Distributions à queues épaisses bilatérales

Distributions à queues épaisses bilatérales et applications en finance avec le package FatTailsR patrice.kiener@inmodelia.com Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 / 3

A propos d InModelia Société de service basée à Paris : conseil et formation modélisation et conception de logiciels Depuis 9 : réseaux de neurones plans d expériences pour modèles non-linéaires Depuis 3 : distributions à queues épaisses (à partir d un travail avec ST-Microelectronics) Juin 4 : package FatTailsR d une nouvelle loi de probabilité explicite, bilatérale, symétrique (3 paramètres) ou asymétrique (4 paramètres) pour les distributions à queues épaisses en finance. Excellents résultats!! patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 / 3

Plan Modèles anciens - Idées nouvelles Modèles symétriques - Exemples : Or, Société Générale, Vivendi 3 Modèles asymétriques - Exemples : S&P 5, Euro-Dollar, VIX 4 Package FatTailsR patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 3 / 3

Distributions à queues épaisses bilatérales la quasi-totalité des rendement de cours de bourse sur des longues périodes risques de marché (Solvency II, Bâle III), gestion de portefeuille, produits dérivés,... citées par Mandelbrot (96), approfondies par Bouchaud et Potters (997), qui utilisent une combinaison de lois unilatérales pour les queues gauche et droite Figure : (a+b) Prix du coton jour-semaine-mois - (c+d) Indice S&P 5min-jour-semaine-mois lois de Student centrées ou décentrées fonctions caractéristiques = Nous proposons des nouvelles distributions explicites symétriques ou asymétriques patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 4 / 3

Exemple : Indice S&P 5 = Nous proposons des nouvelles distributions explicites symétriques ou asymétriques..5..995.997.999 F(X) >.995 4349 points SP5 janv. 957 déc. 3 q.9999 =.8 q.99 =.6 q.999 = 5.4 F(X) <.5 4 6 8 q. = 6. q. =.8 q. = 3.3 log% k x.4 = 3.9 x.3 = σ =.999 m =.6 µ =.44 γ =.3 α = 3. ω = 3.3 5 5 5 5...4 3 4 5 log% x.4 = x.3 = σ = m = µ = γ = α = ω = q.999 = q.99 = q.95 = q.5 = q.5 = q. = q. = k 3.9.999.6.44.3 3. 3.3 5.4.6.4.44.4.8 6. k 8.7.6.8.4.3.5 3.7 4.7 9.5 5.5 3.4.3 3.3 6.3 3 SP5 janv. 957 déc. 3 X µ k 5.5.7 4.7.539.937. 5 8.5 4.9..937 6.8.6 4 435 points 975 points 685 points Figure : Indice S&P 5 : (a) Fonction de répartition des logrendements (b) Vue Log-Log jour-semaine-mois patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 5 / 3

Idée nouvelle Considérons la fonction logistique qui a des queues moins épaisses que la Gaussienne : F (x) = + e x Il est remarquable que la combinaison de fonctions asymétriques e x et conduisent à une +... fonction parfaitement symétrique. Ceci découle à la propriété fondamentale de l exponentielle e x e x = qui entraine F ( x) = F (x) et pour la fonction de densité : f (x) = F (x)f ( x)..4.5.7 5 5. 5 5. 5 5 Figure : (a) Exp et hp (b) logis et logishp (c) dlogis et dlogishp patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 6 / 3

Idée nouvelle Considérons la fonction logistique qui a des queues moins épaisses que la Gaussienne : F (x) = + e x Il est remarquable que la combinaison de fonctions asymétriques e x et conduisent à une +... fonction parfaitement symétrique. Ceci découle à la propriété fondamentale de l exponentielle e x e x = qui entraine F ( x) = F (x) et pour la fonction de densité : f (x) = F (x)f ( x)..4.5.7 5 5. 5 5. 5 5 Figure : (a) Exp et hp (b) logis et logishp (c) dlogis et dlogishp Nous proposons d utiliser les autre courbes qui vérifient la propriété y( x)y(x) = : les hyperboles simples les hyperboles puissance de paramètre qui permettent la construction de fonctions de type logistique ayant une convergence en x patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 6 / 3

Hyperboles puissance Nous appelons hyperboles puissance les fonctions positives qui vérifient : Equation générique des hyperboles puissance ( y / + X µ ) y / = () γ Elles admettent pour solution les courbes d équation : y(x, µ, γ, ) = ( ( ) X µ X µ γ + + ) γ = e log ( ) ( X µ X µ ) + γ + γ soit : Hyperboles puissance X µ y(x, µ, γ, ) = e asinh( γ ) + e X µ γ () Pour =, on retrouve l hyperbole simple patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 7 / 3

Exphp, sinhp, coshp, tanhp hp( x, =... ) + exp( x/) coshp( x, =... ) + cosh(x/).6.5 3. exp( x/).6.5 3. cosh(x/) 5 5 5 5 5 sinhp( x, =... ) + sinh(x/) tanhp( x, =... ) + tanh(x/).6.5 3. sinh(x/).6.5 3. tanh(x/) 5 5 5 5 asinh( x Figure : (a) Hyperbole puissance - exphp ( x) = e [ ] ) (b) Cosinus hyperbolique puissance - coshp (x) = cosh asinh( x ) (c) Sinus hyperbolique puissance - sinhp (x) = sinh (d) Tangente hyperbolique puissance - tanhp (x) = tanh [ ] asinh( [ x ) asinh( x ) ] + e x + cosh( x ) + sinh( x ) + tanh( x ) patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 8 / 3

Hyperboles puissance, fonctions de répartition, densités K hp( x, =... ) + exp( x/). Probabilités : K ( µ =, γ =, =... ) + Gauss ( σ = 3. ).5 Densités : K ( µ =, γ =, =... ) + Gauss ( σ = 3. ).6.5 3. exp( x/).6.5 3. Gauss..6.5 3. Gauss.5.5 5 5. 5 5 5 5. 5 5 5 5 Figure : (a) Hyperboles puissance - (b) Fonctions de répartition - (c) Densités ( Modèle K : fonctions de répartition et densités, T = asinh X µ ) γ : F (X) = + e asinh ( X µ γ ) f (X) = 4γ cosh (T ) ( + cosh (T )) f () = 8γ (3) F et f vérifient le théorème de Karamata et caractérisent des fonctions à variation lente : x f (x) x f (x) lim x = et lim F (x) x + F (x) = Quantiles et densités (en fonction ( de la probabilité) : ) logit(p) X = µ + γ sinh f (X) = logit(p) sech( ) p ( p) γ patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 9 / 3

Logit et Logdensités Logit(Proba) : K ( µ =, γ =, =... ) + Logistique + Gauss (σ = 3. ) LogDensités : K ( µ =, γ =, =... ) + Logistique + Gauss (σ = 3. ) logit(q.999) = logit(q.99) = logit(q.95) = logit(q.5) = logit(q.5) = logit(q.) = logit(q.) = 4..6.6.5 6.5 3. 3. Logistique Logistique Gauss 8 Gauss 5 5 5 5 5 5 5 5 Figure : (a) QL-Plot = Quantiles + Logit des fonctions de répartition ( logit F (X, µ, γ, ) = asinh X µ ) γ (b) Logdensités ( ( log f (X) = log(8γ) log(cosh(t )) log cosh T )) Sur le graphique QL-plot (a) ayant en ordonnée le logit des fonctions de répartition : en échelle logit : logit(.,.,.5,.95,.99,.999) = (,,,,,, 6.) le logit de la fonction logistique( x ) est la bissectrice (en pointillé) la Gaussienne (traits + points) est concave puis convexe les fonctions logistique puissance sont convexes puis concaves (=> fonctions subexponentielles) les courbures des fonctions logistique puissance, fonctions de, sont parfaitement distinctes patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 / 3

Comparaison avec la fonction de Cauchy ( = ). Probabilités : K ( µ =, γ =, = ) + Cauchy Cauchy.5 Densités : K ( µ =, γ =, = ) + Cauchy Cauchy..5.. Figure : Modèle K ( = ) et loi de Cauchy : (a) Probabilités - (b) Densités F (x) = x + ( x ) + x = p p ( p) f (x) = x +4+ x +4 f (x) = ( p ) + ( ) p G(x) =, 5 + π arctan( x ) x = π tan (π (p, 5)) g(x) = π π +x g(x) = cos (π (p,5)) π lim X + F (X) = x + x x 4 + o( x 5 ) lim X + G(X) = x + π 3x 3 π4 5x 5 + o( x 7 ) patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 / 3

Comparaison avec la Gaussienne ( quelconque, γ =.33). Probabilités : K ( µ =, γ =.33, = 3. ) + Gauss ( σ = ) Gauss.4 Densités : K ( µ =, γ =.33, = 3. ) + Gauss ( σ = ) Gauss.5.. 4 4. 4 4 Figure : Modèle K (γ =, 33, = 3.) et loi de Laplace-Gauss (σ = ) : (a) Probabilités - (b) Densités On peut comparer la fonction K avec la loi de Laplace-Gauss à pics de densité identiques. L égalité entre les deux pics de densité en X = µ donne = ζσ = 8 γ =, soit : ζ γ π σ γ = π 8 σ, 33 σ et σ = 8 π γ 3, 9 γ patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 / 3

Comparaison avec la loi de Student centrée Densité de la loi de Student centrée à ν degrés de liberté : f (x) = Γ( ν+ νπ ( ) Γ( ν ) + x ν ) ν+ Logit(Proba) : Student( ν =... ) + Logistique + Gauss ν 3 5 7 5 Logistique Gauss. logit(q.999) = logit(q.99) = logit(q.95) = logit(q.5) = logit(q.5) = logit(q.) = logit(q.) = 4.5... 4.5 LogDensités : Student ( ν =... ) + Logistique + Gauss 3 ν 5 3 5 7 5 Logistique Gauss 7 4.5... 4.5 Densités : Student ( ν =... ) + Gauss.45 ν 3 5 7.3 5 Gauss.5. 4.5... 4.5 Figure : Lois de Student (ν =,, 3, 5, 7, 5), Logistique et Laplace-Gauss : (a) Logit(Probabilités) - (b) Logdensités - (c) Densités ν ne prend que des valeurs entières : ν est impossible ν = loi de Cauchy. ν = =. ν = 8 logistique ν = + Gauss Les pics de densité (et donc la normalisation) dépendent de ν En pratique, on utilisera ν = (, 3, 4, 5, 6, 7, 8) qui couvre le domaine subexponentiel patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 3 / 3

Processus symétriques ( =, = 3., = 5 et = ) x (ɛ = ) 4 Processus simples ( µ =, γ =, = ) σ = 7.6 x.4 = 66. σ =. x.4 = 865.3 4 Processus simples ( µ =, γ =, = 3. ) σ = x.4 = 5 σ = 4.9 x.4 = 56. 4 Processus simples ( µ =, γ =, = 5 ) σ = 3.9 x.4 = 6. σ = 4 x.4 = 9.9 Processus simples ( µ =, γ =, = ) σ = 3.7 x.4 = 4.3 σ = 3.7 x.4 = 5 5 5 σ = 6.8 x.4 = 43.4 σ = 4.5 x.4 = 9.3 σ = 3.9 x.4 = 5. σ = 3.7 x.4 = 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Processus cumulés ( µ =, γ =, = ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 3. ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 5 ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = ) 6 σ = 8.7 x.4 = 798 3 σ = 4.7 x.4 = 3 3 σ = 4 x.4 = 7 σ = 3.7 x.4 = 4 4 4 3 6 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Processus cumulés ( µ =, γ =, = ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 3. ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 5 ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = ) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 6 8 4 6 8 4 6 8 4 6 8 Figure : Processus et Processus cumulés : (a) = (b) = 3. (c) = 5 (c) = patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 4 / 3

Lingot d or : = 4, ɛ =, symétrie multi-échelle Or janv. 999 déc. 3 3694 points 4 3 999 5 8 4..5..98.99. F(X) >.98 3693 points Or janv. 999 déc. 3 q.99 = 3.8 q.999 = 7.3 F(X) <. 4 6 8 q. = 7.3 q. = 3.8 log% k x.4 = 7.7 x.3 =. σ =.4 m =.34 µ = γ =.333 α = 4 ω = 4 8 6 4 5 5..5..5. 3 log% x.4 = x.3 = σ = m = µ = γ = α = ω = q.999 = q.99 = q.95 = q.5 = q.5 = q. = q. = k 7.7..4.34.333 4 4 7.3 3.8.. 3.8 7.3 k 6..55.6..63 3.8 3.8 3.9 7. 4.. 3.8 7 4 k 4. 4.8.695.64.9 5. 5.3 3.6 3.9 8.6.64 7.5 3. 3.4 Or janv. 999 déc. 3 X µ 3694 points 784 points 8 points 4 Or janv. 999 déc. 3 Or janv. 999 déc. 3 Or janv. 999 déc. 3 5 5 3693 points Rdt log%. log% x.4 = x.3 = σ = m = µ = γ = α = ω = q.999 = q.99 = q.95 = q.5 = q.5 = q. = q. = k 7.7..4.34.333 4 4 7.3 3.8.. 3.8 7.3 3693 points Logit(F(X)) 5 5 Quantiles (< ) gauss g. kk q. gauss g. kk q. 7.3 3.8.. 3.8 7.3 999 5 8 4 5 5 999 5 8 4 Figure : (a) Cours du lingot d or - (b) xlog-rendement du lingot d or (c) Fonction de répartition empirique ( = α = ω) - (d) Logit de la fonction de répartition empirique (e) Fonction de répartition empirique en échelle Log-Log sur période jour, semaine, mois (f) Risques à % et sur une période annuelle (5 jours) glissante selon la Gaussienne et la loi K patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 5 / 3

Les profils annuels de risque de Société Générale et Vivendi L analyse des rendements peut se faire sur des périodes plus courtes, par exemple sur un an, soit environ 5 jours. Le paramètre de queue indique la courbure. q. est le risque à. Société-Générale x.4 σ m µ γ q. q. 99 4...9..5 3.8 -.5-5.8 993 3.3.4.9.3.38. -5.4-3.4 994 3.4.4 -. -.8.4. -5.9-3.9 995 4.9.7.3 -.3.43-8.5-4.7 996 3.9.3 -.3..34 7. -5.5-3.4 997 4.3.9.5..5 5.4-9. -5. 998 4.4 3.3.4.9.86 4.3-7. -9. 999 6..5..3.6 3.3-5.5-7. 4.7.3.5..6 4.7 -.8-6.5.3 -...59 4. -.6-6.6 3.4 -.5..86 4. -8. -9.6 3 4.3..9..57 5.3 -. -5.9 4 4.....3 5.8-5.6-3.3 5 3.9..3..8 6.5-4.5 -.6 6 4.9.4.8..35 4. -7.7-4. 7 4.7.8 -..6.47 4.4-9.4-5. 8. 5. 4.5 -.37 -.48..8 3.4-7.8-3.7 9 4.7 3.7..4.94 4. -. -..9. 3. -.8 -...67.8 -. -9.4 4.3 -.33 -.3.94.7-3.6-3.7 3.7 3.3...9. -3. -8.4 3 4.5..6.8.58 5.3 -.3-5.8 9-3 9.4.6...59 3.6-4. -7. Vivendi x.4 σ m µ γ q. q. 99 3..8. -.8.5. -7.6-4.9 993.4..7.4. -5.8-3.7 994 3.6.8 -.4 -..49. -7.4-4.8 995 3..8 -. -.9.5. -7.6-5. 996 4.5.4...35 4.5-7. -3.8 997 3.3.6..3.46. -6.6-4. 998 4.5.9..6.5 4.9-9.4-5. 999 3..9.8..5. -7.6-4.9 4..7 -. -.6.7 5. -3.5-7.6 6..6 -.5 -.4.63 3.3-6.6-7.9. 8.9 6. -.54 -.67..3.5-49. -9.5 3 5..8.9..7 4. -5.3-8. 4 4..5.8.5.4 5. -7.4-4. 5 3.7..5.8.3.7-4.3 -.7 6 3...4..3. -4.5-7 3.7....3 7.9-4.7-3. 8 6.8.5 -. -.4.59 3. -6.7-7.6 9 3.6.7 -.4..48. -7. -4.5 9.9.7 -..8.36.7 -.4-5. 4..9 -.7.3.5 6.3-8.7-5..8. -..46 3.8 -.5-5.3 3 3.7.5.5.6.4 8.3-6. -3.8 9-3 5.5. -...45-4. -6. patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 6 / 3

Profils annuels des rendements et risques de Vivendi Vivendi janv. 998 déc. 998 Vivendi janv. 999 déc. 999 Vivendi janv. déc. 47 points Logit(F(X)) 53 points Logit(F(X)) 53 points Logit(F(X)) log% k x.4 = 4.5 x.3 =.3 σ =.93 m =. µ =.59 γ =.56 α = 4.9 ω = 4.9. q.999 = 9.7 q.99 = 5.5 q.95 = 3.3 q.5 =.59 q.5 = 3 q. = 5. q. = 9.4 log% k x.4 = 3 x.3 =. σ =.86 m =.85 µ = γ =.55 α = ω =. q.999 = 7.7 q.99 = 4.9 q.95 = 3. q.5 = q.5 = 3. q. = 4.9 q. = 7.7 log% k x.4 = 4. x.3 =. σ =.7 m =.97 µ =.56 γ =.76 α = 5 ω = 5. q.999 = 3.4 q.99 = 7.5 q.95 = 4.4 q.5 =.56 q.5 = 4.5 q. = 7.6 q. = 3.5 3 3 3 3 3 3 Vivendi janv. déc. Vivendi janv. déc. Vivendi janv. 3 déc. 3 53 points Logit(F(X)) 55 points Logit(F(X)) 55 points Logit(F(X)) log% k x.4 = 6 x.3 =. σ =.63 m =.5 µ =.38 γ =.69 α = 3.3 ω = 3.3. q.999 = 6.3 q.99 = 7.7 q.95 = 4. q.5 =.38 q.5 = 4.3 q. = 7.9 q. = 6.6. log% x.4 = x.3 = σ = m = µ = γ = α = ω = k 8.9 5.99.543.666.3.5.5 q.999 = 47.7 q.99 = 8. q.95 = 8.4 q.5 =.666 q.5 = 9.7 q. = 9.5 q. = 49 log% k x.4 = 5. x.3 =. σ =.8 m =.88 µ = γ =.7 α = 4 ω = 4. q.999 = 5.3 q.99 = 8 q.95 = q.5 = q.5 = q. = 8 q. = 5.3 3 3 3 3 3 3 Vivendi janv. 4 déc. 4 Vivendi janv. 5 déc. 5 Vivendi janv. 6 déc. 6 59 points Logit(F(X)) 57 points Logit(F(X)) 55 points Logit(F(X)) log% k x.4 = 4. x.3 =. σ =.5 m =.76 µ =.45 γ =.4 α = 5 ω = 5. q.999 = 7.5 q.99 = 4.3 q.95 =.5 q.5 =.45 q.5 =.5 q. = 4. q. = 7.4 log% k x.4 = 3.7 x.3 = σ =.6 m =.46 µ =.8 γ =.96 α = ω =. q.999 = 4.5 q.99 = q.95 =.8 q.5 =.8 q.5 =.7 q. =.7 q. = 4.3 log% k x.4 = 3. x.3 =. σ =.4 m =.44 µ =.7 γ =.36 α = ω =. q.999 = 4.8 q.99 = 3. q.95 = q.5 =.7 q.5 =.8 q. = q. = 3 3 3 3 3 3 Figure : Logit des fonctions de répartition empirique de Vivendi ( : Jean-Marie Messier) (a) 998 - (b) 999 - (c) - (d) - (e) - (f) 3 - (g) 4 - (h) 5 - (i) 6 patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 7 / 3

Profils annuels des rendements et risques de Société Générale Societe Generale janv. 5 déc. 5 Societe Generale janv. 6 déc. 6 Societe Generale janv. 7 déc. 7 57 points Logit(F(X)) 55 points Logit(F(X)) 55 points Logit(F(X)) log% k x.4 = 3.9 x.3 =. σ =. m =.3 µ =.8 γ =.76 α = 6.5 ω = 6.5. q.999 = 4.7 q.99 = q.95 =.8 q.5 =.8 q.5 =.6 q. =.6 q. = 4.5 log% k x.4 = 4.9 x.3 =. σ =.39 m =.84 µ = γ =.35 α = 4 ω = 4. q.999 = 7.7 q.99 = 4 q.95 =.3 q.5 = q.5 =.3 q. = 4 q. = 7.7 log% k x.4 = 4.7 x.3 =. σ =.8 m =.3 µ =.6 γ =.466 α = 4.4 ω = 4.4. q.999 = 9.5 q.99 = 5. q.95 = 3 q.5 =.6 q.5 = q. = 5 q. = 9.4 Societe Generale janv. 8 déc. 8 Societe Generale janv. 9 déc. 9 Societe Generale janv. déc. 56 points Logit(F(X)) 56 points Logit(F(X)) 58 points Logit(F(X)). log% k x.4 = 5. x.3 = σ = 4.48 m =.369 µ =.476 γ =.8 α = 3.4 ω = 3.4 q.999 = q.99 =.7 q.95 = 6.7 q.5 =.476 q.5 = 7.7 q. = 3.7 q. = 7.8 log% k x.4 = 4.7 x.3 =. σ = 3.7 m =. µ =.44 γ =.938 α = 4 ω = 4. q.999 =.8 q.99 = q.95 = 6.4 q.5 =.44 q.5 = 5.6 q. =. q. = log% k x.4 =.9 x.3 =. σ = 3.7 m =.76 µ =. γ =.67 α =.8 ω =.8. q.999 =.8 q.99 = 9. q.95 = q.5 =. q.5 = 4.8 q. = 9.4 q. = Societe Generale janv. déc. Societe Generale janv. déc. Societe Generale janv. 3 déc. 3 57 points Logit(F(X)) 56 points Logit(F(X)) 55 points Logit(F(X)). log% x.4 = x.3 = σ = m = µ = γ = α = ω = q.999 = q.99 = q.95 = q.5 = q.5 = q. = q. = k. 4.3.33.39.943.7.7 3 3. 6.4.39 7 3.7 3.6 log% k x.4 = 3.7 x.3 =.3 σ = 3.6 m =.95 µ =. γ =.97 α = ω =. q.999 = 3.7 q.99 = 8.8 q.95 = 5.6 q.5 =. q.5 = 5. q. = 8.4 q. = 3.3 log% k x.4 = 4.5 x.3 =.3 σ =.8 m =.56 µ =.8 γ =.578 α = 5.3 ω = 5.3. q.999 =.6 q.99 = 6. q.95 = 3.8 q.5 =.8 q.5 = 3.4 q. = 5.8 q. =.3 Figure : Logit des fonctions de répartition empirique de Société Générale (a) 5 - (b) 6 - (c) 7 - (d) 8 - (e) 9 - (f) - (g) - (h) - (i) 3 patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 8 / 3

Les profils annuels de risque Or janv. 999 déc. 3 CAC4_PX janv. 988 déc. 3 Quantiles (< ) Quantiles (< ) gauss g. kk q. gauss g. kk q. gauss g. kk q. gauss g. kk q. 5 5 5 5 999 5 8 4 988 99 994 997 3 6 9 Societe Generale juil. 99 janv. 4 Quantiles (< ) Vivendi juil. 99 déc. 3 Quantiles (< ) gauss g. kk q. gauss g. kk q. gauss g. kk q. gauss g. kk q. 3 4 3 5 99 995 998 4 7 3 99 995 998 4 7 3 Figure : (a) Quantiles de l or - (b) Quantiles du CAC4 - (c) Quantiles de la Société Générale - (d) Quantiles de Vivendi estimés par la Gaussienne (en pointillé) ou par la fonction K (en traits pleins) aux seuils de % et sur des échantillons d environ 5 points par année patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 9 / 3

Comparaison des différents paramètres de la loi K.4....4.6.4....4 Médiane vs moyenne Or + CAC4 + Société Générale + Vivendi µ m 5 5 4 6 8 Coefficient de queue vs kurtosis Or + CAC4 + Société Générale + Vivendi kurtosis...4.6.8.3 4 6 8 Coefficient de queue vs coefficients d'échelle Or + CAC4 + Société Générale + Vivendi γ σ Figure : Comparaison des différents paramètres de la loi K (un point = une année 5 jours) : (a) Médiane et moyenne - (b) et kurtosis - (c) et ratio γ/σ patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 / 3

Fonctions puissance asymétriques - K Nous appelons fonctions puissance les fonctions positives qui vérifient l équation : Fonctions puissance ( y /α + X µ γ où est la moyenne harmonique de α et ω telle que = ) y /ω = (4) ( α + ω ) Nous appelons loi K la fonction de répartition F et la fonction de densité f construites selon : p = F (X) = + y et f (X) = df (X) dx X s exprime aisément en fonction de y et de p. Comme y = p et log(y) = logit(p), il vient : p ( X = µ + γ y /α + y /ω) ( ( = µ + γ p ) /α ( p + p ) ) /ω p (5) Quantile de la loi K X(p; µ, γ, α, ω) = µ + γ ( e logit(p) α ) + e logit(p) ω (6) patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 / 3

Modèles K3 et K4 : autre forme de K et extension de K α et ω sont naturellement très corrélés dans le modèle K. Considérons les termes ɛ et δ : ( = ) ( ) α + et δ = ɛ ω = α + ω Il vient : Conversion de α et ω de et vers, δ et ɛ α = δ ω = + δ ɛ = α ω α + ω α = ɛ ω = + ɛ (7) < ɛ < est une mesure de l excentricité du modèle. On peut l écrire en % < δ < est une mesure de la distorsion du modèle. On peut l écrire en % ou en Réécrivons le modèle K : Quantile des lois K3 et K4 { ( logit(p) ) X(p; µ, γ,, δ) = µ + γ sinh ( e δ logit(p) ) logit(p) ɛ X(p; µ, γ,, ɛ) = µ + γ sinh e logit(p) (8) ( ) On notera e δ logit(p) p δ = p patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 / 3

Modèles asymétriques (K, K3, K4) 5 5 ω.6.5 3. Quantiles : K ( µ =, γ =, α =, ω =... ). ε 3 4 65 Probabilité : K4 ( µ =, γ =, = 3., ε =... ).5.5 ε 3 4 65 Densité : K4 ( µ =, γ =, = 3., ε =... ).5 5 5..5.. 5 5 5 5. 5 5 5 5 Dérivées des quantiles : K ( µ =, γ =, α =, ω =... ) ω.6.5 3. ε 3 4 65 Logit(Proba) : K4 ( µ =, γ =, =, ε =... ) 3 Logdensité : K4 ( µ =, γ =, = 3., ε =... )...5. logit(q.999) = logit(q.99) = logit(q.95) = logit(q.5) = logit(q.5) = logit(q.) = logit(q.) = 5 5 5 5 5 ε 3 4 65 7 5 5 5 5 Figure : Modèles K et K3 : (a) Quantiles - (b) Probabilités (c) Densités (d) Dérivées de la loi du quantile - (e) Logit des probabilités - (f) Logdensités patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 3 / 3

Comparaison avec la loi de Student décentrée Loi de Student décentrée à ν degrés de liberté et de paramètre de décentrement µ : { j= j! F v,µ(x) = ( µ ) j e µ Γ( j+ ( ) Γ(/) I v ) v+x ; v, j+, x j! ( µ ) j e µ Γ( j+ ( ) Γ(/) I v ) v+x ; v, j+, x < j=.4. Non central Student Density ( ν = 3, ncp =... ) Non central Student LogDensity ( ν = 3, ncp =... ) Logit(Non central Student Probability) ( ν = 3, ncp =... ) ncp ncp 3 3 4 4 5 5 3.. 4 4 8 ncp 5 3 4 5 7 4 4 8 logit(q.999) = logit(q.99) = logit(q.95) = logit(q.5) = logit(q.5) = logit(q.) = logit(q.) = 4 4 8 Figure : Lois de Student décentrées (ν = 3, ncp =,,, 4, 5) (a) Densités - (b) Logdensités - (c) Logit(Probabilités) Le paramètre de décentrement µ peut prendre des valeurs réelles, positives ou négatives Les paramètre ν et µ influent simultanément sur les queues de distribution ET sur le mode, la médiane et la moyenne patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 4 / 3

Processus asymétriques ( =, 3., 5, )x(δ =.4,.8,.) Processus cumulés ( µ =, γ =, =, δ = 4 ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 3., δ = 4 ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 5, δ = 4 ) Processus cumulés ( µ =, γ =, =, δ = 4 ) 4 σ = 8.6 x.4 = 38 σ = 4.8 x.4 = 3 σ = 4. x.4 = 9 5 σ = 3.8 x.4 = 6 5 5 4 5 4 6 8 4 6 8 4 6 8 4 6 8 Processus cumulés ( µ =, γ =, =, δ = 8 ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 3., δ = 8 ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 5, δ = 8 ) Processus cumulés ( µ =, γ =, =, δ = 8 ) σ =. x.4 = 87 3 σ = 5.3 x.4 = 7 σ = 4.4 x.4 = 9 σ = 4 x.4 = 5 5 3 4 6 8 4 6 8 4 6 8 4 6 8 Processus cumulés ( µ =, γ =, =, δ = ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 3., δ = ) Processus cumulés ( µ =, γ =, = 5, δ = ) Processus cumulés ( µ =, γ =, =, δ = ) σ = x.4 = 39 4 σ = 6. x.4 = 64 3 σ = 4.9 x.4 = 43 σ = 4.4 x.4 = 5 5 4 3 4 6 8 4 6 8 4 6 8 4 6 8 Figure : Processus cumulés : (a) = (b) = 3. (c) = 5 (c) = patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 5 / 3

Euro-Dollar : α = 9., ω = 8., ɛ = 6%, asymétrie multi-échelle Euro Dollar janv. 999 déc. 3.6 3843 points.4...8 999 5 8 4..5..98.99. F(X) >.98 Euro Dollar janv. 999 déc. 3 384 points q.99 =.8 q.999 = F(X) <..5.5 3.5 q. =.6 q. =.7 log% k x.4 = 4.7 x.3 =. σ =.66 m =.4 µ = γ =.77 α = 9. ω = 8..6..8 4 4..5..5. 3 4 log% x.4 = x.3 = σ = m = µ = γ = α = ω = q.999 = q.99 = q.95 = q.5 = q.5 = q. = q. = k 4.7..66.4.77 9. 8..8.8..7.6 k 3.9..4..3.386 8. 5.5 3.6.3.3.4 3.9 6.3 Euro Dollar janv. 999 déc. 3 X µ 3843 points 784 points 8 points k 3.9. 3.4.9.83.85 4.8 5.7 3.5 8. 5.83 5. 9 6.4 Euro Dollar janv. 999 déc. 3 Euro Dollar janv. 999 déc. 3 Euro Dollar janv. 999 déc. 3 4 384 points Rdt log% 384 points Logit(F(X)) Quantiles (< ). log% x.4 = x.3 = σ = m = µ = γ = α = ω = q.999 = q.99 = q.95 = q.5 = q.5 = q. = q. = k 4.7..66.4.77 9. 8..8.8..7.6 3 gauss g. kk q. gauss g. kk q. 4.6.7...8 4 999 5 8 4 4 4 999 5 8 4 Figure : (a) Cours de Euro-Dollar - (b) xlog-rendement de Euro-Dollar (c) Fonction de répartition empirique (α > > ω) - (d) Logit de la fonction de répartition empirique (e) Fonction de répartition empirique en échelle Log-Log sur période jour, semaine, mois (f) Risques à % et sur une période annuelle (5 jours) glissante selon la Gaussienne et la loi K patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 6 / 3

VIX : α = 5, ω = 4, ɛ = %, forte asymétrie multi-échelle VIX janv. 4 déc. 3 57 points 8 7 6 5 4 3 4 7 3..5..98.99. VIX janv. 4 déc. 3 F(X) >.98 56 points q.99 = 9.8 q.999 = 39 F(X) <. 3 4 5 q. = 8.9 q. = 6.8 log% kw x.4 = 7.3 x.3 =.7 σ = 6.74 m =. µ =.537 γ =.66 α = 5 ω = 4 35 3 5 5 4..5..5. 3 4 VIX janv. 4 déc. 3 X µ log% kw kw kw x.4 = 7.3 5 3.6 x.3 =.7.5.6 σ = 6.74.8 8.3 m =..54.36 µ =.537.469.58 γ =.66 3. 4.86 α = 5 5.4 ω = q.999 = q.99 = q.95 = q.5 = q.5 = q. = q. = 4 39 9.8.8.537.3 6.8 8.9 4. 73.9 38.4.4.469 9. 3 5.3 4.7 7 6.6 3.5.58 7.7 4. 57.4 57 points 53 points points VIX janv. 4 déc. 3 VIX janv. 4 déc. 3 VIX janv. 4 déc. 3 56 points Rdt log% 56 points Logit(F(X)) Quantiles (> ) 4. log% x.4 = x.3 = kw 7.3.7 σ = 6.74 m =. µ =.537 γ =.66 α = 5 ω = 4 q.999 = 39 q.99 = 9.8 q.95 =.8 q.5 =.537 q.5 =.3 q. = 6.8 q. = 8.9 8 6 4 gauss g.99 kk q.99 gauss g.999 kk q.999 8.9 6.8.8 9.8 39. 4 7 3 4 4 7 3 Figure : (a) Cours du VIX - (b) xlog-rendement du VIX (c) Fonction de répartition empirique (α > > ω) - (d) Logit de la fonction de répartition empirique (e) Fonction de répartition empirique en échelle Log-Log sur période jour, semaine, mois (f) Risques à % et sur une période annuelle (5 jours) glissante selon la Gaussienne et la loi K patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 7 / 3

Package FatTailsR Divers kashp(x, k = ), ashp, dkashp_dx, invlogit(x), logit(p) Hyperboles puissance, fonctions puissance hyperboliques et leurs inverses exphp(x, k = ), coshp, sinhp, tanhp, sechp, cosechp, cotanhp loghp(x, k = ), acoshp, asinhp, atanhp, asechp, acosechp, acotanhp Fonctions symétriques Logishp et Kiener, sans ou avec paramètres m et g d,p,q,r logishp( xqpn, k = ) d,p,q,r kiener( xqpn, m =, g =, k = 3.) Fonctions asymétriques Kiener, Kiener3, Kiener4 q,r kiener( pn, m =, g =, a = 3., w = 3.) q,r kiener3( pn, m =, g =, k = 3., d = ) q,r kiener4( pn, m =, g =, k = 3., e = ) Estimation paramétrique laplacegaussnorm(x) regkienerlx( X, model = "k4", dgts = c(3, 3,,,, 3,, 4, 4,, ), maxk =, mink =.7, app = ) = Disponible sur le CRAN : http://cran.r-project.org/web/packages/fattailsr/index.html patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 8 / 3

Package FatTailsR : regkienerlx et indice SMI patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 9 / 3

Conclusion Nous avons présenté : les hyperboles puissance, les fonctions puissance et des nouvelles distributions adaptées aux queues épaisses qui utilisent la médiane comme valeur pivot le modèle symétrique est explicite pour toutes les représentations (pdf, cdf, quantiles,...) le modèle asymétrique possède une loi du quantile explicite une modélisation très précise des distributions des rendements et risques un nouveau package : FatTailsR Des questions ouvertes : fonctions caractéristiques, moments, prior et posterior bayésiens modèles multivariés, copules. Mais quel produit scalaire et quelle corrélation? Corrélation du paramètre central γ, du paramètre de queue ou du quantile q %? processus stochastiques. Ici, µγɛ n est pas mσ!! Quel nom pour ces processus : µγɛ-garch ou peut-être Garck? ) e ɛ logit(p t ) ( ds t logit(p = µ S t mdt + γdw t avec dw t sinh t ) les variations des paramètres (γ/σ, ) vus à la diapositive peuvent-elles expliquer le smile de volatilité des produits dérivés? Perspectives d applications : risques de marché (Bâle III, bcbs4, jan. 3), gestion de portefeuille, produits dérivés,... enrichir le package patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 3 / 3

Bibliographie B. Mandelbrot, Sur certains prix spéculatifs : faits empiriques et modèle basé sur les processus stables additifs non gaussiens de Paul Lévy, C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 54, (96) 3968-397 (reprinted in Fractales, hasard et finance, Flammarion, 9). J-P. Bouchaud, M. Potters, Théorie des risques financiers, CEA Aléa Saclay, 997. 3 L. De Haan, On regular variation and its application to the weak convergence of sample extremes, Mathematical Centre Tracts vol. 3, Matematisch Centrum Amsterdam, 97. 4 The R Project for Statistical Computing, http://www.r-project.org 5 Rmetrics, http://www.rmetrics.org 6 8th R/Rmetrics Workshop and Summer School, https://sites.google.com/site/rmetricsparis4/ Package FatTailsR Version.-3 (4 juillet 4) disponible sur le CRAN : http://cran.r-project.org/web/packages/fattailsr/index.html Pour citer et télécharger ce document (seule la version anglaise a été présentée) : P. Kiener, Explicit models for bilateral fat-tailed distributions and applications in finance with the package FatTailsR, 8th R/Rmetrics Workshop and Summer School, Paris, 7 June 4. http://www.inmodelia.com/fattailsr-en.html patrice.kiener@inmodelia.com Distributions à queues épaisses bilatérales Conférence R/Rmetrics - 7 juin 4 3 / 3

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