Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes. Objectifs : Quelles sont les crctéristiques d un mouement circulire uniforme? Quelles sont les trois lois de Kepler? Quel est le mouement des plnètes et des stellites? I. Quelles sont les crctéristiques d un mouement circulire uniforme? I.1. Vecteur ccélértion erminle Un mouement est dit circulire uniforme si l trjectoire est un cercle prcouru à une itesse constnte. Attention le ecteur itesse n est ps constnt (ps même direction!!!!) i, en tout point de l trjectoire, le ecteur ccélértion du centre d inertie est rdile (suint le ryon) lors le mouement du centre d inertie est circulire uniforme. L réciproque est rie! Dns ce cs, l ccélértion pour expression :, s leur est constnte et ut : : l itesse du centre d inertie en m s 1 et : le ryon du cercle en m L ccélértion est dite centripète (elle pointe ers le centre du cercle). On prle églement d ccélértion «normle» (c est-à-dire perpendiculire à l trjectoire). I.. Obtention d un mouement circulire uniforme D près l deuxième loi de ewton on sit que m or pour qu un mouement soit circulire uniforme il fut que (ccélértion centripète) donc : Dns un référentiel gliléen, le mouement du centre d inertie d un solide de msse m est circulire uniforme si : - l somme des forces extérieures ext est un ecteur centripète (ou rdil ou norml) - l leur de est constnte et ut : et m (l msse m est exprimée en kg!) C ste (comme l msse de l objet ne rie ps lors l leur de l itesse est constnte : C ste ) 1 / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques
Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes erminle emrque : si l leur de l itesse n est ps constnte lors l ccélértion et l résultnte des forces d extérieures ne sont plus centripètes, le ecteur ccélértion ur pour expression : + d t II. Quelles sont les trois lois de Kepler? Johnnes Kepler (1571 160) formule trois lois qui décrient le mouement des plnètes utour du oleil suite ux résultts des obsertions de son mître ycho Brhé (1546 1601). II.1. ppels sur les référentiels éférentiel héliocentrique : repère ynt pour origine le centre du oleil, ses trois xes sont dirigés ers trois étoiles fixes et lointines. éférentiel géocentrique : repère ynt pour origine le centre de l erre, ses trois xes sont dirigés ers trois étoiles fixes. Il est nimé d un mouement de trnsltion circulire pr rpport u référentiel héliocentrique. Vers étoile α oleil Vers étoile β éférentiel héliocentrique Vers étoile γ erre Vers étoile β Vers étoile α Vers étoile γ éférentiel géocentrique II.. remière loi : loi des trjectoires Dns le référentiel héliocentrique, l trjectoire du centre d une plnète est une ellipse dont l un des foyers est le centre du oleil rnd xe de longueur et sont les foyers de l ellipse + érihélie oleil Aphélie Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus. II.. Deuxième loi : loi des ires Le segment de droite relint le oleil,, à l plnète,, (le segment []) blie des ires A égles pendnt des durées Δt égles. t + Δt t A A 1 t 1 t 1 + Δt / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques
Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes II.4. roisième loi : loi des périodes erminle our toutes les plnètes du système solire, le rpport entre le crré de l période de réolution de l plnète et le cube du demi grnd xe de l orbite elliptique est constnt : est l période de réolution en s est le demi grnd xe en m k k est une constnte indépendnte de l plnète considérée. emrque : l période de réolution d une plnète utour du soleil est l durée pour qu elle effectue un tour complet utour du oleil. III. Quel est le mouement des plnètes et des stellites? III.1. ppel sur l loi de grittion unierselle our expliquer les lois du mouement des plnètes étblies pr Kepler, ewton énoncé l loi de grittion unierselle qui trduit l ttrction de deux corps : L interction grittionnelle entre deux corps ponctuels A et B, de msses respecties m A et m B, est modélisée pr des forces d ttrction grittionnelle A/B et B/A dont les crctéristiques sont : A/B B/A constnte de grittion unierselle m A et m B sont exprimées en kg m A m B 6,67 10 u 11 m est l distnce en m entre les deux centres des corps A et B u L loi s pplique églement pour : kg est un ecteur unitire (norme égle à 1) dirigé de A ers B - des corps à réprtition sphérique de msse, tout se psse comme si l msse étit concentrée u centre du corps c est le cs du oleil, des plnètes, des stellites. - des corps suffismment éloignés l un de l utre de telle sorte que l on puisse négliger leur dimension dent l distnce qui les sépre. B A/B m B. u B/A A m A u / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques
Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes III.. ouement des plnètes utour du oleil erminle Etudions le mouement d une plnète, de centre de msse m, qui tourne utour du oleil, de centre de msse, dns le référentiel héliocentrique considéré gliléen : L seule force extérieure qui s pplique sur l plnète est l force d ttrction grittionnelle exercée pr le oleil notée /. D près l deuxième loi de ewton on ur insi : / m m m ce qui conduit à u m soit u m ec : distnce entre le centre de l plnète et le centre du oleil en m. lnète u / oleil insi on troue que u donc l ccélértion est rdile (dirigée ers le centre du oleil) Or si l ccélértion est centripète d près le I. on peut écrire que ec itesse de l plnète donc on en déduit que soit donc : L itesse de l plnète est constnte et les deux conditions d un mouement circulire uniforme sont remplies. Ainsi le mouement circulire uniforme est une solution à l deuxième loi de ewton pour le mouement orbitl des plnètes à condition que l itesse du centre d inertie de l plnète érifie l expression : est en kg ; en m et en m s 1. L leur de l itesse de l plnète ne dépend ps de l msse de l plnète mis de l msse du oleil! III.. Expression de l période de réolution L période de réolution (en s) d une plnète utour du oleil est l durée que met l plnète pour effectuer un tour complet utour du oleil à l itesse. En considérnt un mouement circulire (de ryon ) uniforme (à l itesse constnte ) on en déduit que : π or soit π utrement dit : d où : 4 / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques
Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes en s ; en m et en kg erminle On retroue insi l roisième loi de Kepler (loi des périodes) pour une plnète en mouement circulire uniforme utour du oleil (le demi grnd xe correspond ici u ryon ). emrque : l connissnce de et de permet lors de clculer l msse du oleil! III.4. ouement des stellites utour de l erre Etudions mintennt le cs d un stellite en orbite utour de l erre. On se plcer donc dns le référentiel géocentrique. r nlogie u risonnement tenu dns le prgrphe III.. on troue qu un stellite est en mouement circulire uniforme utour de l erre sur une orbite de ryon à condition que l itesse du stellite érifie l reltion suinte : En ppelnt h l ltitude (en m) du stellite pr rpport à l surfce terrestre on peut écrire que : + h On rélise églement le même risonnement qu u prgrphe III.. et on obtient l reltion qui lie l période de réolution du stellite utour de l erre ec l ltitude à lquelle il se troue : ( + h) L troisième loi de Kepler s pplique églement dns le cs du mouement des stellites utour de l erre! Vitesse et période de réolution du stellite sont indépendnts de l msse du stellite mis dépendent de l msse de l erre et de l ltitude h à lquelle il se troue. our une mise en orbite circulire (ryon ) d un stellite à une ltitude h, s itesse initile de lncement est imposée pr l reltion 0 et son ecteur itesse 0 doit être perpendiculire à l + h direction de l force d ttrction grittionnelle de l erre sur le stellite /. 0 tellite / h erre 5 / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques
Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes III.5. tellites géosttionnires erminle Un stellite géosttionnire est un stellite qui est toujours positionné u dessus du même point de l surfce terrestre (à l même erticle). Un stellite géosttionnire est un stellite : - qui semble immobile pour un obserteur terrestre ; - qui tourne dns le même sens que celui de l erre utour du même xe de rottion (xe des pôles) - et qui une période de réolution égle à l période de rottion de l erre sur elle-même. our stisfire les conditions citées précédemment, l orbite circulire d un stellite géosttionnire est donc contenue dns le pln équtoril de l erre! Clculons l ltitude à lquelle doit se trouer un stellite pour être géosttionnire : On sit que l période de réolution du stellite est égle à l période de rottion de l erre sur elle-même qui est h 56 mn 04 s 86 164 s. Or on sit que donc ( + h) ( + h) d où ( 1 + h) et h 86164 6,67 10 11 5,98 10 4 680 10,58 10 Un stellite géosttionnire se troue à une ltitude d eniron h 6 000 km u dessus de l surfce terrestre (il se situe donc à une orbite de 4 000 km pr rpport u centre de l erre). III.6. ouement des stellites utour des utres plnètes Le risonnement tenu dns le cs du mouement des stellites utour de l erre ou des plnètes utour du oleil reste identique dns le cs des stellites qui gritent utour d une plnète quelconque de msse. On retrouer l expression de l roisième de Kepler : étnt le ryon de l orbite du stellite en m est l msse de l plnète en kg. Cette reltion permet de déterminer l msse de l plnète considérée à condition de connître l période de réolution du stellite utour de l plnète et de connître le ryon de l orbite du stellite. III.7. L impesnteur L impesnteur est crctérisée pr l bsence pprente de pesnteur. Exemples : - Une personne dns une cbine d scenseur subit l ction de l ttrction terrestre (son poids) et l réction de l cbine soit + m. Lorsque l cbine tombe en chute libre l personne est lors soumise à l même ccélértion que l cge (chute libre g ) soit 0et l personne semble «flotter» dns l espce de l cbine. - cs d un sptionute qui se troue dns un éhicule sptil en orbite utour de l erre: le éhicule et le sptionute ont l même ccélértion, ils sont tous les deux soumis à l force d ttrction grittionnelle. Le sptionute ur donc le même mouement que s cbine et ne ressent plus les effets de l pesnteur et sembler donc «flotter» dns le éhicule sptil. 7 m 6 / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques