Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Réduction d endomorphismes

Cours de remise à niveau Maths 2ème année Réduction d endomorphismes C. Maugis-Rabusseau GMM Bureau 116 cathy.maugis@insa-toulouse.fr C. Maugis-Rabusseau (INSA) 1 / 27

Plan 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 2 / 27

Diagonalisable Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie n. On note E = (e 1,, e n ) une base de E. Soit f L(E). Réduire un endomorphisme f, c est chercher une base de E dans laquelle la matrice de f sera la plus simple possible, le mieux que l on puisse espérer est que la matrice soit diagonale. Définition Un endomorphisme f de E est diagonalisable s il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 3 / 27

Diagonalisable Supposons qu une telle base existe, notons-la V = (v 1,, v n ). Alors λ 1 0 0 0. 0 λ.. 2. 0 Mat(f, V) =....... 0.. 0 0 λ n 1 0 0 0 0 λ n Ainsi, pour tout i {1, 2,, n}, f (v i ) = λ i v i. Les λ i sont appelés des valeurs propres, les v i des vecteurs propres. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 4 / 27

Sommaire 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 5 / 27

Valeurs propres, vecteurs propres Définition On appelle valeur propre de f un scalaire λ de K tel qu il existe un vecteur v de E non nul tel que f (v) = λv. Le vecteur v est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. On appelle spectre de f l ensemble des valeurs propres de f. On note cet ensemble Spec(f ). Remarque Cette définition reste valable même lorsque E est de dimension infinie. Exemple Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de l endomorphisme f de R 2 dont la matrice dans la base canonique est ( ) 7 12 A =. 4 7 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 6 / 27

Sous-espaces propres Proposition Soit λ K. On note E λ = {v E, f (v) = λv} = Ker(f λid E ). E λ est un sous-espace vectoriel de E. λ Spec(f ) alors E λ {0 E } et dans ce cas, on l appelle le sousespace propre de E associé à λ. Si λ Spec(f ) alors E λ = {0 E }. Exemple Déterminez les espaces propres de l endomorphisme f de R 2 dont la matrice est ( ) 7 12 A =. 4 7 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 7 / 27

Sous-espaces propres Proposition Soient f L(E) et λ Spec(f ). Alors E λ est stable par f (c est-à-dire f (E λ ) E λ ). On peut donc définir f λ, la restriction de f à E λ, dont la matrice dans une base quelconque de E λ est : λ 0 0 0 0 λ 0 0............ 0 0 λ 0 0 0... 0 λ C. Maugis-Rabusseau (INSA) 8 / 27

Théorèmes Théorème Soit f L(E) avec Spec(f ) = {λ 1, λ 2,, λ p }. f est diagonalisable une base de E formée de vecteurs propre E = E λ1 Eλ2 Eλp. Théorème Soit λ 1 et λ 2 deux valeurs propres distinctes de f. Alors E λ1 E λ2 = {0 E }, soit E λ1 Eλ2. De même, si λ 1,, λ p sont p valeurs propres distinctes deux à deux alors E λ1 Eλ2 Eλp. Conséquences immédiates : 1 f possède au maximum n valeurs propres. 2 Si f possède n valeurs propres distinctes avec n = dim(e) alors f est diagonalisable. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 9 / 27

Sommaire 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 10 / 27

Recherche des vp et vp Théorème λ Spec(f ) det(f λid E ) = 0. Exemple Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de l endomorphisme f de R 3 dont la matrice dans la base canonique est 1 1 1 B = 1 1 1. 1 1 1 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 11 / 27

Polynôme caractéristique Théorème-Définition Soit f L(E). Soit A = (a ij ) (i,j) {1,2,...,n} 2 fonction P f (x) par = Mat(f, E). On définit la P f (x) = det(f xid E ) = det(a xi n ). Cette fonction est une fonction polynômiale de degré n (où dim(e) = n), qui s écrit : P A (x) = ( 1) n x n + ( 1) n 1 Tr(A)x n 1 + + det(a). Elle s appelle le polynôme caractéristique de A. Exemple 1 1 1 Calculez P B où B = 1 1 1. 1 1 1 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 12 / 27

Polynôme caractéristique Théorème Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. Par conséquent, si f L(E), on définit le polynôme caractéristique de f par P f = P A, où A est la matrice de f dans une base quelconque de E. ATTENTION : La réciproque est fausse en général. En résumé, on a donc : Théorème Les valeurs propres de f sont les racines dans K de P f. Si P f est scindé sur K (= toutes ses racines sont dans K ) alors, si dim(e) = n, on a : 1 f a exactement n valeurs propres, distinctes ou non. 2 La somme des valeurs propres vaut Tr(A). 3 Le produit des valeurs propres vaut det(a). C. Maugis-Rabusseau (INSA) 13 / 27

Multiplicité Définition Soit λ Spec(f ). On appelle multiplicité de la valeur propre λ l ordre de multiplicité de λ en tant que racine de P f. On la note m λ. Théorème Si λ est une valeur propre de f de multiplicité m λ alors 1 dim(e λ ) m λ. Si λ est une valeur propre simple de f (i.e m λ = 1) alors dim(e λ ) = 1. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 14 / 27

Sommaire 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 15 / 27

Caractérisation des endom. diagonalisables Théorème Soit f L(E). On note m λ la multiplicité de la valeur propre λ. f est diagonalisable { Pf est scindé dans K λ Spec(f ), dim(e λ ) = m λ. Corollaire Si P f possède n racines distinctes alors f est diagonalisable. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 16 / 27

Exemples ( ) ( ) 1 7 12 0 1 Soient A 1 = et A 4 7 2 =. 1 0 Les endomorphismes f 1 et f 2 de R 2 dont les matrices dans la base canonique sont respectivement A 1 et A 2 sont-ils diagonalisables? 1 1 1 4 0 2 2 Soient B 1 = 1 1 1 et B 2 = 0 1 0. 1 1 1 5 1 3 Les endomorphismes f 1 et f 2 de R 3 dont les matrices dans la base canonique sont respectivement B 1 et B 2 sont-ils diagonalisables? C. Maugis-Rabusseau (INSA) 17 / 27

Sommaire 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 18 / 27

Soit f L(E) dont la matrice dans la base canonique est A M n (K ). On suppose que A est diagonalisable. Alors il existe P GL n (K ) et D = Diag (λ 1, λ 2,, λ n ) telles que D = P 1 AP ou A = PDP 1. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 19 / 27

Calcul de A m A m = (PDP 1 ) m = (PDP 1 )(PDP 1 ) (PDP 1 ) }{{} m fois = PD(P 1 P)D(P 1 P) (P 1 P)DP 1 }{{} m fois = PD m P 1, avec D m = Diag (λ m 1, λm 2,, λm n ). C. Maugis-Rabusseau (INSA) 20 / 27

Exemples 1 1 1 Calculez B m où B = 1 1 1 et m N. 1 1 1 1 1 0 B est diagonalisable et il existe P = 1 0 1 telle que 1 1 1 1 0 0 D = 0 2 0 = P 1 BP avec P 1 = 1 1 1 1 2 1 1. 3 0 0 2 1 2 1 On a donc : 1 0 0 B m = P 0 ( 1) m 2 m 0 P 1 0 0 ( 1) m 2 m = 1 1 + ( 1) m 2 m+1 1 + ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m 2 m+1 1 + ( 1) m+1 2 m. 3 1 + ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m 2 m+1 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 21 / 27

Etude des suites récurrentes On cherche les suites réelles (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N telles que (u 0, v 0, w 0 ) R 3 et pour tout n N, u n+1 = u n + v n + w n (S) v n+1 = u n v n + w n w n+1 = u n + v n w n Nous devons trouver pour tout entier n l expression de u n, v n et w n en fonction de n, u 0,v 0 et w 0. On définit pour tout entier n la matrice colonne X n = v n et alors : w n 1 1 1 (S) X n+1 = BX n où B = 1 1 1. 1 1 1 On vérifie facilement par récurrence que n N, X n = B n X 0. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 22 / 27 u n

Etude des suites récurrentes D après les calculs précédents on obtient : X n = u n v n w n = 1 1 + ( 1) n 2 n+1 1 + ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n 2 n+1 1 + ( 1) n+1 2 n 3 1 + ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n 2 n+1 = 1 u 0 (1 + ( 1) n 2 n+1 ) + (v 0 + w 0 )(1 + ( 1) n+1 2 n ) v 0 (1 + ( 1) n 2 n+1 ) + (u 0 + w 0 )(1 + ( 1) n+1 2 n ). 3 w 0 (1 + ( 1) n 2 n+1 ) + (u 0 + v 0 )(1 + ( 1) n+1 2 n ) u 0 v 0 w 0 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 23 / 27

Résolution de syst. lin. diff. du 1er ordre Soit à résoudre le système différentiel suivant : x (t) = x(t) + y(t) + z(t) (S) y (t) = x(t) y(t) + z(t) z (t) = x(t) + y(t) z(t) où x, y et z sont trois fonctions dérivables définies sur R. x(t) Soit X(t) = y(t). Alors d x (t) dt X(t) = X (t) = y (t) et le système z(t) z (t) (S) s écrit 1 1 1 X (t) = BX(t) où B = 1 1 1. 1 1 1 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 24 / 27

Résolution de syst. lin. diff. du 1er ordre B étant diagonalisable, il existe une base V = (v 1, v 2, v 3 ) dans laquelle 1 0 0 la matrice s écrit D = 0 2 0. 0 0 2 x 1 (t) Notons X 1 (t) = y 1 (t) la matrice colonne des coordonnées de z 1 (t) (x(t), y(t), z(t)) dans la base V. Nous avons d x dt X 1(t) = X 1 (t) = 1 (t) y 1 (t) et z 1 (t) 1 1 0 X(t) = PX 1 (t), X (t) = PX 1 (t) avec P = 1 0 1. 1 1 1 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 25 / 27

Résolution de syst. lin. diff. du 1er ordre En injectant ces relations dans le système (S) on obtient : (S) PX 1 (t) = BPX 1(t) X 1 (t) = P 1 BPX 1 (t) = DX 1 (t), où D est diagonale. Ainsi (S) X 1 (t) = P 1 BPX 1 (t) = DX 1 (t) x 1 (t) = x 1(t) y 1 (t) = 2y 1(t) z 1 (t) = 2z 1(t) x 1 (t) = x 0 e t y 1 (t) = y 0 e 2t z 1 (t) = z 0 e 2t où x 0, y 0, z 0 sont des constantes arbitraires. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 26 / 27

Résolution de syst. lin. diff. du 1er ordre Les fonctions x, y et z solutions de (S) sont données par x(t) X(t) = y(t) = z(t) = 1 1 0 x 0 e t 1 0 1 y 0 e 2t 1 1 1 z 0 e 2t x 0 e t + y 0 e 2t x 0 e t + z 0 e 2t. x 0 e t (y 0 + z 0 )e 2t C. Maugis-Rabusseau (INSA) 27 / 27