INTEGRALE DE LEBESGUE-ESPACES FONCTIONNELS

INTEGRALE DE LEBESGUE-ESPACES FONCTIONNELS Introduction: L intégrale de Riemann avait ontré ses limites,d abord sur le champ des fonctions intégrables(assez restreint) et surtout sur lespermutations des limites avec les intégrales. Henri Léon Lebesgue(1875-1941) définit dans sa thèse intitulée: Intégrale,longueur avec une nouvelle méthode de sommation appelée depuis intégrale de Lebesgue et qui est considérée come l une des réussites de l analyse mathématique moderne. Dans la théorie de Lebesgue, les théorèmes de permutation de limite avec intégrale ont un énnocé très simple et surtout très puissants.en outre,par lsa nature ême,l intégrale de Lebesgue est adapté aux fonctions d une seule variable que de plusieurs.le revers est que sa présentation réclamme de longs préliminaires théoriques. C est toujours un problème dans l enseignement actuel d essayer d introduire le plutot possible l intégrale de Lebesgue de façon à ettre ce formidable outil à la disposition des Sciences de l Ingénieur. L intégrale de Lebesgue a considérablement simplifié et amplifié l étude desséries trigonométriques et plus généralement toute l analyse de Fourier et le champ des Probabilités. I Intégrale de Lebesgue L intégralede Lebesgue est fondée non pas sur les fonctions continues par morçeaux mais sur la classe plus large de fonctions appelées mesurables qui seront définies dans le présent chapitre.l avantage est que le champ des fonctions intégrables va être considérablement élargi.des fonctions très discontinues comme l indicatrice de l enseble des nombres rationnels va être intégrable. Définition d une tribu : Définition: Un ensemble τ de parties de suivantes: 1)-Si une suite de parties de (A n ) n 1 (A 1,A 2,...,A n ) τ, alors 2)-Si A τ, alors:( \ A) τ. Conclusion: Une tribu est un ensemble de parties de et par passage au complémentaire. est appelé tribu lorsqu il posséde les propriétés n=1 A n τ. stable par réunion dénombrable Soit S Un ensemble de parties de,on considere toutes les tribus τ i contenant S alors τ = S τ i τ i est une tribu appelée tribu engendrée par S. CI1. S.A. 2012/13. ENSA TÉTOUAN. H. BENKADDOUR. 1/ 9

Définition de la tribu Borelienne: Si on prend S = { parties ouvertes de } alors τ = Borellienne de.on la note B N. S τ i τ i est une tribu appelée la tribu Définition : Soit τ une tribu de,une mesure sur est une application λ : τ [0, + ] telque :λ( A i ) = + λ(a i ) (les A i sont des parties de deux à deux disjoinctes). Définition de la mesure de Lesbegue sur Si On prend B N la tribu Borelienne de, la mesure de Lesbegue est l unique mesure λ telle que: λ([a 1,b 1 ]... [a N,b N ]) = Définition: N (b i ai). Soit P une propriete relative a des éléments de.on pose : N = {x /x ne vérifie pasp} On dit que P est vérifiée presque partout si λ (N) = 0 où λ est la mesure de Lesbegue sur. Définition d une fonction étagée : Soit f une fonction définie sur à valeurs dans R,on dit que f est étagée,si : 1)- A 1,...,A n Boréliens de 2 a 2 disjoincts tels que : = n A i 2)-f (x)= n λ i A i (x) avec { 1 si x A i A i (x) =, A 0 sinon i (x) est la fonction indicatrice de A i. Définition d une fonction mesurable : Une fonction f définie sur prenant des valeurs dans [+, ] est dite mesurable si pourtout λ R,l ensemble { x /f(x) λ } appartient a la tribu borélienne B N. 1)-Si f est mesurable alors: f l est aussi. 2)-Si f et g sont mesurable alors: g + f, f g,λf et 1/f. 3)-Si f n une suite de fonctions sur qui converge simplement vers f sur,alors f est aussi mesurable. CI1. S.A. 2012/13. ENSA TÉTOUAN. H. BENKADDOUR. 2/ 9

Soit f une fonction mesurable positive sur, alors: il existe une suite de fonctions étagées positives f n telle que 0 f n f et f n converge simplement vers f sur. Définition: Integrale d une fonction étagée : Soit f une fonction étagée positive,f(x) = n λ i A i (x),l integrale de f est la quantité notée f(x)dx = f(x 1,...,x N ) dx 1...dx N et définie par: f(x)dx = avec λ(a i ) est la mesure de Lesbegue de A i. n λ i λ(a i ) Définition: Intégrale d une fonction mesurable: 1)Soit f une fonction mesurable positive sur,on choisit une suite de fonctions étagées (f n ) telle que f n converge simplement vers f sur.on pose alors: f (x) dx = lim f n (x) dx n + Cette limite est finie ou égale a +.Lorsqu elleest finie,on dit que f est integrable au sens de lesbegue. 2) Dans le cas général d une fonction mesurable f définie sur, on dira que f est intégrale si f (x) dx est finie. 3) Soit f : C, on dira que f est mesurable (respectivement intégrable) si sa partie réelle et imaginaire sont mesurables(respectivement intégrable). 4) Soit A un ensemble Borélien et f : A C. On dit que f est mesurable(respectivement intégrable ) sur A si la fonction f définie par: { f(x) si x A f (x) = 0 sinon est intégrable. 1)- f,g : R, λ C : (f + λg) (x) dx = f (x) dx + λ g (x) dx 2)-0 f g = f (x) dx g (x) dx. 3) f (x) dx = 0 f = 0 presque partout sur. CI1. S.A. 2012/13. ENSA TÉTOUAN. H. BENKADDOUR. 3/ 9

Soit f une fonction bornée,positive et nulleen dehors d un ensemble borné,alors f est integrable. Théoréme: 1)-Soit f : [a,b] R integrable au sens de Riemann,alors:f est integrable au sens de Lebesgue et b f (x) dx = f (x) dx. a [a,b] 2)-Soit f : ]a,b[ R une fonction telque b f (x) dx est convergente,alors:f est a integrable sur ]a,b[ au sens de lebesgue et on a: f (x) dx = b f (x) dx. ]a,b[ a Remarque:Une fonction peut avoir une intégrale généralisée convergente sans qu elle soit intégrable au sens de Lebesgue.Il suffit de considérer la fonction:f(x) = x ) sin x 1 si x = 0 Théoréme:Convergence dominée de Lebesgue: Soit f n une suite de fonctions intégrables telles que f n converge simplement vers f presque partout. On suppose qu il existe une fonction g positive integrable tel que: f n (x) g (x) presque pour tout x.alors :f est intégrable et on a: lim f n (x) dx = lim f n (x) dx. Théoréme de Fubini: R M R Soit f : (x,y) f (x,y) une fonction intégrable c est à dire,telque: f (x,y) dxdy < R M +,alors: 1)-La fonction y R M f (x,y) est intégrable pour x fixésauf peut être des valeursde x fixées qui forment un ensemble de mesure nulle= La fonction F (x) = f (x,y) dy est définie R M presque partout. 2)-La fonction x F (x) est intégrable sur,et on a: [ ] f (x,y) dy dx = R M R M [ ] f (x,y) dx dy = f (x,y) dxdy R M CI1. S.A. 2012/13. ENSA TÉTOUAN. H. BENKADDOUR. 4/ 9

Théoreme de Fubini Tonnelli:(Réciproque du Théorème de Fubini) Soit f : R M R mesurable telle que l une des deux integrales [ ] [ ] f (x,y) dy dx et f (x,y) dx dy soit finie,alors f est intégrable sur R M et on a: [ ] [ ] f (x,y) dy dx = f (x,y) dx dy = f (x,y) dxdy R M R M R M II Application: Fonctions définies par une intégrale(intégrales dépendant d un paramètre Soit f : (x,t) f (x,t) définie sur ]α,β[ ]a,b[ à valeurs dans R.On suppose que pour tout x ]α,β[,la fonction : est bien définie. F (x) = ]a,b[ f(x,t) dt Théoreme de la continuité: Sous les hypothéses précédentes on suppose que f vérifie les hypothèses suivantes: 1)-f est séparement continue par rapport à x pour presque tout t ]a,b[. 2)- g 0 intégrable sur ]a,b[ telle que: f (x,t) g (t), x ]α,β[ et presque partout par rapport à t. alors f est continue sur ]α,β[. Théoréme de dérivabilité: On suppose que f : (t,x) f (t,x) vérifie les hypothéses suivantes: 1)- f (x,t) existe pour tout x ]α,β[ et pour presque tout t ]a,b[. x (x,t) est continue par rapport à x ]α,β[. 2)- f x 3)- g 0 intéegrable sur]a,b[, f (x,t) g (t), x ]α,β[ et presque partout par rapport à t x alors: F (x) est dérivable sur ]α,β[ et on a:. F (x) = ]a,b[ f (x,t) dt x CI1. S.A. 2012/13. ENSA TÉTOUAN. H. BENKADDOUR. 5/ 9

RAPPEL SUR LES ESPACES FONCTIONNELS Définition d une une norme: Soit un espace vectoriel sur K = R ou C,une norme sur E notée application de E dans [0, + [ satisfaisant à: a)- λf = λ. f λ C, f E. b)- f 1 + f 2 f 1 + f 2. c)- f = 0 f = 0. E est une Remarque:Si a et b sont vérifiées= Exemples: E est une semi norme. 1)-E = C ([ 1,1],R) : + f 1 = sup [ 1,1] f(x) est une norme appelée norme de la convergence uniforme. + f 2 = 1 1 f(t) 2 dt est une norme sur E. 2)-E = l 1 ( ) = {f : C,f integrable} : f E = f(x) dx c est une semi norme. f dx = 0 f = 0 presque partout. Définition: convergence,convergence de cauchy: E ): Soit f n une suite d éléments d un espace vectoriel normé (c est a dire:muni d une norme 1)-On dit que f n f f n f E 0 2)-E = l( ) = {f = C,f est integrable} f E = f(x) dx est une semi norme. f dx = 0 f = 0 presque partout. Définiton:convergence et convergence de cauchy: Soit f n une suite d éléments d un espace vectoriel E (c est a dire :muni d une norme E ): CI1. S.A. 2012/13. ENSA TÉTOUAN. H. BENKADDOUR. 6/ 9

1)-On dit que f n f f n f E 0 2)-On dit que (f n ) n est de cauchy ( ε > 0, N telque n,m N = f n f m ε) Remarque: U n est une Suite convergente= U n est une suite de cauchy. Définition d un espace de banach: Soit E un espace vectoriel normé,on dit que E est un espace de banach si toute suite de cauchy de E est convergente. Espaces L 1 ( ) et L 1 loc (RN ) : -L espace L 1 ( ) : Soient f,g l 1 ( ),on définit une relation R par:f Rg f = g presque partout c est une relation d équivalence. L espacequotient l 1 ( ) /R des classes d équivalence:. f= { g : C,g = f presque partout } est noté:l 1 ( ) L 1 ( ) est un espace vectoriel et l application: est une norme sur E. L 1 ( ) R + f f(x) dx l éspace L 1 loc (RN ) : Définition d une fonction localelement integrable: Une fonction f : C est dite localement integrable si elle est integrable sur tout compact K de c est a dire: K compact de, f(x) dx < +. K Exemple: Toute fonction borné sur est localement integrable. Définition :L 1 loc (RN ) : On note l 1 loc (RN ) :l espace des fonctions localement integrables sur. CI1. S.A. 2012/13. ENSA TÉTOUAN. H. BENKADDOUR. 7/ 9

On pose alors :L 1 loc (RN ) = l 1 ( )/ R avec R la relation d équivalence définie précédemment L 1 loc (RN ) est un espace vectoriel. Espace L p ( ),1 p + : Pour 1 p +,on définit l p ( ) = {f : C tel que f(x) p dx < + } Le cas de p = 2 est trés important,c est l espace des fonctions carrées integrables. On pose : L p ( ) = l p ( )/ R, et pour f L p ( ), f L p ( ) = ( f(x) p dx ) 1/p Inégalité de Holder: Soit f L p ( ) et g L q ( ) ( avec:1/p + 1/q = 1) alors: f g L 1 ( ) et on a f.g dx ( f(x) p dx ) 1/p ( g(x) q dx ) 1/q Le cas de p = q = 2 correspond a l inégalité de Cauchy-Schwartz: R n f.g ( f 2) 1/2 ( g 2) 2 Inegalité de Minkowski : Soient f et g L p ( ) alors: 1)-f + g L p ( ) 2)- ( f(x) + g(x) p dx ) 1/p ( f(x) p dx ) 1/p + ( g(x) p dx ) 1/p Corollaire: L p ( ) est un espace vectoriel sur C et l application : est une norme sur L p ( ). L p ( ) R + f f L p Définition: -On définit l ( ) = {f : C mesurable telle que: c > 0tel que f(x) c presque partout}. -On pose L ( ) = l ( ) /R,un élement de L est une classe d équivalence dont le representant f est une fonction presque partout bornée sur. Pour f L ( ),on pose f L = inf {c > 0 telle que f(x) c presque partout}. CI1. S.A. 2012/13. ENSA TÉTOUAN. H. BENKADDOUR. 8/ 9

Support d une fonction: Soit f : C une application (partout définie) Définition: Le support de f noté Supp f est l ensemble définie par : Suppf = {x = (x 1,...,x n ) /f(x) 0}. 1)-Supp f est le plus petit fermé en dehors duquel f est nulle. 2)-Supp (f + g) (Supp f) (Supp g) 3)-Supp (f g) (Supp f) (Supp g) 4)- λ C,Supp (λf) = Supp f 5)-Supp f (λx) = 1/λ Supp f λ R. L ensemble D (Ω) : Soit Ω un ouvert de, D (Ω) = { f : C / f de classe C sur Ω,Supp f est borné }. 1)- D (Ω) est un espace vectoriel. 2)- ϕ,ψ D (Ω) : ϕ Ψ D (Ω). Définition: Soit (f n ) n une suite de fonctions de D ( ),on dit que : 1)-f n 0 dans D ( ),si: n + a)- K compact tel que suppf n K n. b)-la suite f n et toutes ses derivées:d α f n convergent uniformement sur K vers 0 c est à dire : α ℵ N : sup D α f n 0 2)-f n f n + n +. dans D ( ) f n f 0 dans D ( ). n + CI1. S.A. 2012/13. ENSA TÉTOUAN. H. BENKADDOUR. 9/ 9