On rencontre la fonction exponentielle dans de nombreux domaines scientifiques (physique, mécanique, chimie, médecine, sciences humaines... ); en mathématiques, elle joue un rôle essentiel dans la résolution de certaines équations différentielles, mais intervient également en probabilité (loi de durée de vie sans vieillissement) et en statistiques (courbe en «cloche» de Gauss). Définition de la fonction exponentielle - Premières propriétés Propriété Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f = f et f(0) =. Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée exp. On a donc : exp = exp et exp(0) =. Existence L existence d une fonction f définie et dérivable sur R telle que f = f et f(0) = est admise pour l instant. Elle a été conjecturée à l aide de la méthode d Euler. Unicité Soit donc f une fonction définie et dérivable sur R telle que f = f et f(0) = On considère la fonction F définie sur R par F(x) = f(x)f( x) F est dérivable sur R et pour tout réel x, F (x) = f(x)f( x)+f(x) ( )f ( x) Or f = f, donc pour tout réel x, F (x) = f (x)f( x) f(x)f( x) = 0 Ainsi, F est constante sur R et comme F(0) = on en déduit que pour tout réel x, F(x) = Donc, pour tout réel x, f(x)f( x) = Cette égalité prouve que la fonction f ne s annule pas En effet, si f s annule, il existe un réel x 0 tel que f(x 0 ) = 0 On a alors f(x 0 )f( x 0 ) = 0, ce qui contredit l égalité f(x 0 )f( x 0 ) = La fonction f ne s annule donc pas (raisonnement par l absurde) Cette égalité prouve également que, pour tout réel x, f( x) = f(x) Soient maintenant f et g deux fonctions définies et dérivables sur R telles que f = f et f(0) =, g = g et g(0) = Puisque g vérifie g = g et g(0) =, on sait d après ce qui précède que g ne s annule pas On peut donc définir une fonction G sur R par G(x) = f(x) g(x) G est dérivable sur R et pour tout réel x, G (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) Or f = f et g = g donc pour tout réel x, G (x) = f(x)g(x) f(x)g(x) (g(x)) = 0 Ainsi, G est constante et comme G(0) = f(0) = on en déduit que pour tout réel x, G(x) = g(0) Donc, pour tout réel x, f(x) g(x) = On en déduit que pour tout réel x, f(x) = g(x) Puisque f = g, l unicité est démontrée Conclusion Il n existe qu une seule fonction f définie et dérivable sur R telle que f = f et f(0) =
Propriété. ne s annule pas.. Pour tout réel x, exp( x) = exp(x). exp(x) 3. lim =. x 0 x Les deux premières propriétés ont été prouvées lors de la démonstration précédente Pour la 3 e propriété, il suffit d utiliser le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 exp(x) exp(x) exp(0) lim = lim = exp (0) = exp(0) = x 0 x x 0 x Propriétés algébriques Propriété 3 Pour tous réels a et b, exp(a + b) = exp(b). On dit que la fonction exponentielle transforme une somme en un produit. Soit a un réel fixé On définit alors la fonction φ sur R par φ(x) = exp(a+x) φ(0) = = φ est dérivable sur R et pour tout réel x, φ (x) = exp (a+x) = exp(a+x) = φ(x) Ainsi, φ est une fonction définie et dérivable sur R telle que φ(0) = et φ = φ D après l unicité démontrée au paragraphe précédent, on en déduit que φ est la fonction exponentielle Donc pour tout réel x, exp(x) = exp(a+x) c est-à-dire exp(a + x) = exp(x) On a donc bien : pour tous réels a et b, exp(a+b) = exp(b) Propriété 4 (Généralisation) Le résultat précédent se généralise à une somme quelconque de réels. Pour tout entier naturel n et pour tous réels a, a,..., a n, exp(a +a + +a n ) = exp(a )exp(a )...exp(a n ) Ce résultat est admis, mais peut facilement se démontrer à l aide d un raisonnement par récurrence (on le fera en exercice) Propriété 5 Pour tous réels a et b, pour tout entier relatif m. exp(a b) = exp(b). exp(ma) = ( ) m Soient a et b deux réels, m un entier relatif
. exp(a b) exp(b) = exp(a b+b) = donc exp(a b) = exp(b). Si m = 0 alors exp(ma) = exp(0) = = ( ) 0 = ( ) m Si m N alors ma = a+a+ +a Donc, d après la généralisation précédente : exp(ma) = exp(a+a+ +a ) = = ( ) m Si m Z alors m N et exp( ma) = ( ) ( m) (résultat précédent) Donc exp(ma) = exp( ma) = ( ) ( m) = ( ) m On a donc bien exp(ma) = ( ) m 3 Signe de la fonction exponentielle Propriété 6 est strictement positive sur R : pour tout réel x, exp(x) > 0 ( x Pour tout réel x, exp(x) = exp + x = ) ( ( x )) exp 0 Comme de plus, la fonction exponentielle ne s annule pas, on en déduit : pour tout réel x, exp(x) > 0 Propriété 7 Pour tout réel a,» ( a = exp. ) ( ( a ( exp = exp )) a )» ( a donc = exp ) 4 La notation e x ( a = et exp > 0 ) On note e le réel égal à exp(). La calculatrice nous donne e,78888. On a alors : pour tout entier relatif m, exp(m) = e m (propriété précédente appliquée à a = ) prolonge donc à R la fonction définie sur Z par m e m et garde la propriété de transformer une somme en produit. Pour tout réel x, on convient donc d écrire : exp(x) = e x. Les différentes propriétés de l exponentielle déjà rencontrées s écrivent alors avec la nouvelle notation : Pour tous réels a et b, pour tout entier relatif m : e a+b = e a e b e a = e a e a b = ea e ma = (e a ) m ea = e a e b e x lim = x 0 x Pour tous réels a, a,..., a n, e (a+a+ +an) = e a e a...e an 3
5 Monotonie de la fonction exponentielle Propriété 8 est strictement croissante sur R. est dérivable sur R et exp = exp > 0 Donc la fonction exponentielle croît strictement sur R. Propriété 9 Pour tous réels a et b :. e a = e b a = b. e a < e b a < b 3. e a > e b a > b 4. e a < a < 0 et e a > a > 0 Soient a et b deux réels. Si a = b, on a bien sûr e a = e b Réciproquement, supposons e a = e b Si a < b alors e a < e b puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur R, ce qui contredit e a = e b De même si a > b alors e a > e b ce qui contredit e a = e b Donc nécessairement a = b. Si a < b alors e a < e b puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur R Réciproquement, supposons e a < e b Si a b alors e a e b puisque la fonction exponentielle est (strictement) croissante sur R, ce qui contredit e a = e b Donc nécessairement a < b 3. Cette équivalence se démontre de manière similaire à la précédente 4. e a < e a < e 0 a < 0 e a > e a > e 0 a > 0 6 Courbe représentative de la fonction exponentielle La courbe représentative de la fonction exponentielle est tracée ci-dessous. 5 C exp 4 3 e #» ȷ 3 O #» ı 4
7 Approximation affine au voisinage de 0 de la fonction exponentielle Propriété 0 L approximation affine locale en 0 de la fonction exponentielle s écrit : e h +h pour h proche de 0 L approximation affine locale au voisinage de 0 s écrit : e h e 0 +hexp (0) pour h proche de 0. Or exp (0) = exp(0) = On obtient donc bien le résultat annoncé. 8 Comportement de la fonction exponentielle au voisinage de l infini Propriété lim x + ex = + et lim x ex = 0 Ces limites sont admises (pour l instant). Elles peuvent être conjecturées à partir de la courbe représentative de la fonction. On peut désormais dresser le tableau de variation complet de la fonction exponentielle. x 0 + exp (x) + + exp(x) 0 9 Dérivée de la composée x exp(ax + b) Propriété Soient a et b deux réels. Alors la fonction f : x exp(ax+b) est dérivable sur R et pour tout x de R, f (x) = aexp(ax+b). est dérivable sur R donc par composition avec une fonction affine, la fonction f est dérivable sur R et pour tout x de R, f (x) = aexp (ax+b) Puisque exp = exp, on obtient bien : pour tout x de R, f (x) = aexp(ax+b) Remarque Avec la notation différentielle, on écrit : d d exp(ax+b) = aexp(ax+b) ou dx dx eax+b = ae ax+b. 5