Chapitre n 8 : «Parallélogrammes particuliers» I. Rappels (parallélogramme) Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles. Construction Propriétés des parallélogrammes Dans tous les parallélogrammes, on a les propriétés suivantes : les côtés opposés sont de la même longueur ( AB=CD ; AD=BC ) ; les diagonales se coupent en leur milieu ( AO=OC ; OB=OD ) ; les angles opposés sont de la même mesure ( BAC= ACD ; ABC= CDA ) ; les angles consécutifs sont supplémentaires ( BAD ADC=180 ). II. Rectangle Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits. Construction
Propriétés Il y a d'abord les propriétés qui concernent tous les parallélogrammes : les côtés opposés sont parallèles et de même longueur ; les diagonales se coupent en leur milieu. Il y a la propriété qui ne concerne que les rectangles : les diagonales sont de même longueur. xemple JYU est un rectangle de centre. Fais une figure à main levée et indique toutes les longueurs égales. Code la figure. J =UY ; JU =Y U =JY J =Y =U = Propriété caractéristique n 1 Si un quadrilatère est un parallélogramme qui possède un angle droit alors c'est un rectangle. Illustration (à main levée) F (F)//() ()//(F) D'après les indications, on peut dire que F est un rectangle.
Application On considère un quadrilatère IJKL tel que JKL=90. On sait aussi que IJ // LK et que JK // IL. Que peux-tu dire de ce quadrilatère? Justifie ta réponse. I J L K On remarque que IJKL est un rectangle. D'après l'énoncé, IJKL est un parallélogramme puisque IJ // LK et JK // IL. De plus, IJKL a un angle droit car JKL=90. Mais d'après le cours, si un quadrilatère est un parallélogramme qui possède un angle droit alors c'est un rectangle. Donc effectivement, IJKL est bien un rectangle. Propriété caractéristique n 2 Si un quadrilatère est un parallélogramme qui a ses diagonales de la même longueur alors c'est un rectangle. Illustration (main levée) F F est un parallélogramme et =F D'après la propriété caractéristique n 2 ; F est un rectangle. III. Losange Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur. Figure
Propriétés des losanges Comme pour tous les parallélogrammes, le losange a ses côtés opposés parallèles, ses diagonales qui se coupent en leur milieu, les angles opposés sont de même mesure. n plus, les losanges ont leurs diagonales perpendiculaires. xemple On considère un losange YB de centre I. Fais une figure à main levée. Indique les longueurs égales et les angles droits. Code la figure. Y B I Longueurs égales : Y=B=BY = ; BI =I ; YI=I Angles droits : YI = I= IB= BIY =90 Angles de même mesure : BY = B ; YB= Y Propriété caractéristique du losange (en partant du parallélogramme) Si un quadrilatère est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange. C L B U CLUB est un parallélogramme (D'après la propriété, CLUB est aussi un losange!) Si un quadrilatère est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange. A N (D'après la propriété, AN est aussi un losange). AN est un parallélogramme
IV. Le carré Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Illustration Propriétés des carrés Les côtés opposés sont parallèles. Les diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et sont de la même longueur. Remarques Les quatre sommets sont équidistants du centre O. Il y a donc un cercle de centre O qui passe par A, B, C et D. Propriété caractéristique n 1 Si un quadrilatère est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c'est un carré. Propriété caractéristique n 2 Si un quadrilatère est un parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs de même longueur et perpendiculaires alors c'est un carré. Pour vendredi 2/04 Matériel Contrôle 1h