, K et L sont alignés Exercice V- On considère un triangle BC du plan 1a Déterminer et construire le point G barycentre du système {(,1 ; (B,-1 ; (C,1} b Soit G le barycentre du système {(,1 ; (B,5 ; (C,-2} Exprimer G' en fonction de B et C Construire le point G 2a Soit J le milieu de [B] Exprimer GG' et JG' en fonction de B et C et en déduire l intersection des droites (GG et (B b Montrer que le barycentre I du système {(B,2 ; (C,-1} appartient à (GG 3 a Déterminer et tracer l ensemble des points M tels que : M + 5 MB - 2 MC = 4 M - MB + MC b Déterminer et tracer l ensemble des points M tels que : 2 ( M - MB + MC = - 2 M + MI + MC 4 Cette Question est indépendante des précédentes On pourra tracer un nouveau triangle BC a Soit D un point quelconque du plan, O le milieu de [CD] et K le milieu de [O] Déterminer trois réels a, d et c tels que K soit barycentre de {(,a ; (D,d ; (C ;c} b Soit X le point d intersection des droites (C et (DK? Déterminer deux réels a et c tels que X soit barycentre de {(,a ; (C,c } hosseini@maths-stanfr 9
Exercice VI- Courbes de Bézier et barycentres Soient 1, 2 et 3 trois points donnés distincts On considère, pour tout nombre réel t appartenant à l intervalle ]0 ; 1[, le point M t barycentre des points pondérés ( 1 ; t et ( 2 ; 1 t, le point N t barycentre des points pondérés ( 2 ; t et ( 3 ; 1 t et le point B t barycentre des points pondérés (M t ; t et (N t ; 1 t 1 a Justifier l existence des points M t, N t et B t b Démontrer que, pour tout t ]0 ;1[, M t appartient au segment [ 1 ; 2 ] privé des points 1 et 2 c Qu en déduit-on, lorsque t ]0 ;1[, pour le point N t et pour le point B t? 2 On appelle courbe de Bézier le lieu des points B t lorsque le point M t se déplace sur le segment [ 1 ; 2 ] privé des points 1 et 2, c'est-à-dire lorsque le nombre réel t varie sur l intervalle ]0 ; 1[ Placer sur une figure les trois points 1, 2 et 3 (appelés pôles puis construire M t, N t et B t lorsque : t = 2 1 ; t = 4 3 et t = 8 1 hosseini@maths-stanfr 10