Second degré. Second degré. Classe de première S et ES/L.

Second degré Classe de première S et ES/L. Second degré Introduction... Séquence 1...3 I. Fonction polynôme de degré...3 II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré...3 III. Variations et représentation graphique...5 1) Si a > 0...5 ) Si a < 0...5 Séquence...7 I. Résolution d'une équation du second degré...7 II. Factorisation d'un trinôme...8 III. Signe d'un trinôme...10 IV. Algorithme Algobox résolution équation du second degré...1 Livre 1 (L1) A. Gniady Second degré page 1 / 13

Le second degré est présent partout ou presque... Introduction On trouve cette forme parabolique en architecture ou en balistique comme le montrent les exemples suivants : Saint-Louis Abbey, aux formes paraboliques se trouve à Crève- Coeur dans le Missouri. On trouve aussi la présence du second degré dans le lancer des projectiles dans un champ de gravitation tel que celui de la Terre. Le ballon, lancé en l'air et sans effet suit une trajectoire parabolique parfaite. Il en est de même pour le boulet de canon. Les paraboles1 utilisées pour recevoir la télévision par satellite ne sont pas nommées ainsi par hasard. La forme parabolique (on parle de paraboloïde) permet de concentrer le signal sur le récepteur situé au foyer. C'est une caractéristique géométrique de cette courbe. Nous allons maintenant nous diriger vers l'étude théorique des paraboles et des expressions du second degré qui leur sont associées. A. Gniady Second degré page / 13

Séquence 1 I. Fonction polynôme de degré L1 L1 :: activité 1p48 1p48 Définition : On appelle fonction polynôme de degré toute fonction f définie sur R par une expression de la forme : = a x² + b x + c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a 0. Remarque : Une fonction polynôme de degré s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : = 3 x² 7 x + 3 g( x) = 3 x² + x + 5 h( x) = 4 x² k ( x) = ( x 4)(x + 3) sont des fonctions polynômes de degré. m(x) = 5 x 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). n(x) = x 4 3 x 3 + x 5 x + 3 est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré Théorème 1 : Toute fonction f polynôme de degré définie sur R par = a x² + b x + c peut s'écrire sous la forme : = a( x α) + β, où α et β sont deux nombres réels. On a α = b et β = f (α) a Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. Démonstration : Puisque a 0, = a ( x² + b a x ) ( x + b a ). En effet : ( x + b a ) = x + b a x+ ( b a ). On en déduit que x + b a x = ( x + b a ) b Il en résulte que = a[( x + b a ) = a ( x + b a ) + c. Entre parenthèses, on reconnaît le début du développement de. 4a 4a ] + c b b 4ac 4a En posant α = b a et β = b 4ac, on obtient = a( x α) + β. 4a A. Gniady Second degré page 3 / 13

Exemples : = 3(x + 1) + 7 a = 3 ; α = 1 ; β = 7 g( x) = ( x + 5) 4 a = ; α = 5 ; β = 4 h( x) = 3 (x 3) + 7 3 a = 3 ; α = 3 ; β = 7 3 Méthode : Démontrer qu une expression est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré. Soit la fonction f définie sur R par : = x² 0 x + 10. 1) Démontrer que f ( x) = ( x 5) 40 est la forme canonique de f. Méthode 1 : Méthode : = x² 0 x + 10 = (x² 10 x) + 10 = (x 5)² 50 + 10 = (x 5)² 40 (x 5) 40 = (x² 10 x + 5) 40 = x² 0 x + 50 40 = x² 0 x + 10 = A. Gniady Second degré page 4 / 13

III. Variations et représentation graphique Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par : = (x 1) + 3 Alors : 3 car ( x 1) est positif. Or f (1) = 3 donc pour tout x, f (1). f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré définie par = a( x α) + β, avec a 0. - Si a > 0, f admet un minimum pour x = α. Ce minimum est égal à β. - Si a < 0, f admet un maximum pour x = α. Ce maximum est égal à β. 1) Si a > 0 x α + β ) Si a < 0 x α + β A. Gniady Second degré page 5 / 13

Dans un repère orthogonal (O, i, j ), la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum ou au minimum de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite (verticale) d'équation x = α. Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré Soit la fonction f définie sur R par : = x² + 4 x. 1) Démontrer que f ( x) = ( x ) + 4 est la forme canonique de f. ) Représenter graphiquement la fonction f. 1) ( x ) + 4 = ( x² 4 x + 4) + 4 = x² + 4 x = ) On a donc = (x ) + 4. f admet donc une maximum pour x =. Ce maximum est égal à égal à 4 : f () = ( ) + 4 = 4 Les variations de f sont donc données par le tableau suivant : x + 4 A. Gniady Second degré page 6 / 13

Séquence I. Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme a x² + b x + c = 0 où a, b et c sont des réels avec a 0.. Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme a x² + b x + c. Exemple : L'équation x² + 3 x 1 = 0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme a x² + b x + c, le nombre réel, noté Δ, égal à b 4ac. Exemple : Le discriminant de l équation x² + 3 x 1 = 0 est 17 : = 3² 4 x x (-1) = 9 + 8 = 17 (a =, b = 3 et c = -1). Théorème : Soit Δ le discriminant du trinôme a x² + b x + c. Si Δ < 0 : l'équation a x² + b x + c = 0 n'a pas de solution réelle. Si Δ = 0 : l'équation a x² + b x + c = 0 a une unique solution x 0 = b a. Si Δ > 0 : l'équation a x² + b x + c = 0 a deux solutions distinctes : x 1 = b Δ a et x = b + Δ a Démonstration : Reprenons la forme canonique de la démonstration du théorème 1 : = a ( x + b a ) b 4ac 4a f (x ) = a[( x + b a ) Δ 4a ] Si Δ < 0, alors Δ est strictement positif. Il en est de même pour l'expression entre crochets. 4a Est le produit de deux facteurs non nuls. L'équation =0 n'a donc pas de solution. Si Δ = 0, alors = a ( x + b a ). Ainsi puisque a 0, =0 équivaut à ( x + b a ) = 0. L'équation a donc une unique solution : x 0 = b a. Si Δ > 0, alors Δ = Δ et = a[( x + b L'équation a donc deux solutions : x 1 = a ) b Δ a ( Δ a ) et x = ] = a[( x + b Δ a b + Δ. a )( x + b+ Δ a )]. A. Gniady Second degré page 7 / 13

En posant α = b a et β = b 4ac, on obtient = a( x α) + β. 4a Méthode : Résoudre une équation du second degré. Résoudre les équations suivantes : 1) x² x 6 = 0 ) x² 3x + 9 = 0 3) x² + 3 x + 10 = 0 8 1) Calculons le discriminant de l'équation x² x 6 = 0 : Δ = b 4ac = ( 1) 4 ( 6) = 1 + 48 = 49 Comme Δ > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : b Δ ( 1) 49 x 1 = = = 3 x a 1 = Donc les solutions de cette équation sont : S = { 3 ; } b + Δ a = ( 1) + 49 = ) Calculons le discriminant de l'équation x² 3x + 9 8 = 0 : Δ = b 4ac = ( 3) 4 ( 9 8 ) = 9 9 = 0 Comme Δ = 0, l'équation possède une solution : x 0 = b a = ( 3) = 3 4 S = { 3 4 } 3) Calculons le discriminant de l'équation x² + 3 x + 10 = 0 : Δ = b 4ac = 3 4 1 10 = 31 Comme Δ < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle. S = II. Factorisation d'un trinôme Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré définie sur R par = a x² + b x + c. Si Δ = 0 : pour tout réel x on a = a( x x 0 ) Si Δ > 0 : pour tout réel x on a = a( x x 1 )(x x ) - propriété admise - Remarque : Si Δ < 0, on n'a pas de forme factorisée de f. A. Gniady Second degré page 8 / 13

Méthode : Factoriser un trinôme Factoriser les trinômes suivants : 1) f ( x) = 4 x² + 19 x 5 ) g ( x) = 9 x² 6 x + 1 1) On cherche les racines du trinôme = 4 x² + 19 x 5 Calcul du discriminant : Δ = 19² 4 x 4 x (-5) = 441 19 Les racines sont : x 1 = 441 19 + = 5 x 4 = 441 4 On a donc : = 4 x² + 19 x 5 = 4 ( x ( 5)) ( x 1 4) = ( x+5 ) (4 x 1) = 1 4 Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. ) On cherche les racines du trinôme g ( x) = 9 x² 6 x + 1 Calcul du discriminant : Δ = (-6)² 4 x 9 x 1 = 0 La racine (double) est : x 0 = ( 6) 9 = 1 3 On a donc : g( x) = 9 x² 6 x + 1 = 9 ( x 1 3) = (3x 1) A. Gniady Second degré page 9 / 13

III. Signe d'un trinôme Remarque préliminaire : Pour une fonction polynôme de degré définie par = a x² + b x + c : si a > 0, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le haut : si a < 0, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le bas : Théorème 3 : Soit f une fonction polynôme de degré définie sur R par = a x² + b x + c. Si Δ < 0 : a > 0 a < 0 x + Signe de a L équation f(x)=0 n a pas de solution donc la courbe de f ne traverse pas l axe des abscisses. Si Δ = 0 : x x 0 + Signe de a 0 Signe de a L'équation f(x)=0 a une solution unique donc la courbe de f a son extremum sur l axe des abscisses. Si Δ > 0 : x x 1 x + Signe a 0 Signe -a 0 Signe a L équation f(x)=0 a deux solutions donc la courbe de f traverse l axe des abscisses en deux points. Démonstration : On démontre facilement ce théorème en utilisant la forme = a[( x + b a ) Δ 4a ] et la forme = a( x x 1 )(x x ) pour Δ > 0. pour Δ<0 et Δ=0 A. Gniady Second degré page 10 / 13

Méthode : Résoudre une inéquation Résoudre l inéquation suivante : x² + 3 x 5 < x + On commence par rassembler tous les termes dans le membre de gauche afin de pouvoir étudier le signe du trinôme. x² + 3 x 5 < x + Équivaut à x² + 4 x 7 < 0 Le discriminant de x² + 4 x 7 est Δ = 4² 4 x 1 x (-7) = 44 et ses racines sont : 4 x 1 = 44 4 + = 11 x 1 1 = 44 = + 11 1 On obtient le tableau de signes : x 11 + 11 + + 0 0 + L'ensemble des solutions de l'inéquation x² + 3 x 5 < x + est donc : S = [ 11; + 11] Vérification : On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. Un logiciel de calcul formel permet également de contrôler le résultat : A. Gniady Second degré page 11 / 13

IV. "Exercices types" second degré Équations bicarrées... Avec des taux d'évolution... Coûts, recettes et bénéfices Positions relatives... A. Gniady Second degré page 1 / 13

V. Algorithme Algobox résolution équation du second degré 1 VARIABLES a EST_DU_TYPE NOMBRE 3 b EST_DU_TYPE NOMBRE 4 c EST_DU_TYPE NOMBRE 5 delta EST_DU_TYPE NOMBRE 6 x0 EST_DU_TYPE NOMBRE 7 x1 EST_DU_TYPE NOMBRE 8 x EST_DU_TYPE NOMBRE 9 DEBUT_ALGORITHME 10 AFFICHER "Resolution d'une equation du second degre" 11 AFFICHER "entrez les coefficients du trinome du second degre" 1 LIRE a 13 LIRE b 14 LIRE c 15 SI (a==0) ALORS 16 DEBUT_SI 17 AFFICHER "Ceci n'est pas un trinome du second degre" 18 FIN_SI 19 SINON 0 DEBUT_SINON 1 delta PREND_LA_VALEUR pow(b,)-4*a*c AFFICHER "delta=" 3 AFFICHER delta 4 SI (delta<0) ALORS 5 DEBUT_SI 6 AFFICHER "L'equation n'admet pas de solution" 7 FIN_SI 8 SINON 9 DEBUT_SINON 30 SI (delta==0) ALORS 31 DEBUT_SI 3 AFFICHER "L'equation admet une solution" 33 x0 PREND_LA_VALEUR -b/(*a) 34 AFFICHER "x0=" 35 AFFICHER x0 36 FIN_SI 37 SINON 38 DEBUT_SINON 39 AFFICHER "l'equation admet deux solutions" 40 x1 PREND_LA_VALEUR (-b-sqrt(delta))/(*a) 41 x PREND_LA_VALEUR (-b+sqrt(delta))/(*a) 4 AFFICHER "x1=" 43 AFFICHER x1 44 AFFICHER "x=" 45 AFFICHER x 46 FIN_SINON 47 FIN_SINON 48 FIN_SINON 49 50 FIN_ALGORITHME 51 5 Fonction numérique utilisée : 53 F1(x)=a*x^+b*x+c Liste d'exercices : Inéquations : 75, 76 p 49 Bénéfices : 95 p 53 ; 107 p 59 Architect : 104 p 57 Pos. Relative : 90 p 5 A. Gniady Second degré page 13 / 13