Théorème de Thalès EXTRIT U.O. SPÉIL U 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires 3. Géométrie 3. Figures planes onfiguration de Thalès onnaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux paralèlles coupant deux droites sécantes. Il s agit de prolonger l étude commencée en classe de quatrième qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun. onnaître et utiliser un énoncé réciproque. La réciproque est formulée en tenant comte de l ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque. L utilisation d un logiciel de construction géométrique permet de créer des situations d approche ou d étude du théorème et de sa réciproque. grandissement et réduction. [Reprise du programme de 4 e ] grandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir. ans le cadre du socle commun, il est attendu des élèves qu ils sachent, dans des situations d agrandissement ou de réduction, retrouver des éléments (longueurs ou angles) de l une des deux figures connaissant l autre. En ce qui concerne les longueurs, ce travail se fait en relation avec la proportionnalité. ote : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. ertains commentaires ou exemples d activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d enseignement du programme. 3 Ouverture [] représente la muraille, [PQ] représente la perche et O représente le piquet marquant l emplacement de l œil de yrus Smith. Les longueurs sont exprimées en pieds. x 500 On a : P [O], Q [O] et (QP) // (). OP PQ onc d après la propriété de Thalès, on a : O. 5 0 5 000 où :, soit : x 333 pieds. 500 x 5 Je prends un bon départ Q 3 4 5 0 Q P 5 O 7 S3 ans le triangle EF : [EG), F [EH) et (GH) // (F). onc, d après le théorème de Thalès, on a : EG EH HG E EF F. 5 4 où : 9 F, soit : F 4 9 7, cm. 5 5 7 Et : 9 EF, soit : EF 7 9, cm. 5 8 S3. ans le triangle, I est le milieu de [] et la droite (IJ) parallèle à la droite () coupe le côté [] en J. onc d après les théorèmes des milieux, J est le milieu de [].. K est le milieu de [] et J est le milieu de []. après la définition d une médiane, (J) et (K) sont les médianes respectivement issues de et du triangle. G étant le point d intersection de ses deux médianes, il est le centre de gravité du triangle. I est le milieu du côté [], donc (I) est la médiane issue de du triangle. Le centre de gravité d un triangle est le point d intersection de ses médianes donc G appartient à la médiane (I). On en déduit que les points, G et I sont alignés.
9 S3. ans le triangle : [], P [] et (P) // (). onc, d après le théorème de Thalès, on a : P P. ans le triangle : P [], R [] et (PR) // (). onc, d après le théorème de Thalès, on a : P R PR. P P R PR On en déduit :. PR. après, on a :. PR 4 où : 0 5, soit : PR 4 0 8 cm. 5 x 3 0 a. x 4 x 4(x 3) x 4x 3x x 4 La solution de l équation est 4. x x + b. 5 3 3 x 5(x + ) x 5x + 0 x 0 La solution de l équation est 0. x c. 7 x 5 (x 5) 7x x 0 7x 5x 0 x La solution de l équation est. points et par rapport à, la droite symétrique de la droite () par rapport à est la droite ( ). Or, la symétrie transforme une droite en une droite parallèle. onc : () // ( ). On sait de plus que les droites () et () sont parallèles. On en déduit que les droites ( ) et () sont aussi parallèles.. ans le triangle : [], [] et ( ) // (). onc, d après le théorème de Thalès dans un triangle, on a :. 3. Le symétrique de par rapport à est, donc est le milieu de [ ], d où :. Le symétrique de par rapport à est, donc est le milieu de [ ], d où :. Les symétriques de et par rapport à sont respectivement et. Or la symétrie centrale conserve les longueurs, d où :. 4. On sait que :,, et. On en déduit :. Objectif onjecturer la réciproque du théorème de Thalès avec un logiciel de géométrie. émontrer cette réciproque dans un cas particulier... et. Pour la création de points, de droites et de segments avec GeoGebra, se reporter aux pages à 9 de la boîte à outils. 3. a. ctivités Objectifs onjecturer le théorème de Thalès avec un logiciel de géométrie. émontrer ce théorème dans un cas particulier... a., b. et c. Pour la création de points, de droites et de segments avec GeoGebra, se reporter aux pages à 9 de la boîte à outils.. On remarque que dans les deux cas de figures :. 3. En déplaçant le point sur la droite () ou en déplaçant les points, ou, on conserve l égalité des quotients :. 4. On peut dire que lorsque deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les longueurs des côtés des triangles obtenus sont proportionnelles... et étant les symétriques respectifs des hapitre Théorème de Thalès 37
On trouve deux positions possibles pour le point. b. Les conditions que doit vérifier le point pour que les droites () et () soient parallèles sont : les points, et sont alignés dans le même ordre que les points, et. les quotients et sont égaux.. OUET À PHOTOOPIER (EXE ). On sait que :. [], donc : + [], donc : + insi : + + + + où : H. ire de H ire de H H ire de H aire de 3. a. aire de H H aire de aire de H b. Or :. aire de aire de onc : aire de aire de. où : aire de aire de. 4. (K) est la hauteur issue de du triangle et (K ) est la hauteur issue de du triangle. K où : aire de et K aire de Or : aire de aire de. où : K K. 5. a. (K) est la hauteur issue de du triangle, donc les droites () et (K) sont perpendiculaires. (K ) est la hauteur issue de du triangle donc les droites () et (K ) sont perpendiculaires. Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. onc : (K) // (K ). après la question 4, on sait que : K K. Or, si deux côtés d un quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. onc KK est un parallélogramme. 38 e plus, il a un angle droit. onc KK est un rectangle. b. Les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles. onc : () // (KK ). Or K et K sont des points de la droite (). On en déduit que : () // ()..,. et 3. Savoir-faire 4. On sait que les droites () et () sont parallèles et que les droites () et () sont sécantes en. onc, d après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés des triangles et sont proportionnelles. où :., Soit : 7 4. alcul de,, donc :, 7. 7, 7,4. où : La longueur est égale à,4 cm. alcul de,, donc :, 4. 4, 4 où : 0,8. La longueur est égale à 0,8 cm. O P I [OL], donc : IL OL OI 8 5 3 cm. I [PK], donc : IP PK IK 5 3 cm. OI 5 IL 3 et IP IK 3. OI IP On constate que : IL IK. O, I et L d une part, et P, I et K d autre part sont alignés OI IP et, donc d après le théorème de Thalès, IL IK les droites (OP) et (KL) ne sont pas parallèles. I K L
3. R T. On sait que les segments [T] et [R] se coupent en O, donc les points, O et T d une part, et les points, O et R d autre part sont alignés dans le même ordre. O [T], donc : OT T O 7,5 7,5 0 cm. O [R], donc : O R OR 4 8 cm. O 7,5 O 3 0,75 et 0,75. OT 0 OR 8 4 O O On a ainsi : OT OR. onc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites () et (RT) 4 OUET À PHOTOOPIER (EXE ) P L 5 OUET À PHOTOOPIER (EXE 3) E K F OG OH a. S3 OR OS P H HP c. S S O G Exercices À l oral GH RS P I K IK b. S3 L V LV HG HJ GJ d. HK HI IK 7 a. S3 On sait que : () // () et [] et []. onc, d après le théorème de Thalès, on a :. [], donc : + + 3 4 cm. onc : 4 8, soit : 8 4 cm. b. On sait que : () // () et [) et [). onc, d après le théorème de Thalès, on a :.,5 onc : 4,5,, soit :,5 4,5,, 3 0,7 cm. 8. Faux. En effet, les quotients égaux sont : L V VL I K IK. L V. Vrai. En effet,, d où : L K I V. I K I 9. Faux. En effet : I 3,5, mais : I 5 I 4,5. I I. Vrai. En effet,. onc d après le théorème de I I Thalès, les droites () et () ne sont pas parallèles. 0 Les droites (), (FG), () et (EK) sont perpendiculaires à la droite (K), elles sont donc parallèles entre elles. Les points, F et d une part, et les points, G et d autre part sont alignés. lors d après le F G FG théorème de Thalès, on a :. F Or : 3., donc le triangle FG est une réduction 3 du triangle de rapport 3. Les points, et d une part, et les points, et d autre part sont alignés. lors d après le théorème de Thalès, on a :. Or :., donc le triangle est une réduction du triangle de rapport. Les points K, et d une part, et les points E, et d autre part sont alignés. lors d après le K E KE théorème de Thalès, on a :. K 3 Or :. <, donc le triangle EK est une réduction du triangle de rapport. hapitre Théorème de Thalès 39
a. S3 Les points, et d une part, et les points, et d autre part, sont alignés dans le même ordre. 3 et,4 3, 3. On a ainsi :. les droites () et () b. Les points, et d une part, et les points, et d autre part, sont alignés dans le même ordre. 0,4 et. 5 5,7 On a ainsi :. les droites () et () S3. Faux. En effet, l égalité E ne permet 3 pas d affirmer que : et E 3.. Vrai. En effet, les points, et E d une part, et les points, et d autre part, sont alignés dans le même ordre et : E 3. les droites () et (E) Je m entraîne 3 I [E] et I []. e plus, est un parallélogramme donc : () // (). Or E [], d où (E) // (). IE I E d où : I I. 4 a. S3 Les points, et E d une part, et les points, et F d autre part sont alignés et les droites () et (EF) d où : E F EF. Les points, et F d une part, et les points, H et G d autre part sont alignés et les droites (H) et (FG) H H d où : F G FG. b. Les points, E et K d une part, et les points, G et H d autre part sont alignés et les droites (EG) et (KH) E G EG d où : K H KH. Les points, et E d une part et les points F, et G d autre part sont alignés et les droites (EG) et (F) F F d où : E G EG. 40 Les points, et K d une part, et les points F, et H d autre part sont alignés et les droites (F) et (KH) F F d où : K H KH. 3 x 5 Figure S3 : (égalité c) x + Figure : x (égalité d) 3 8 Figure 3 S3 : (égalité a) x 8 x 3 Figure 4 : (égalité b) 8 x. Faux. En effet, il faut que les droites (RS) et () soient parallèles.. Vrai. En effet, d après les théorèmes des milieux des côtés d un triangle, est le milieu de [IK] et [L] mesure la moitié de [JK]. 7 S3 Les points, R et d une part, et les points, S et d autre part sont alignés et les droites (RS) et () R S SR d où :. R 9 0 5, soit : R 9 0 cm. 5 4, 9 5, soit : 4, 5 7 cm. 9 8 Les points, O et S d une part, et les points, O et R d autre part sont alignés et les droites (RS) et () O O d où : OS OR RS. 3 RS 0, soit : RS 3 0 5 cm.,5 OR 0, soit : OR,5 0 7,5 cm. 9. Les angles alternes internes KL et UF définis par les droites (KL) et (UF) et la sécante (KF) sont égaux. On en déduit que les droites (KL) et (UF). [LU] et [KF] et les droites (KL) et (UF) U F UF d où : L K KL. [LU], donc : L LU U 5,75,3 3,45.,3 F 3,45 3,, soit : F,3 3,,4 cm. 3,45,3, 4 3,45 KL, soit : KL, 4 3, 45, cm.,3
30. Les droites (I) et (JL) se coupent en O et les droites (IJ) et (L) OI OJ IJ d où : O OL L. IJ 3 où : L 7.. Les droites (IL) et (J) se coupent en et les droites (IJ) et (L) I J IJ d où : L L. 3, 3 où : 7, soit : 3, 7 8,4 cm. 3 Or J [], donc : J J 8,4 3, 4,8 cm. Thèmes de convergence 3 S3 Les points T, et d une part, et les points T, et d autre part sont alignés et les droites () et () T T d où : T T. T,4 5 8, soit : T,4 5,5 m. 8 [T], donc : T T 5,5 3,5 m. Le trapèze est isocèle donc : 3,5 m. + + +,4 + 3,5 + 8 + 3,5 7,4. Le périmètre de est 7,4 m. 7,4 0 348.. Janville doit isoler 348 m. 3 Soit d le diamètre du disque de l eau contenu dans le pluviomètre. La configuration permet d appliquer le théorème de Thalès. 3,5 d On a :, soit : 0 d 3,5 8. 0 8 3,5 8 où : d,8. 0 Le diamètre du disque de l eau contenu dans le pluviomètre est égal à,8 cm. d Volume du cône d eau π 3,5 3 π,8,8π 3,5. 3 3 où : 7,84 cm 3, soit environ 7 ml. 33 S3. ans le triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore :,5,5 4. où : cm.. Les droites () et (E) sont perpendiculaires à la droite (E), donc elles sont parallèles entre elles. e plus, les points, et d une part, et les points, et E d autre part sont alignés. E E.,5,5 4,5, soit :,5 4,5 7,5 cm.,5,5 E 4,5, soit : E 4,5 cm.,5 34 Les points, et d une part, et les points, E et F d autre part sont alignés et les droites (E) et (F) E E F F. E est un point du cercle, d où : E cm. F est un point du cercle, d où : F 5 cm. On en déduit : 5. Les points, et F d une part, et les points, et d autre part sont alignés et les droites ( ) et (F) F F. est un point du cercle, d où : cm. On en déduit : 5. onc : 5. 35 K [I], donc : I IK + K,5 +, 3, cm. J [I], donc : I IJ + J,4 + 3, cm. Les points I, J et d une part, et les points I, K et d autre part sont alignés. IK,5 5 I 3, et IJ,4 I 4,8. IK IJ On constate que : I I. onc d après le théorème de Thalès, les droites (KJ) et () ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes. 3 Les segments [E] et [KL] se coupent en J donc les points, J et E d une part, et les points K, J et L d autre part sont alignés. J,3 KJ,7 0,9 0,4 et JE 5 JL 0,45. J KJ On constate que : JE JL. onc d après le théorème de Thalès, les droites (K) et (LE) ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes. 37 Les droites (E) et (FH) sont sécantes en O, donc : O [E] et O [FH]. En utilisant les graduations des droites (d) et (d ), OF 3 on obtient : OH 4 et OE O 4. OF OE On constate que : OH O. onc d après le théorème de Thalès, les droites (EF) et (H) ne sont pas parallèles. hapitre Théorème de Thalès 4
38 Les segments [IP] et [J] se coupent en H donc : H [IP] et H [J]. H [IP], d où : IH IP HP 7 5,,9 cm. H [J], d où : H J JH,3 0,,7 cm. IH, 9 HP 5, et JH 0, H, 7, 8 5,. IH JH On constate que : HP H. onc d après le théorème de Thalès, les droites (IJ) et (P) ne sont pas parallèles. 39 OUET À PHOTOOPIER (EXE 4) H G F 40. OUET À PHOTOOPIER (EXE 5) E T E On trace le cercle ( ) de centre T et de rayon 5 et le cercle ( ) de centre T et de rayon 8. Puis on trace une droite passant par T qui coupe le cercle ( ) en et E et le cercle ( ) en. On trace la droite (R) puis les parallèles à (R) passant par et E. Elles coupent (TR) en et. 3. OUET À PHOTOOPIER (EXE ) R F On trace le cercle ( ) de centre T et de rayon 8 et le cercle ( ) de centre T et de rayon. Puis on trace une droite passant par T qui coupe le cercle ( ) en et le cercle ( ) en F et G. On trace la droite (R) puis les parallèles à (R) passant par F et G. Elles coupent (TR) en et. 4. E [FG] et [FK] et (E) // (GK). onc d après le théorème de Thalès, le triangle FE est une réduction du triangle FGK de rapport : E k GK 4 7.. [EF] est une réduction du segment [FG] de rapport k, donc : EF kfg 7 FG, 9, cm. 7 4.. Les points, et d une part, et les points, et d autre part sont alignés dans le même ordre. 8 4 4 7 et 0 0 7,5 35 4 7. On constate que :. les droites () et () 43 Les points T, O et S d une part et les points V, O et R d autre part sont alignés dans le même ordre. OT 7,5 5 OS 8 3 et OV OR 5 3. OT OV On constate que : OS OR. les droites (TV) et (RS) 44. H F T R G E 4 G. Les points E, G et d une part, et les points E, H et F d autre part sont alignés dans le même ordre. e plus : G [E] donc : E EG + G 7 + 5 cm. EG 7 où : E.
EH 0,5 7 autre part : EF 8 3. EG EH On constate que : E EF. les droites (GH) et (F) 45. Vrai. En effet : les points, et E d une part, et les points, et d autre part sont alignés dans le même ordre. e plus : E 3, donc d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites () et (E) G,5. Faux. En effet : 3 et F,, G F d où :. onc d après le théorème de Thalès, les droites (GF) et () ne sont pas parallèles. 3. Faux. En effet : () est parallèle à (E) et () et (GF) ne sont pas parallèles, donc (E) et (GF) ne sont pas parallèles. 4. Vrai. En effet, d après a., les droites () et (E) sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème de Thalès. où : E E 3. 4.. Les points, O et d une part, et les points, O et d autre part sont alignés dans le même ordre. O, 7 7 O 5, 5 3 et O, O 3, 3 3. O O On constate que : O O. les droites () et () On en déduit que le quadrilatère est un trapèze de bases [] et []. 3. O,7 cm et O 5, cm, donc : O O. Les diagonales de ne se coupent pas en leur milieu, donc ne peut pas être un parallélogramme. 47. Les points, F et G d une part, et les points, et d autre part sont alignés dans le même ordre et les droites ( F) et (G) F F d où : G G. [], donc : + 5 + 4 9. 3 5 où : G 9, soit : G 3 9 5,4 cm. 5 F [G], donc : FG G F 5,4 3,4 cm. O. Les points, et d une part, et les points E, et F d autre part sont alignés dans le même ordre. 7 5,4 et E F 4, 3,4. E On constate que : F. les droites (E) et (F) 48 éthode n Les segments [] et [EF] ont le même milieu O. Or, si les diagonales d un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. onc EF est un parallélogramme et par conséquent, les droites (E) et (F) éthode n Les segments [] et [EF] ont le même milieu O, on a donc : O O et OE OF. Les points, O et d une part, et les points E, O et F d autre part sont alignés dans le même ordre. O OE et O OF. O OE On constate que : O OF. les droites (E) et (F) Je m entraîne au brevet 49 S3. Question : alculer R. Réponse : Les points R, et O sont alignés dans cet ordre, donc : R OR O,84 3,8 3,04 cm.. Question : alculer OK. Réponse : Les points R, et O d une part, et les points R, S et K d autre part sont alignés et les droites (S) et (OK) R RS S OR KR OK. 3,04 5 où :,84 OK, soit : OK 5,84,5 cm. 3,04 3. Question : alculer le périmètre du triangle ROK. Réponse : KR + OR + OK 7, +,84 +,5 5,9. Le périmètre du triangle ROK est égal à 5,9 cm. 50. [JK] est le côté le plus long du triangle JKL. JK 3 et JL + KL 3, + 4,8 3. On obtient ainsi : JK JL + KL. onc d après le théorème de Pythagore, le triangle JKL est rectangle en L.. Le triangle IJ est inscrit dans le cercle de diamètre [IJ]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés, alors il est rectangle et son hypoténuse est ce côté. onc IJ est rectangle en. hapitre Théorème de Thalès 43
3. JKL est rectangle en L, donc les droites (LK) et (JL) sont perpendiculaires. IJ est rectangle en, donc les droites (I) et (JL) sont perpendiculaires. On en déduit que les droites (I) et (LK) sont parallèles. e plus, les points I, J et K d une part, et les points, J et L d autre part sont alignés. IJ J I JK JL LK. 9 J où : 3,, soit : J 9 3, 5,4 cm. 5 Les points H, et d une part, et les points H, et d autre part sont alignés dans le même ordre. H H +,0 +,40 4 m. H 0,80 H 0,40 et H H H On constate que : H, 0 4 0,40. H H. les droites () et () On en déduit que les échelles 3. E est un angle droit. Or un agrandissement conserve les angles. onc est un angle droit et par conséquent, le triangle est rectangle en. 54. E [R], donc R RE + E 3 +,5 4,5 cm. Les points R, E et d une part, et les points R, et U d autre part sont alignés dans le même ordre. RE 3 R 4,5 3 et R RU 3. RE R On constate que : R RU. les droites (E) et (U). Les points R, E et d une part, et les points R, et U d autre part sont alignés et les droites (E) et (U) RE < R, donc d après le théorème de Thalès, le triangle RU est un agrandissement du triangle RE R 4,5 de rapport : k RE 3,5. 55. et 3. 5. Les points G, I et Y d une part, et les points P, I et T d autre part sont alignés dans le même ordre. GI 7 IY, 4 5 et IP TI 5 5. GI IP On constate que : IY TI. les droites (PG) et (YT). Les points G, I et Y d une part, et les points P, I et T d autre part sont alignés et les droites (PG) et (YT) GI IP GP IY TI YT. où : GP 5, soit : GP 5 0,8 4 cm. 0,8 GP + IP + IG 4 + 5 + 7 cm. Le périmètre du triangle IGP est égal à cm. 53. Les points, et d une part, et les points E, et d autre part sont alignés dans le même ordre. 0 30 3 et E 4 4 3. E On constate que :. les droites (E) et (). Les droites () et (E) se coupent en et les droites (E) et () 3, donc d après le théorème de Thalès, le triangle est un agrandissement du triangle E dans le rapport 3. 44. [] est le côté le plus long du triangle.,5 5,5 et + 7,5 + 0 5,5. On constate que : +. onc d après le théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. 4. Les points, F et d une part, et les points, G et d autre part sont alignés dans le même ordre. F 5,5 5 et G 4 0 5. F G On constate que :. les droites () et (FG) 5. Les points, F et d une part, et les points, G et d autre part sont alignés et les droites () et (FG) F G FG. FG où : 7,5 5, soit : FG 7,5 3 cm. 5. après la question, le triangle est rectangle en, donc les droites () et () sont perpendiculaires et d après la question 4, les droites () et (FG) onc, les droites (FG) et () sont perpendiculaires. F G
J approfondis 4. Les points, L et T d une part, et les points, L et I d autre part sont alignés dans le même ordre. LI 7,5a,5 et LT 5a,5. L 3a L a LI LT On constate que : L L. les droites (IT) et (). Les points, L et T d une part, et les points, L et I d autre part sont alignés et les droites (IT) et () LI LT IT L L. IT où :,5, soit : IT 4a,5 0a. 4 a 5. Les points, I et K d une part, et les points, I et J d autre part sont alignés dans le même ordre. après la réciproque du théorème de Thalès : I I si, alors les droites () et (JK) sont IK IJ parallèles. I I IK IJ s écrit : 5x + 3 0 3x 5 5(5x + 3) 0 3x 5x + 5 30x 5x 30x 5 5x 5 x 3 Il faut donc que x soit égal à 3 cm pour que les droites (JK) et () soient parallèles.. a. IK 3 3 9 cm. I 5 3 + 3 5 + 3 8 cm b. Toutes les longueurs de la figure sont multipliées par. IJKL est un parallélogramme, donc ses côtés opposés où : (IJ) // (LK). e plus : K [P] et L [P]. On en déduit que : (IJ) // (P). I [OP] et J [O] et (IJ) // (P), on peut donc appliquer le théorème de Thalès, J I K OI OJ IJ d où : OP O P. OJ IJ, d où : O IJ OJ P. O P Or IJKL est un parallélogramme, donc ses côtés opposés sont de même longueur. où : IJ LK. On obtient ainsi : O LK OJ P. 7. La somme des angles d un triangle est égale à 80. ans OVR : ORV 80 (OVR + VOR) 80 (80 + 40) 0. Les angles ORV et OTS sont de même mesure et sont alternes internes. onc les droites (ST) et (RV) sont parallèles.. Les points S, O et V d une part, et les points T, O et R d autre part sont alignés et les droites (ST) et (RV) OS OT ST OV OR RV. 3 3,4 4,8 OR, soit : OR 3,4 4,8 5,44 cm. 3 3 ST 4,8 3,5, soit : ST 3 3,5,87 5 cm. 4,8 8 On schématise la situation : L : lampe O : centre du disque : point du disque tel que O soit un rayon O : centre de l ombre E : point tel que O E soit un rayon de l ombre O cm 0,0 m (O) // (O E) OL m OO,5 m Les points L, O et O d une part, et les points L, et E d autre part sont alignés et les droites (O) et (O E) LO L O LO LE O E O [LO ], donc : LO LO + OO +,5 3,5 m. 0,0 3,5 O E, soit : O E 3,5 0,0 0, m cm. Le rayon de l ombre est de cm et par conséquent son diamètre est de 4 cm. 9.,0 m ; E m ; EF,50 m. Le puits et Théo sont perpendiculaires au sol, donc () et (EF) sont parallèles. L O O hapitre Théorème de Thalès 45 E F E
. Les points, et E d une part, et les points F, et d autre part sont alignés et les droites (EF) et () F E EF.,50, 0, soit :,50, 0,8 m. La profondeur du puits est de,8 m. 70 [) et [) et les droites () et (). [) et E [F) et les droites (E) et (F) E E F F. E On en déduit que : F. les droites (E) et (F) O O I I O O K K. Les points O, et d une part, et les points O, I et K d autre part sont alignés et les droites (I) et (K) O O I I O O K K. I I On en déduit : K K. Or I est le milieu de [], donc I I, d où : K K. Or K [], donc K est le milieu de []. Or J est aussi le milieu de [], donc les points J et K sont confondus. 4. Et comme O, I et J ainsi que O, I et J sont alignés, on en déduit que les points O, I, O et J sont alignés. 7. a. et b. 7. O P 4 I O K J. Les points, O et d une part, et les points I, O et J d autre part sont alignés et les droites (I) et (J) O I IO O J OJ. Les points, O et d une part, et les points I, O et J d autre part sont alignés et les droites (I) et (J) O I IO O J OJ I I On en déduit : J J. Or I est le milieu de [], donc : I I, d où : J J. Or J [], donc J est le milieu de []. 3. Les points O, et d une part, et les points O, I et K d autre part sont alignés et les droites (I) et (K). Les points, et P d une part, et les points, et d autre part sont alignés et les droites () et (P) P P. P, d où : P P, P P soit : P. 3. Les points, P et d une part, et les points, et d autre part sont alignés et les droites (P) et () P P. P P, d où : P P, P. P P +. soit : P 4. P + P est le milieu de [], donc :. P P (P + P) où : P + P +. Or, P [] et milieu de [] donc : P + P. On en déduit : P + P.
73.,. et 3. OUET À PHOTOOPIER (EXE 7) On conjecture que : périmètre de E périmètre de LK + 4. est un rectangle et les droites () et (L) sont parallèles, donc E est un rectangle. E + a +. Les droites (K) et () sont parallèles et les points, et d une part, et les points, K et d autre part sont alignés. K K. K, d où : a K 4 3, soit : K 3a 4. est un rectangle, donc le triangle est rectangle en. onc d après le théorème de Pythagore, on a : +. Soit : 4 + 3 5, d où : 5. K, d où : a K 5a, soit : K 4 5 4. Les droites (K) et (L) et les droites (L) et (K) sont parallèles, donc LK est un parallélogramme. où : LK K + K. 3a Or, K [], donc : K K 3 4. On obtient ainsi : a a a a LK 5 + 3 3 0 + 4 4 4 4 + a. On en déduit : LK + + a + a + a E. 74 Les points, O et, les points, O et et les points, O et sont alignés et les droites () et ( ) sont parallèles ainsi que les droites () et ( ) et les droites () et ( ). O O O O ; O O O O ; O O O O. On en déduit que :., donc est un agrandissement du 4,5 triangle de rapport : 3,5. rgumenter et débattre 75. Faux. En effet, on ne sait pas si les droites () et (). Faux. En effet, il y a le milieu du segment [] et un autre point de () n appartenant pas à []. 3. Faux. En effet, si le schéma n est pas aux bonnes dimensions, on ne sait pas si OR est plus grand que OT. 4. Vrai. En effet, on peut appliquer le théorème de Thalès, donc :. Or, [], donc :. [], donc :., d où :, soit :. où :. 7 On obtient le point comme point d intersection de [] et de la parallèle à (K) passant par. En effet, appartient à [], donc les points, et ainsi que les points, et K sont alignés et les droites () et (K) K K. K, d où : K, soit : KL. 77 G O F En traçant les parallèles à la droite (O) passant par et, on partage la figure en neuf rectangles superposables. Les trois carrés étant de mêmes dimensions, les rectangles obtenus ont la même longueur. e plus : O 3 O ; O O ; O 3 O. après le théorème de Thalès dans les triangles O et O, O et O, O et O : 3 ; ; 3. On en déduit que ces rectangles ont la même largueur. E hapitre Théorème de Thalès 47
telier découverte 78. Le point de fuite F se trouve à l intersection des droites ( ) et ( ). 3. c. Les longueurs des côtés des triangles F et F sont proportionnelles, ainsi que les longueurs des côtés des triangles F et F. 4. La colonne [] est un agrandissement de la colonne [ ] dans le rapport k. 5. ans la réalité, les droites ( ) et ( ) sont parallèles dans le plan du sol et les droites ( ) et ( ) sont parallèles dans le plan vertical des colonnes [] et [ ]. ans la réalité, les colonnes [] et [ ] ont la même taille.. On peut ajouter : a. Les triangles F et F semblent isocèles en F. b. Les angles F et F sont alternes-internes déterminés par les droites parallèles () et ( ) coupées par la droite ( ). On a donc : F F. Les angles F et F sont alternes-internes déterminés par les droites parallèles () et ( ) coupées par la droite ( ). On a donc : F F. c. ans la réalité, le point F n existe pas. Les angles,, sont droits. 48