1 PROGRESSION 4 EME 1) OPERATIONS AVEC LES NOMBRES RELATIFS CALCUL NUMERIQUE Opérations (+,,, ) sur les nombres relatifs en écriture décimale. Enchainement d opérations. Calculer le produit de nombres relatifs simples. Sur des exemples numériques écrire en utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul portant sur des sommes ou des produits de nombres relatifs. Organiser et effectuer à la main ou à la calculatrice des séquences de calcul. CALCUL LITTERAL Calculer la valeur d une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. COMMENTAIRE : Utilisation du calcul littéral afin de prouver des résultats généraux du type «montrer qu un nombre relatif et son opposé ont le même carré»
2 1) NOMBRES RELATIFS (ENTIERS ET DECIMAUX) : Multiplier / diviser des nombres relatifs ; déterminer une valeur approchée d un quotient de nombres relatifs. Calculer une expression avec des sommes ou des produits de nombres relatifs (valeurs numériques). Ecrire une expression portant sur des sommes ou produits de nombres relatifs (valeurs numériques). Savoir supprimer des parenthèses dans une somme algébrique. 2) CALCUL LITTÉRAL: Calculer une expression littérale pour des expressions numériques données. Mettre en équation un problème ; utiliser le calcul littéral pour démontrer un résultat général.
3 2) LE THEOREME DE PYTHAGORE 1/2 FIGURES PLANES Triangle rectangle : Théorème de PYTHAGORE. Calculer la longueur d un côté d un triangle rectangle à partir de celle des deux autres. COMMENTAIRE : Utilisation du logiciel VoiceThread afin de démontrer le théorème de PYTHAGORE et répondre à de nombreux problème à l oral (avant le passage à l écrit). 1) TRIANGLES RECTANGLES: Utiliser la relation de PYTHAGORE pour calculer la longueur d un côté d un triangle rectangle en fonction des longueurs des deux autres côtés.
4 3) NOMBRES RELATIFS EN ECRITURE FRACTIONNAIRE CALCUL NUMERIQUE Opérations (+,,, ) sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire (non nécessairement simplifiée). Division de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire. Multiplier, additionner et soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire. Diviser des nombres relatifs en écriture fractionnaire. Connaître et utiliser l égalité :! = a!.!! Notion d inverse d un nombre non nul. Enchainement d opérations. Sur des exemples numériques écrire en utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul portant sur des sommes ou des produits de nombres relatifs. Organiser et effectuer à la main ou à la calculatrice des séquences de calcul. CALCUL LITTERAL Calculer la valeur d une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. 1) ECRITURE FRACTIONNAIRE : Comparer deux écritures fractionnaires de nombres relatifs. Connaître et utiliser l équivalence entre! =! et ad = bc pour b 0 et c 0.!! Additionner / soustraire des écritures fractionnaires de nombres relatifs. Multiplier des écritures fractionnaires de nombres relatifs. Connaître et utiliser l égalité! = a! avec b 0 en lien avec la notion d inverse.!! Diviser deux écritures fractionnaires de nombres relatifs. 2) CALCUL LITTÉRAL: Calculer une expression littérale pour des expressions numériques données. Mettre en équation un problème ; utiliser le calcul littéral pour démontrer un résultat général.
5 4) DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE TANGENTE A UN CERCLE FIGURES PLANES Distance d un point à une droite. Savoir que le point d une droite le plus proche d un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite. Tangente à un cercle. Construire la tangente à un cercle en l un de ses points. Savoir reconnaître qu une droite est tangente à un cercle. 1) DISTANCE D UN POINT À UNE DROITE: Savoir que le point d une droite le plus proche d un point donné est le pied de la perpendiculaire concernée. Connaître, construire et utiliser la tangente à un cercle en un point donné.
6 5) PUISSANCES D EXPOSANT ENTIER RELATIF CALCUL NUMERIQUE Puissances d exposant entier relatif. Comprendre et utiliser les notations : a! et a!! et savoir les utiliser sur des exemples numériques, pour des exposant très simples et pour des égalités simples. Utiliser sur des exemples numériques les égalités 10! 10! = 10!!! ;!"! =!"! 10!!! et 10!! = 10!! où m et n sont des entiers relatifs. Notation scientifique. Sur des exemples numériques, écrire et interpréter un nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir des puissances de 10. Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur du résultat d un calcul. 1) PUISSANCES Comprendre et savoir utiliser les notations a! et a!!. Connaître et utiliser les règles de calcul sur les puissances. Comprendre et utiliser les puissances de 10 (calculatrice). Connaître et utiliser les règles de calcul sur les puissances de 10. Ecrire un nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir les puissances de 10. Utiliser la notation scientifique.
7 15) LE THEOREME DE PYTHAGORE 2/2 FIGURES PLANES Triangle rectangle : Théorème de PYTHAGORE. Caractériser le triangle rectangle par l égalité de PYTHAGORE. Démontrer qu un triangle est rectangle connaissant les longueurs des trois côtés. Démontrer qu un triangle n est pas rectangle en connaissant les longueurs des trois côtés. 1) TRIANGLES RECTANGLES: Déterminer si un triangle est rectangle ou non en utilisant la propriété de PYTHAGORE.
8 7) CALCUL LITTERAL CALCUL LITTERAL Calculer la valeur d une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. Développement Réduire une expression littérale à une variable. Développer une expression de la forme : a + b c + d. Comparaison de deux nombres relatifs. Comparer deux nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire, en particulier connaître et utiliser : L équivalence entre a = b et a b = 0; L équivalence entre! et ad = bc avec b et d non nuls ;! =!! L équivalence entre a > b et a b > 0. Utiliser le fait que des nombres relatifs de l une des deux formes suivantes sont rangés dans le même ordre que a et b: a + c et b + c; a c et b c. Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ac et bc sont dans le même ordre (respectivement inverse) que a et b si c est strictement positif (respectivement négatif). Ecrire des encadrements résultant de la troncature ou de l arrondi à un rang donné d un nombre positif en écriture décimale ou provenant de l affichage d un résultat de calculatrice. COMMENTAIRE : La comparaison des nombres relatifs est principalement introduite en fiche rituelle et traitée tout au long de l année. L une des équivalences est utilisée pour démontrer l égalité des produits en croix.
9 1) CALCUL LITTÉRAL: Calculer une expression littérale pour des expressions numériques données. Réduire une expression littérale du premier ou second degré à une ou plusieurs inconnues. Développer une expression du type a + b c + d.
10 8) PYRAMIDE CONFIGURATION DANS L ESPACE Pyramide et cône de révolution. Réaliser le patron d une pyramide de dimensions données. AIRES ET VOLUMES Calculs d aires et volumes. Calculer le volume d une pyramide et d un cône de révolution à l aide de la formule V =!! h. 1) PYRAMIDE ET CÔNE DE RÉVOLUTION Connaître la pyramide et le vocabulaire de l espace associé. Reconnaître, interpréter et fabriquer un patron d une pyramide. 2) VOLUME Calculer le volume d une pyramide.
11 9) EQUATIONS DU PREMIER DEGRE CALCUL LITTERAL Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. COMMENTAIRE : Pas de cours magistral. Chapitre aborder «à l américaine» avec des «exemples types» seulement. 1) CALCUL LITTÉRAL: Résoudre une équation du premier degré à une inconnue. Mettre en équation un problème ; utiliser le calcul littéral pour démontrer un résultat général.
12 10) THEOREME DES MILIEUX FIGURES PLANES Triangle : milieux et parallèles. Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d un triangle. 1) TRIANGLES ET PARALLÈLES: Connaître et utiliser la propriété de la droite passant par les milieux de deux côtés d un triangle. Connaître et utiliser la propriété de la droite passant par un milieu et parallèle à un second côté d un triangle. Connaître et utiliser la propriété de la longueur d un segment reliant les milieux de deux côtés d un triangle.
13 11) PROPORTIONNALITE - POURCENTAGE UTILISATION DE LA PROPORTIONNALITÉ Quatrième proportionnelle. Calculs faisant intervenir des pourcentages. Déterminer une quatrième proportionnelle. Déterminer le pourcentage relatif à un caractère d un groupe constitué de la réunion de deux groupes dont les effectifs et les pourcentages relatifs à ce caractère sont connus. PROPORTIONNALITE Représentations graphiques. Utiliser dans le plan muni d un repère, la caractérisation de la proportionnalité par l alignement de points avec l origine. COMMENTAIRE : Notions filées tout au long de l année. Notions travaillées en fiche rituelle. Notions travaillées de façon pluridisciplinaire en technologie. 1) PROPORTIONNALITE : Déterminer une quatrième proportionnelle (produit en croix). Déterminer un pourcentage relatif à un caractère obtenu après la réunion de deux groupes connus. Utiliser la caractérisation graphique de la proportionnalité dans un plan repéré.
14 12) TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE FIGURES PLANES Triangle rectangle : cercle circonscrit. Caractériser un triangle rectangle par son inscription dans un demi- cercle dont le diamètre est un côté du triangle. Caractériser les points d un cercle de diamètre donné par la propriété de l angle droit. 1) TRIANGLES RECTANGLES: Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi- cercle dont le diamètre est l un des côtés du triangle. Caractériser les points d un cercle de diamètre donné par la propriété de l angle droit avec les extrémités du diamètre.
15 13) TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNEES TRAITEMENT DES DONNEES Moyennes pondérées. Calculer la moyenne d une série de données. Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule. Créer un graphique à partir des données d une feuille de calcul. COMMENTAIRE : Notions filées tout au long de l année. Notions travaillées en fiche rituelle. Notions travaillées de façon pluridisciplinaire en technologie. 1) TRAITEMENT DE DONNEES : Calculer la moyenne d une série de données. Calculer une moyenne pondérée de valeurs par leurs effectifs. Créer ou modifier une feuille de calcul ; insérer une formule. Créer un graphique à partir des données d une feuille de calcul.
16 14) TRIANGLE RECTANGLE : COSINUS D UN ANGLE FIGURES PLANES Triangle rectangle : Cosinus d un angle. Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents. Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée du cosinus d un angle aigu donné ou de l angle aigu dont le cosinus est donné. 1) TRIANGLES RECTANGLES: Connaître et utiliser les relations du cosinus dans un triangle rectangle. Utiliser les touches cos x et cos!! x pour déterminer une valeur approchée.
17 15) VITESSE GRANDEURS QUOTIENTS COURANTES Vitesse moyenne Calculer des distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l égalité d = vt. Changement d unités de vitesse. COMMENTAIRE : Notion travaillée en fiche rituelle à partir de données relevées en E.P.S. 1) GRANDEURS QUOTIENTS COURANTES Calculer une vitesse moyenne, une distance parcourue ou une distance de parcourt à partir des autres données. Convertir des unités de vitesse.
18 16) LE THEOREME DE THALES FIGURES PLANES Triangle déterminé par deux parallèles coupant deux demi- droites de même origine. Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi- droites de même origine. AGRANDISSEMENT ET REDUCTION Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et de celles de la figure à obtenir. 1) TRIANGLES ET PARALLÈLES: Connaître et utiliser la propriété de THALES dans le triangle. Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité des longueurs.
19 17) CONE DE REVOLUTION CONFIGURATION DANS L ESPACE Pyramide et cône de révolution. Réaliser le patron d une pyramide de dimensions données. AIRES ET VOLUMES Calculs d aires et volumes. Calculer le volume d une pyramide et d un cône de révolution à l aide de la formule V =!! h. 1) PYRAMIDE ET CÔNE DE RÉVOLUTION Connaître la pyramide et le vocabulaire de l espace associé. Connaître le cône de révolution et le vocabulaire de l espace associé. Reconnaître, interpréter et fabriquer un patron d une pyramide. Reconnaître, interpréter et fabriquer un patron de cône de révolution de rayon donné. 2) VOLUME Calculer le volume d une pyramide. Calculer le volume d un cône de révolution.
20 18) BISSECTRICES ET CERCLES INSCRITS FIGURES PLANES Bissectrice d un angle. Connaître et utiliser la définition de la bissectrice. Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatrice d un segment. Utiliser différentes méthodes pour tracer la bissectrice d un angle. Bissectrice et cercle inscrit. Caractériser les points de la bissectrice d un angle donnée par la propriété d équidistance aux deux côtés de l angle. Construire le cercle inscrit dans un triangle. 1) DISTANCE D UN POINT À UNE DROITE: Connaître et utiliser la définition de la bissectrice ainsi que la caractérisation de l équidistance de ses points. Connaître et construire le cercle inscrit dans un triangle.
21 19) ORDRE CALCUL LITTERAL Comparaison de deux nombres relatifs. Comparer deux nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire, en particulier connaître et utiliser : L équivalence entre a = b et a b = 0; L équivalence entre! et ad = bc avec b et d non nuls ;! =!! L équivalence entre a > b et a b > 0. Utiliser le fait que des nombres relatifs de l une des deux formes suivantes sont rangés dans le même ordre que a et b: a + c et b + c; a c et b c. Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ac et bc sont dans le même ordre (respectivement inverse) que a et b si c est strictement positif (respectivement négatif). Ecrire des encadrements résultant de la troncature ou de l arrondi à un rang donné d un nombre positif en écriture décimale ou provenant de l affichage d un résultat de calculatrice. COMMENTAIRE : La comparaison des nombres relatifs est principalement introduite en fiche rituelle et traitée tout au long de l année. L une des équivalences est utilisée pour démontrer l égalité des produits en croix. 1) CALCUL LITTÉRAL: Calculer une expression littérale pour des expressions numériques données. Réduire une expression littérale du premier ou second degré à une ou plusieurs inconnues. Développer une expression du type a + b c + d