Limites et continuité

Limites et continuité Approche intuitive de la notion de limite La notion de limite est la première notion que nous avons à approfondir. Elle nous mènera au concept de dérivée. Ensemble, ces deux concepts forment la base du calcul différentiel. Définition de limite selon le Petit Robert: "grandeur fixe dont une grandeur variable peut approcher indéfiniment sans jamais l'atteindre" Par exemple, prenons un carré de 1 cm de côté dont on voudrait calculer l'aire. On pourrait procéder ainsi: on divise le carré en deux régions d'aires égales, puis on divise une des deux régions à nouveau, et on continue ainsi indéfiniment. Bien que la somme des aires des régions obtenues ne sera jamais égale à l'aire du carré, on dira qu'à la limite, la somme des aires des régions sera égale à l'aire du carré. Dans le cours, nous allons appliquer le concept de limite aux fonctions réelles. 1

Estimation d'une limite à l'aide d'un graphique ou d'un tableau de valeurs Intuitivement: comportement d'une fonction f(x) autour d'une valeur de x. Évaluation d'une limite à l'aide d'un tableau de valeurs Considérons f ( x) = 3x 5. Étudions le comportement de f ( x) pour des valeurs de x de plus en plus près de. Cas 1: x se rapproche de par des valeurs plus petites (i.e. par la gauche) x 1,8 1,9 1,95 1,995 1,9995 f(x) 10,4 10,7 10,85 10,985 10,9985 11 On constate que: Plus x se rapproche de par des valeurs plus petites (i.e. par la gauche), plus f(x) se rapproche de 11 Notation: lim f( x) = 11 (lire: la limite de f(x) quand x tend vers par des valeurs plus petites est égale à 11)

Cas : x se rapproche de par des valeurs plus grandes (i.e. par la droite) x,,1,05,005,0005 f(x) 11,6 11,3 11,15 11,015 11,0015 11 On constate que: Plus x se rapproche de par la gauche (i.e. tout en restant inférieur à ), plus f(x) se rapproche de 11 Notation: lim f( x) = 11 (lire: la limite de f(x) quand x tend vers par des valeurs plus grandes est égale à 11) Dans le cas de f( x) = 3x 5, on a: lim f( x) = 11 et lim f( x) = 11 Lorsque dans les deux cas, la valeur obtenue est la même, on écrit: lim f( x) = 11 (lire: la limite de f(x) quand x tend vers est égale à 11) 3

Théorème 1.1: Existence de la limite d'une fonction = L lim f( x) = lim f( x) = L ( L R ) (la limite de f(x) quand x tend vers a existe ssi la limite de f(x) à gauche de a égale la limite de f(x) à droite de a) Remarques: 1) lim f( x) lim f( x) (n'existe pas) ) si ou alors 3) la limite d'une fonction en une valeur donnée est unique lorsqu'elle existe Évaluation d'une limite à l'aide d'un graphique Pour f ( x) = 3x 5, le graphique correspond à une droite: lim f( x) = 11 et lim f( x) = 11 lim f( x) = 11 4

Exemple: x 1 Soit f( x) = dom f = [0, [ \{1} x 1 À partir des tableaux de valeurs suivants, déterminer si possible les limites et les images. x 0,8 0,9 0,95 0,995 0,9995 f(x) 0,5786 0,51317 0,50641 0,50063 0,50006 x 1, 1,1 1,05 1,005 1,0005 f(x) 0,4773 0,48809 0,49390 0,49938 0,49994 a) b) c) d) f (1) x 0,05 0,005 0,0005 0,00005 0,000005 f(x) 0,8176 0,93396 0,97813 0,9998 0,99777 x -0,05-0,005-0,0005-0,00005-0,000005 f(x) ND ND ND ND ND e) x 0 f) x 0 g) x 0 h) f (0) 5

x 8,8 8,9 8,95 8,995 8,9995 f(x) 0,511 0,5105 0,505 0,5005 0,5001 x 9, 9,1 9,05 9,005 9,0005 f(x) 0,4795 0,4897 0,4948 0,4995 0,4999 i) x 9 j) x 9 k) x 9 l) f (9) x 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 f(x) 0,03065 0,00990 0,00315 0,00100 0,0003 m) Quelques remarques à propos de l'exemple précédent: 1) Lorsqu'on évalue, on étudie le comportement de f(x) pour des valeurs de x très très près de a. La valeur de a n'est jamais considérée dans notre étude. Ce n'est donc pas nécessaire que a fasse partie du domaine de f(x) pour que la limite existe. Dans l'exemple, f (1) mais 1 lim f( x) = 6

) Parfois, lorsque la variable prend des valeurs près de a, la fonction s'approche de f(a). 1 Ici, f (9) = et 4 1 lim f( x) =. Attention, ce ne sera pas toujours le cas! x 9 4 3) Parfois on peut évaluer f(a) mais pas. Dans l'exemple, f (0) = 1 mais x 0 4) Finalement, on a obtenu lim f( x) = 0 Cette limite est différente des précédentes. On utilise le symbole pour signifier que la variable prend des valeurs toujours de plus en plus grande positivement. Puisque n'est pas un nombre réel, f ( ) n'a aucun sens, pas plus que lim f( x) = 0 et lim f( x) = 0 Voici le graphique de f( x) = x 1 x 1 7

En l'examinant, on peut voir que: a) lim f( x) = 0,5 et lim f( x) = 0,5 lim f( x) = 0,5 b) x 0 et lim f( x) = 1 x 0 x 0 c) lim f( x) = 0, 5 et x 9 lim f( x) = 0, 5 x 9 lim f( x) = 0, 5 x 9 d) lim f( x) = 0 Exemple: Déterminer intuitivement chacune des limites: a) x 0 b) x 0 c) x 0 8

Exemple: Déterminer intuitivement chacune des limites: a) b) Limite infinie Ex: Soit f( x) =. Estimons ( x 1) avec un tableau de valeurs: x s'approche de 1 par la gauche ( x 1 ) x s'approche de 1 par la droite ( x 1 ) x 0,8 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1, f ( x ) 50 00 0 000 000 000 000 000 0 000 00 50 On constate que: Plus x se rapproche de 1, plus f(x) devient grande, de sorte que la limite est infinie. lim f( x) = lim f( x) = Comme lim f( x) = lim f( x) =, on conclut que lim f( x) = 9

Graphiquement: Ex: Soit 1 f( x) = x. Estimons avec un tableau de valeurs: x s'approche de par la gauche ( x ) x s'approche de par la droite ( x ) x 1,9 1,99 1,999 1,9999,0001,001,01,1 f(x) -10-100 -1 000-10 000 10 000 1 000 100 10 lim f( x) = lim f( x) = Comme lim f( x), on conclut que On peut voir graphiquement que le comportement de la fonction n'est pas le même à gauche et à droite de : 10

Asymptote verticale Les graphiques des fonctions des deux exemples précédents illustrent le comportement asymptotique de ces deux fonctions. Déf: une asymptote à une courbe est une droite dont la distance à la courbe tend vers 0 lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini. Déf: la droite x = a est une asymptote verticale (AV) à la courbe décrite par la fonction f(x) si lim f( x) =± ou encore si lim f( x) = ± Ex: la droite x = 1 est une AV de f( x) = ( x 1) lim f( x) = ) car lim f( x) =. (de plus, Ex: la droite x = est une AV de lim f( x) = ) 1 f( x) = x car lim f( x) =. (de plus, 11

Limite à l'infini Voir manuel p. 18. 7 Ex : Soit f ( x) = 10. Estimons avec des tableaux de valeurs, x et Analysons d abord le comportement de f ( x) quand x : x 1 000 1 000 000 1 000 000 000... f(x) 10,007 10,000007 10,000000007... 10 On a donc lim f( x) = 10 Analysons ensuite le comportement de f ( x) quand x : x -1 000-1 000 000-1 000 000 000... f(x) 9,993 9,999993 9,999999993... 10 On a donc lim f( x) = 10 Graphiquement: 1

Asymptote horizontale Déf: la droite y = b est une asymptote horizontale (AH) à la courbe décrite par la fonction f(x) si = b ou si = b Ex: la droite y = 10 est une AV de plus, lim f( x) = 10 ) 7 f ( x) = 10 car lim f( x) = 10. (de x Évaluation d'une limite Jusqu à maintenant, nous avons évalué des limites à l aide : -d un tableau de valeurs -d un graphique Le graphique d une fonction est souvent très compliqué à tracer et créer un tableau de valeurs s avère en pratique une tâche fastidieuse. Heureusement, il existe des règles faciles à utiliser qui nous permettront d évaluer algébriquement des limites. 13

Propriétés des limites: Si ak, R, si n N et si f ( x) et g( x) sont deux fonctions telles que et lim gx ( ) existent, alors: 1. lim k = k x a. lim x = a x a 3. lim[ k f ( x)] = k 4. lim[ f ( x) ± g( x)] = lim f( x) ± lim g( x) 5. lim[ f ( x) g( x)] = lim g( x) 6. f( x) lim = si lim gx ( ) 0 g ( x ) lim g ( x ) n 7. lim[ f ( x)] = [lim f( x)] n 8. lim n f ( x) = n lim f( x) si n est impair ou si lim f ( x ) > 0 quand n est pair c Ex : Soit 3 Px ( ) = x 3x 5. Évaluer lim Px ( ). Théorème 1. : Limite d une fonction polynomiale Si P( x) est un polynôme et si a R, alors lim P ( x ) = P ( a ) 14

x 1 Ex : 1) Évaluer lim x 7 10 x ) Évaluer x 5 3 lim ( x ) 3) Soit f ( x) = 0 x. Évaluer. x 4 4) Soit f ( x) = 5 x. Évaluer x 5 Évaluation d'une limite de la forme c/0 On dit que f ( x) c lim est une forme x a lorsque lim f( x) = c 0 et que g ( x ) 0 lim gx ( ) = 0. c Méthode pour évaluer une limite de la forme = : 0 Lorsqu en évaluant une limite en un point a R/on obtient un résultat de la k forme lim f( x) =, où k R, on doit évaluer les limites à gauche et à 0 droite de a (i.e. on doit évaluer et ) pour déterminer si existe ou non. x Ex : 1) Évaluer lim x 5 ( 5) 3 x 3 ) Évaluer lim x 4x 4 15

Évaluation d'une limite à l'infini Pour évaluer des limites à l'infini, il faut ajouter de nouvelles propriétés des limites à celles déjà mentionnées: Propriétés des limites: Si k R et si n N, alors: 9. lim k = k x et lim k = k x 10. lim x n = 11. lim x n = si n est pair si n est impair 1. 1 lim = 0 n et x 1 lim = 0 n x 13. lim n x = 14. lim n x = si n est impair et lim n x si si n est pair Les règles suivantes s appliquent aussi lorsqu on travaille avec l infiniment grand (i.e. et ) et l infiniment petit (i.e. 0 et 0 ): Arithmétique de l infini forme résultat ± k ( )( ) k( ) si k > 0 si k < 0 si k > 0 k 0 si k < 0 si k > 0 k 0 si k < 0 16

Ex: 1) Évaluer ) Évaluer lim (3x x 5) 5 lim xx ( 1) 3) Évaluer lim 1 3x Lire 1.5. Stratégies utiles à l'évaluation de limites p.8. Évaluation d'une limite de forme indéterminée Jusqu à maintenant, nous avons pu évaluer les limites que nous avons rencontrées avec les propriétés des limites et avec l arithmétique de l infini. Parfois ces deux outils ne sont pas suffisants. Indétermination de la forme 0 0 x 4 Ex : Évaluer lim x À l aide des propriétés des limites, on obtient : lim x 4 4 0 = = x 0 Ce résultat n a aucun sens, ni dans R, ni avec l arithmétique de l infini. Essayons d évaluer cette limite graphiquement et avec des tableaux de valeurs : 17

On conclut que x 4 lim = 4 x Comment obtenir ce résultat algébriquement? En factorisant le numérateur et le dénominateur et en simplifiant : Puisque x x x 4 ( )( ) = x x = x si x Alors x 4 lim = lim( x ) = 4 x Ex : Évaluer lim x 5 5 1 1 x 5 x 18

Ex : Évaluer lim x 3 x 9 x 3 Méthode générale pour lever une indétermination 0 0 On doit simplifier les facteurs contribuant à l annulation du numérateur et du dénominateur. Il peut être nécessaire de factoriser, de simplifier la fraction algébrique ou de multiplier par un conjugué. Indétermination de la forme ou de la forme x 3 Ex : Évaluer lim 5 x À l aide des propriétés des limites, on obtient x 3 lim = 5 x Ce résultat est une autre indétermination qui ne peut être résolue avec l arithmétique de l infini. Faisons de nouveau appel au graphique et à un tableau de valeurs pour avoir une idée de la réponse du problème. On conclut que x 3 lim = 5 x 19

Comment obtenir ce résultat algébriquement? Une façon d y arriver est de factoriser x au numérateur et au dénominateur : Puisque 3 3 x( ) ( ) x 3 = x = x 5 x 5 5 x( 1) ( 1) x x si x 0 Alors 3 ( ) x 3 lim = lim x 5 x 5 ( 1) x 3 0 = = = 5 1 0 1 Méthode générale pour lever une indétermination On doit mettre en évidence des expressions au numérateur et du dénominateur de la fonction par la variable affectée de la puissance la plus élevée qui apparaît au dénominateur. (La limite pourra être égal à 0, à un autre nombre réel, ou à ± ) 3x 1 Ex : Évaluer lim x x 5 0

Méthode générale pour lever une indétermination La mise en évidence simple, la mise au même dénominateur ou la multiplication par le conjugué sont des stratégies appropriées pour lever ce type d'indétermination Ex: Évaluer 3 1) lim ( 4x 8x ) 1 10 ) lim x 5 x5 x 5 3) lim ( 3x 5 x 1) Ex : p.56 #4 Continuité En lien avec la notion de limite, nous allons maintenant établir la notion de continuité. Intuitivement, une fonction est continue lorsque la courbe qui la représente peut être tracée sans lever le crayon. Un bon exemple serait la fonction représentée par la courbe suivante : 1

Typologie des discontinuités possibles d une fonction Voici les cinq types de discontinuité possibles pour une fonction f ( x) en un point x = a de son domaine :

Ex : Identifiez les points de discontinuité de cette fonction (i.e. les valeurs de x pour lesquelles la fonction est discontinue) et nommez le type de discontinuité approprié. 3

Définition de la continuité en un point Déf : Une fonction f ( x) est continue en un point x = a ssi : f ( a ) est définie existe = f( a) Une fonction qui n est pas continue en un point est dite discontinue en ce point. Ex : p.57 #31-3-34-35 Propriétés des fonctions continues Théorème 1.4 : Continuité d une fonction polynomiale Si P( x) est un polynôme et si a R, alors P( x ) est continu en x = a 4

Théorème 1.5 : Si f ( x) et g( x ) sont deux fonctions continues en x = a, alors : 1. f g est continue en x = a. f g est continue en x = a 3. f g est continue en x = a f 4. est continue en x a g = si ga ( ) 0 et est discontinue en x = a si ga ( ) = 0 Ex : p.47 1.9 #1b Continuité sur un intervalle Déf : Une fonction est continue sur un intervalle : ] ab, [ si elle est continue x ] a, b[ [ ab, ] si elle est continue x ] a, b[ et si = f( a) et = f ( b) x b Ex : La fonction représentée par le graphique est-elle continue sur (justifiez): 5

a) ],[ b) [,] c) ]0, 4[ d) [,4] Ex : p.51 ex 1.10 #b) et p.58 #39 6