Diplôme national du Brevet AMÉRIQUE DU NORD Juin 013 Exercice 1 Pour chacune des quatre questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est exacte. 1. L arbre ci-dessous est un arbre de probabilité. La probabilité manquante sous la tâche est : 1 9 a) 7 18 b) 5 1 1 c) 5 9. Dans une salle, il y a des tables à 3 pieds et à 4 pieds. Léa compte avec les yeux bandés 169 pieds. Son frère lui indique qu il y a 34 tables à 4 pieds. Sans enlever son bandeau, elle parvient à donner le nombre de tables à 3 pieds qui est de : a) 135 b) 11 c) 166 3. 90% du volume d un iceberg est situé sous la surface de l eau. La hauteur totale d un iceberg dont la partie visible est 35 m est d environ : 4. a) 350 m b) 3 500 m c) 31,5 m à le même périmètre que : a) b) c)
Exercice Arthur vide sa tirelire et constate qu il possède 1 billets. Il a des billets de 5e et des billets de 10e pour une somme totale de 15e. Combien de billets de chaque sorte possède-t-il? Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. Exercice 3 Caroline souhaite s équiper pour faire du roller. Elle a le choix entre une paire de rollers gris à 87e et une paire de rollers noirs à 99e. Elle doit aussi acheter un casque et hésite entre trois modèles qui coûtent respectivement 45e e et 9e. 1. Si elle choisit son équipement (un casque et une paire de rollers) au hasard, quelle est la probabilité pour que l ensemble lui coûte moins de 130e?. Elle s aperçoit qu en achetant la paire de rollers noirs et le casque à 45e elle bénéficie d une réduction de 0% sur l ensemble. a. Calculer le prix en euros et centimes de cet ensemble après réduction. b. Cela modifie-t-il la probabilité obtenue à la question 1.? Justifier la réponse. Exercice 4 Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et 1 045 dragées aux amandes dans des sachets ayant la même répartition de dragées au chocolat et aux amandes. 1. Peut-il faire 76 sachets? Justifier la réponse..a Quel nombre maximal de sachets peut-il réaliser?.b Combien de dragées de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet? Exercice 5 Tom doit calculer 3,5. «Pas la peine de prendre la calculatrice», lui dit Julie, tu n as qu à effectuer le produit de 3 par 4 et d ajouter 0,5. 1. Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de 3,5.. Proposer une façon simple de calculer 7,5 et donner le résultat. 3. Julie propose la conjecture suivante : (n+0,5) = n(n+1)+0,5 n est un entier positif. Prouver que la conjecture de Julie est vraie (quel que soit le nombre n). Exercice 6 On dispose d un carré de métal de 40 cm de côté. Pour fabriquer une boite parallélépipédique, on enlève à chaque coin un carré de côté x et on relève les bords par pliage. 1. Quelles sont les valeurs possibles de x?. On donne x=5 cm. Calculez le volume de la boite. 3. Le graphique en Annexe donne le volume de la boite en fonction de la longueur x. On répondra aux questions à l aide du graphique. a. Pour quelle valeur de x, le volume de la boite est-il maximum? b. On souhaite que le volume de la boite soit 000 cm 3. Quelles sont les valeurs possibles de x?
40 x Exercice 7 Le Pentagone et un bâtiment hébergeant le ministère de la défense des États-Unis. Il a la forme d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA=38 m. Il est représenté par le schéma ci-contre. 1. Calculer la mesure de l angle ÂOB.. La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. a. Justifier que (OM est aussi la bissectrice de ÂOB et la médiatrice de[ab]. b. Prouver que[am] mesure environ 140 m. c. En déduire une valeur approchée du périmètre du Pentagone. Exercice 8 Les longueurs sont données en centimètres. ABCD est un trapèze. 1.a Donner une méthode permettant de calculer l aire du trapèze ABCD. 1.b Calculer l aire de ABCD.. Dans cette question, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. D A 7 B C 3 L aire d un trapèze A est donné par l une des formules suivantes. Retrouver la formule juste en expliquant votre choix. b h B A= (b.b)h A= (b+b)h A=(b+B)h
Annexe 5500 5000 4500 4000 3500 3000 500 000 1500 1000 500 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0
Correction du Brevet de mathématiques Amérique du Nord Exercice 1 Juin 013 1. La somme des probabilités sur un arbre doit être égale à 1. La valeur manquante vaut donc 1 1 9 1 = 18 18 18 9 18 = 7 18. S il y a 34 tables à 4 pieds, cela correspond à 34 4=136 pieds. Il reste donc 169 136=33 pieds. 33=3 11 Il y a 11 tables à 3 pieds. 3. Si 90% de la surface visible est sous la surface de l eau, 10% est au dessus de la surface. 35 m représente donc 10% du volume de l iceberg. Le volume total est donc 350 m. 4. La figure de départ est constitué d une partie de rectangle et de deux demi-cercles comme la figure b? Exercice Notons x le nombre de billets de 5e et y le nombre de billets de 10e. Le problème permet d obtenir le système suivant : { x+y=1 (1) 5x+10y=15 () Utilisons la méthode de substitution : Dans l équation(1), x=1 y. Dans l équation() on arrive à : 5(1 y)+10y=15 105 5y+10y=15 5y=0 y=4 Donc x=17 Vérifions : 17+4=1 et 17 5e +4 10e = 85e +40e = 15e. C est bon! Exercice 3 Il y a paires de roller possibles et 3 modèles de casques. Voici un tableau indiquant les couples de rollers et casques possibles avec le prix : Rollers gris à 87e Rollers noirs à 99e Casque à 45e 133e 144e Casque à e 109e 11e Casque à 9e 116e 18e Nous sommes dans une situation d équiprobabilité. Il y a 6 possibilités. Parmi celles-ci, 4 ont un prix inférieur à 130e. La probabilité pour que l ensemble coûte moins de 130e est donc f rac46= 3 0,67.a La paire de rollers noirs et le casque à 45e coûtent ensemble 144e. Pour retirer 0% à ce prix il suffit de le multiplier par 0,80. 0,80 144e = 115,e..b L ensemble étudié à la question.a a maintenant un prix inférieur à 130e. La probabilité pour que l ensemble coûte moins de 130e est donc 5 6 0,83. Cela modifie donc la probabilité de la question 1. Exercice 4 1. On a 760=76 10 et 1 045=76 13+57 On ne peut pas faire 76 sachets car il restera 57 dragées aux amandes..a On cherche à trouver un diviseur commun à 760 et 1 045. On cherche le nombre maximal, c est à dire le PGCD(760;1 045) On utilise l algorithme d Euclide : 1 045=760 1+85 760=85 +190 85=190 1+95 190=95 +0 Donc PGCD(760; 1 045) = 95 Le nombre de sachet maximal à réaliser est 95..b Comme 760=95 8 et 1 045=95 11, on pourra mettre 8 dragées au chocolat et 11 dragées aux amandes dans chaque sachet. Exercice 5
1. 3 4=1 et 1+0,5=1,5 3,5 = 1,5 Ça marche!. 7 8=56 et 56+0,5=56,5 7,5 = 56,5 Ça marche encore! 3.(n+0,5) = n + n 0,5+0,5 = n + n+0,5 Or n + n=n(n+1) On a bien(n+0,5) = n(n+1)+0,5 Pour n=3, n+1=4. Pour n=7, n+1=8 ce qui prouve les résultats des questions et 3 Exercice 6 1. La base carrée de la boite mesure 40 x. Quand x varie cette valeur doit rester positive. Comme 40 0=0, x vaut au maximum 0 et au minimum 0 0 x 0. La boite est un parallélépipède rectangle à base carrée. Quand x=5 cm, la base est un carré de côté 30 cm et la hauteur est 5 cm. La volume de la boite est(30 cm) 5 cm=4 500 cm Voir graphique. 3.a Pour x=6,5 cm, le volume est maximale, environ 4 750 cm 3 3.b Quand la boite a un volume de 000 cm 3, x mesure 1,5 cm ou 14 cm Exercice 7 1. Le pentagone régulier a 5 côtés égaux. On a ainsi ÂOB= 360 5 = 7.a AOB est un triangle isocèle en O car [AO] et [BO] sont des rayons du cercle. La hauteur issue de O du triangle AOB est donc un axe de symétrie du triangle AOB (OM) est donc la médiatrice de [AB] et la bissectrice de l angle ÂOB.b Dans le triangle AOM rectangle en M, comme (OM) est la bissectrice de l angle ÂOB on a ÂOM = 7 = 36 On a : sin(36 )= AM 38 m d où AM = 38 m sin(36 ) AM 139,9 m c est à peu près 140 m.c Le périmètre du pentagone mesure donc à peu près : 5 140 m=700 m Exercice 8 1.a On peut obtenir l aire du trapèze ABCD par soustraction de l aire des deux triangles rectangles à l aire du rectangle. 1.b Aire(rectangle)=3 cm 7 cm=1 cm 1 cm 3 cm Aire(triangle 1 )= = 1,5 cm 3 cm 3 cm Aire(triangle )= = 4,5 cm Donc Aire(ABCD)=1 cm 4,5 cm 1,5 cm = 15 cm. On peut tester les trois formules données avec les valeurs de la question 1. On a b=3 cm, B=7 cm et h=3 cm 3 cm 7 cm 3 cm La première formule donne A= = 31,5 cm 3 C est une formule pour calculer un volume et pas une aire! 30 cm La seconde formule donne A=(3 cm+7 cm) 3 cm= = 15 cm La troisième donne enfin A=(3 cm+7 cm) 3 cm=60 cm Seule la seconde formule convient!
Annexe 5500 5000 4 750 4500 4000 3500 3000 500 000 1500 1000 500 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1,5 6,5