Chemins de Krew eras dans un qua rt de plan Q(u, v; t) := X q(i, j; n)uivjtn i,j,n j n pas i q(i, j, n)

È Ø Ø Ô Ø ÛÓÖ ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú Å Ö ÐÐ ÓÙ ÕÙ Ø¹Å ÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø

Ê ÙÑ Ð³ Ô Ó ÔÖ ÒØ ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú ÕÙ Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ö Ò Ö ØÖ ÔÔÖÓ Ø Ú Ä³ Ü ÑÔÐ Ö Ö Ò Ö Ø Ñ Ò Ý ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ö ÕÙ» Ð ÑÑ ÝÐ ÕÙ ÉÙ ÐÕÙ ÑÝ Ø Ö Ð Ö ÕÙ

ÁÐ Ø Ø ÙÒ Ó ººº ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ò ÙÒ ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò

Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ò ÙÒ ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Q(u, v; t) := q(i, j; n)u i v j t n i,j,n j i n Ô q(i, j, n)

Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ò ÙÒ ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Q(u, v; t) := q(i, j; n)u i v j t n i,j,n j i n Ô q(i, j, n) ÈÓÙÖÕÙÓ Ø¹ ÐÐ Ð Ö ÕÙ ËÓ Ø Q(u, v; t) W = t(2 + W 3 ÐÓÖ )º Q(u, v; t) = (1/W ū) 1 uw 2 + (1/W v) 1 vw 2 uv t(u + v + u 2 v 2 1 ) uvt.

Æ Ö Ù Ò Ð ÃÖ Û Ö ¼ ÖÒ Ö ¼ Ò ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ Å Å Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ò ÙÒ ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Q(u, v; t) := q(i, j; n)u i v j t n i,j,n j i n Ô q(i, j, n) ÈÓÙÖÕÙÓ Ø¹ ÐÐ Ð Ö ÕÙ ËÓ Ø Q(u, v; t) W = t(2 + W 3 ÐÓÖ )º Q(u, v; t) = (1/W ū) 1 uw 2 + (1/W v) 1 vw 2 uv t(u + v + u 2 v 2 1 ) uvt. ÈÓÙÖÕÙÓ n) ÒÓÑ Ö Ñ Ò Ò Ø¹ Ð ÑÔÐ q(i,0; Ð Ò ÒØ (i,0) 4 n (2i + 1) q(i,0;3n + 2i) = ( 2i )( 3n + 2i) (n + i + 1)(2n + 2i + 1) i n

ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÓÐÝ ÓÒ ½ n ØÖ Ò Ð ÈÓÐÝ ÓÒ i Ø t(i, n) ¾ T(u; t) = i,n t(i + 2, n)u i t n

ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÓÐÝ ÓÒ ½ n ØÖ Ò Ð ÈÓÐÝ ÓÒ i Ø ¾ t(i, n) T(u; t) = i,n t(i + 2, n)u i t n ÈÓÙÖÕÙÓ T(u; Ø¹ ÐÐ Ð Ö ÕÙ t) U ØÕº U(0) = 0 Ø U = t + 2U 3 º ÐÓÖ ËÓ Ø T(u; t) = 1 2u 2 ( u t 1 ( ) u ) U 1 1 4uU 2 /t. ÈÓÙÖÕÙÓ t(i, n) Ø¹ Ð ÑÔÐ t(i + 2,2n + i) = 2 n (2i + 1) ( 2i )( 3n + 2i (n + i + 1)(2n + 2i + 1) i n ) ÅÙÐÐ Ò ÈÓÙÐ Ð ÓÒ¹Ë Ö ¼

Ñ Ò Ø ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ººº q(i,0;3n + 2i) = 2 n t(i + 2,2n + i) = 4 n (2i + 1) ( 2i )( 3n + 2i (n + i + 1)(2n + 2i + 1) i n ) Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ i = 0 ½ ¾

ÅÙÐÐ Ò º ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ö ÙÖ Ú ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ

Ë Ö Ò Ö ØÖ ÈÓÙÖ i 2 Ó Ø t(i, n) Ð ÒÓÑ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÓÐÝ ÓÒ i Ø Ò n ØÖ Ò Ð ËÓ Ø T(t, Ð Ö Ò Ö ØÖ Ó u) T(u, t) = t(i + 2, n) t n u i Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö i,n 0 = i 0 u i T i (t) T(0, t) = T 0 (t) = 1 + t 2 + 4t 4 + O(t 6 ) ÓÑÔØ Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒ º ÆÓØ Ø ÓÒ T(u, t) T(u) Ø T i (t) T i

1 ÆÓÑ Ö ØÖ Ò Ð ¼ u ½ 1 + 2u 2 ¾ 4u + 5u 3 T(u, t) = 1 + tu + t 2 (1 + 2u 2 ) + t 3 (4u + 5u 2 ) + t 4 (4 + 15u 2 + 14u 4 ) + O(t 5 )

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ T i ÈÓÐÝ ÓÒ i + 2 Ø T i 1 i=0

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ T i ÈÓÐÝ ÓÒ i + 2 Ø 01 T i 1 i=0

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ T i ÈÓÐÝ ÓÒ i + 2 Ø 01 T i 1 i=0 t k+l=i 1 T k T l

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ T i ÈÓÐÝ ÓÒ i + 2 Ø 01 T i 1 i=0 t k+l=i 1 T k T l t T i+1

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ T i ÈÓÐÝ ÓÒ i + 2 Ø 01 0 1 T i 1 i=0 t k+l=i 1 T k T l t T i+1 T(u) 1 tu T(u) 2 + i 0 T i u i t T(u) T(0) u

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Þ ÖÖ T(u) = 1 + tut(u) 2 + t T(u) T(0) u Ö u = 0

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Þ ÖÖ T(u) = 1 + tut(u) 2 + t T(u) T(0) u Ö u = 0 Ä Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð T i Ò³ Ò Ø Ô ÙÒ T 0 = 1 + tt 1, T 1 = tt 2 0 + tt 2, T 2 = 2tT 0 T 1 + tt 3,... ÐÐ Ò Ò Ø ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð T i ÕÙ³ Ò Ø ÒØ ÕÙ Ö ÓÖÑ ÐÐ Ò t

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Þ ÖÖ T(u) = 1 + tut(u) 2 + t T(u) T(0) u Ö u = 0 Ä Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð T i Ò³ Ò Ø Ô ÙÒ T 0 = 1 + tt 1, T 1 = tt 2 0 + tt 2, T 2 = 2tT 0 T 1 + tt 3,... Æ Ò Ø ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð T i ÕÙ³ Ò Ø ÒØ ÕÙ Ö ÓÖÑ ÐÐ Ò t ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ð Ö ÕÙ Ð Ø¹ ÐÐ T(u; t) = 1 ( ( u u 2u 2 t 1 U 1 ) 1 4uU 2 /t ), Ú U ØÕº U(0) = 0 Ø U = t + 2U 3 º

P(x, y, t, v) Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ T(u) T(u; t) ÙÒ Ö ÓÖÑ ÐÐ Ò t Ó ¹ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÜ Ò u Ø T ÒØ 0 T(0)º = Ä Ñ Ø Ó ÕÙ Ö Ø ÕÙ ÖÓÛÒ Ø Ö Ù Ð Ö ÇÒ Ô ÖØ ³ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ P(T(u), T 0, t, u) = 0 ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ö U U(t) Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö T(U) T(U, t) Ø Ò Ò P x (T(U), T 0t, U) = 0, ÓÒ P v (T(U), T 0, t, U) = 0. P(T(U), T 0, t, U) = 0. Ø Ò Ö

ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÖØ P(T(u), T 0, t, u) = ut(u) u tu 2 T(u) 2 t(t(u) T 0 ) = 0 ÈÖ Ñ Ö Ö Ú P x (T(u), T 0, t, u) = u 2tu 2 T(u) t ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ µ Ö ÓÖÑ ÐÐ U U(t) Ø ÐÐ ÕÙ U = t + 2tU 2 T(U; t) ÓÒ ÓÒ P(T(U), T 0, t, U) = UT(U) U tu 2 T(U) 2 t(t(u) T 0 ) = 0 P x (T(U), T 0, t, U) = U 2tU 2 T(U) t = 0 ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ö ÕÙ Ð ÒØ Ð Ö T(U), T 0 Ø Uº P v (T(U), T 0, t, U) = T(U) 1 2tUT(U) = 0

Ë Ö Ò Ö ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ËÓ Ø U U(t) Ð³ÙÒ ÕÙ Ö ÓÖÑ ÐÐ Ò t Ø ÐÐ ÕÙ U(0) = 0 Ø U = t + 2U 3. ÐÓÖ T(u; t) = 1 2u 2 ( u t 1 ( ) u ) U 1 1 4uU 2 /t Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ u Ë ÔÓÐÝ ÓÒ i + Ø 2 Ò T i = U2i+1 ( tci t i+2 U 3 ) C i+1 Ó C i = ( ) 2i i /(i + 1) Ø Ð i Ø Ð Òº ÒÓÑ Ö Ñ

³ ÒÚ Ö ÓÒ Ä Ö Ò ÓÖÑÙÐ Φ(t) ÙÒ Ö ÓÖÑ ÐÐ Ø U U(t) Ð³ÙÒ ÕÙ Ö Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ø ÒØ ËÓ Ø Ä ÒÓÑ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÕÙ U = tφ(u) ÔÓÙÖ N > 0 k > 0 Ð Ó ÒØ t N Ò U k Ø ÐÓÖ [t N ]U k = k N [tn k ] ( Φ(t) N) ÈÖ ÙÚ ÓÙ Ð ÓÑÔØ ³ Ö Ö Ò Ö ÙÜ Ô Ö Ð³ ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú Ø Ð Ð ÑÑ ÝÐ ÕÙ º

³ ÒÚ Ö ÓÒ Ä Ö Ò ÓÖÑÙÐ Φ(t) ÙÒ Ö ÓÖÑ ÐÐ Ø U U(t) Ð³ÙÒ ÕÙ Ö Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ø ÒØ ËÓ Ø Ä ÒÓÑ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ U = tφ(u) U = t 1 2U 2 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ N > 0 ÐÓÖ k 0 > [t N ]U k = k N [tn k ] ( Φ(t) N) = k2n ( k + 3n 1) N = k + 2n k + 2n n T i = U2i+1 t i+2 ( tci U 3 C i+1 ), ÈÙ ÕÙ t(i + 2,2n + i) = 2 n (2i + 1) ( 2i )( 3n + 2i (n + i + 1)(2n + 2i + 1) i n ) ÐÓÖ

Ô Ù Ö ÙÐ ÍÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÙÒ Ú Ö Ð Ø ÐÝØ ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ T(u; t) = i T ËÓ Ø i (t)u i Ö ÓÖÑ ÐÐ Ò t Ó ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÜ Ò ÙÒ Ò Ô Ö ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÒ Ð ÓÖÑ u P(T(u), T 0, T 1,..., T k, t, u) = 0. ÐÓÖ T(u; t) Ø Ð Ö ÕÙ º ÆÓÙÚ Ù Ö Ø Ö ³ Ð Ö Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÖ ÒÓÑ Ö Ù Ñ ÐÐ ÖØ Ø ÙØÖ µº Ñ Ñ¹Â ÒÒ ¼

Æ Ö Ù Ò Ð ÃÖ Û Ö ¼ Ñ Ñ º ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ù µ j i

Ë Ö Ò Ö ØÖ ÈÓÙÖ i, j, n 0 Ó Ø q(i, j; n) Ð ÒÓÑ Ö Ñ Ò Ãº ÐÓÒ Ù ÙÖ n Ò ÒØ Ò (i, j) ËÓ Ø Q(x, y; Ð Ö Ò Ö ØÖ Ó t) Q(x, y; t) = q(i, j; n) x i y j t n i,j,n 0 Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Q(x,0; t) = i,n 0 q(i,0; n) x i t n ÓÑÔØ Ð Ñ Ò Ò ÒØ ÙÖ Ð³ Ü ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÆÓØ Ø ÓÒ Q(x, y; t) Q(x, y)

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ =

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Q(x, y) ½ = =

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Q(x, y) ½ = Q(x, y) txy =

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Q(x, y) ½ = Q(x, y) txy t (Q(x, y) Q(x,0)) y = Ù

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Q(x, y) ½ = Q(x, y) txy t t (Q(x, y) Q(x,0)) y (Q(x, y) Q(0, y)) x = Ù

ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Þ ÖÖ (xy t(x + y + x 2 y 2 ))Q(x, y) = xy txq(x,0) tyq(0, y) ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ÙÜ Ú Ö Ð Ø ÐÝØ ÕÙ u Ø v ÈÓÙÖÕÙÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ð Ö ÕÙ =

ÉÙ ÐÕÙ Ò Ö ÒØ Ð ÔÖ ÙÚ (xy t(x + y + x 2 y 2 ))Q(x, y) = xy txq(x,0) tyq(0, y) Ö Ö ÒÒÙÐ Ö Ð ÒÓÝ Ù (xy t(x + y + x 2 y 2 )) Ä ÖÓÙÔ Ó ÒÓÝ Ù Ø Ò ÓÖ Ö µ Φ (x, y) Ψ ( xȳ, y) Ψ ( xȳ, x) (x, xȳ) Φ (y, xȳ) Ä ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ö Ò Y 0 Y Ø 1 Ù Ò ÓÒØ ÒÒ ÒØ ÕÙ ÔÙ Ò Ò Ø Ú ÒÓÝ Ù x Φ (y, x) Ψ Y 0 + Y 1 = x t x2 Ø Y 0 Y 1 = x Ú x = 1/xº

Ô Ù Ö ÙÐ ÍÒ Ð Ò Ö ÙÜ Ú Ö Ð Ø ÐÝØ ÕÙ ÓÙ ÔÐÙ µ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ñ Ò (xy t(x + y + x 2 y 2 ))Q(x, y) = xy txq(x,0) tyq(0, y) ÆÓÖ ËÙ Ø ÇÙ Ø È (xy t(x + y + x 2 y + xy 2 ))Q(x, y) = xy txq(x,0) tyq(0, y) Ö Ö ÒÒÙÐ Ö Ð ÒÓÝ Ù Ó ÒØ Q(x, y)µ ØÙ Ö Ð ÖÓÙÔ Ó Ù ÒÓÝ Ù Ä ÓÐÙØ ÓÒ Ò³ Ø Ô ØÓÙ ÓÙÖ Ð Ö ÕÙ Ñ Ò Æ Ë Çµ Ñ ÐÐ Ø Ô ÙØ¹ ØÖ µ ÓÐÓÒÓÑ ÕÙ Ð ÖÓÙÔ Ø Ò º ÝÓÐÐ Á ÒÓ ÓÖÓ Å ÐÝ Ú

º ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò ÍÒ Ð Ò ÓÑ Ò ØÓ Ö ÖÒ Ö ¼

Ç Ø q(0,0;3n) = 4 n ( 3n (n + 1)(2n + 1) n ) ÜÔÐ ÕÙ Ö ÓÑ Ò ØÓ Ö Ñ ÒØ Ð ÙÜ ÒØ Ø Ù Ú ÒØ i = 0µ = 2 n t(2;2n) ¾ ½ ÆÓØ 2n ØÖ Ò Ð n + 2 ÓÑÑ Ø 3n + 1 Ö Ø

½º ÉÙ ÐÕÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö

b Ê ØÓÙÖÒÓÒ Ð Ñ Ò a c w = aaaabbcbcbbccac Ò ØÓÙØ ÔÖ Ü w w Ð Ý ¹ ÔÐÙ a ÕÙ c w a w c ¹ ÔÐÙ b ÕÙ c w b w c Ò Ð Ø ÓÒØ Ð Ø w = wº

c b a Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ¹ÔÐ Ò w = aaaacabbbbccabbcbcbbccac Ò ØÓÙØ ÔÖ Ü w w w a + w b 2 w c ØØ Ò Ð Ø Ú ÒØ ÙÒ Ð Ø w = wº

b a Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ¹ÔÐ Ò c w = aaaacabbbbccabbcbcbbccac Ò ØÓÙØ ÔÖ Ü w w w a + w b 2 w c ØØ Ò Ð Ø Ú ÒØ ÙÒ Ð Ø w = wº Ð ÓÑÔØ Ö Ð ÑÑ ÝÐ ÕÙ µ Ñ Ò 3n Ô ÓÒØ n Ô ÓÒ ÙÜ 4 n ( 3n 2n + 1 n )

00 11 00 11 00 11 00 11 01 t(2, 2n) 00 11 000 111 00 11 00 11 01 = t(3,2n 1) ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒ Ø ³ÙÒ ØÖ Ò Ð

ÍÒ ÖØ ÒÖ Ò ÙÖ Ð Ô Ö Ä ÚÖ Ú ³ÙÒ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ

ÖØ Ù Ð ³ÙÒ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ

ÖØ Ù Ð ³ÙÒ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ ³ Ö Ø Ö Ø Ö Ò ÖØ Ù ÕÙ ÓÑÑ Ø Ö µ 3n Ö Ø 2n ÓÑÑ Ø

¾º ÍÒ Ø ÓÒ q(0,0;3n) = 4 n (n + 1)(2n + 1) n ( 3n) = 2 n t(2;2n)

Ö Ö ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ ÍÒ Ö Ö ÓÙÚÖ ÒØ ³ÙÒ ÖØ Ù ÕÙ Ø ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ ØÓÙØ Ö Ø ÕÙ Ò³ Ø Ô Ò Ð³ Ö Ö Ö Ð ÙÒ ÓÑÑ Ø Ð³ÙÒ Ò ØÖ Ð³ Ö Ø Ö Ò Ò³ Ø Ô Ò Ð³ Ö Ö ÇÍÁ ÆÇÆ

Ð ÖØ Ù ÕÙ ÔÓÖØ ÒØ ÙÒ Ö Ö ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ö Ø Ñ ÖÕÙ ØÙ ÓÖ Ð³ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø µº Ò ÍÒ Ø ÓÒººº ººº ÒØÖ Ð Ñ Ò Ò Ð Ñ ¹ÔÐ Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ 3nµ ÈÖ Ò Ô Ð ØÙÖ Ù Ñ Ò ÑÓØµ Ð ØØÖ Ð ØØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ³ÙÒ ÖØ Ô ØØ Ø ³ÙÒ Ö Ö ÓÙÚÖ ÒØ

ÍÒ Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ w = aaaabbcbcaaccac

Ð ÖØ Ù ÕÙ ÔÓÖØ ÒØ ÙÒ Ö Ö ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ ÓÒØ ÙÒ Ö Ø ØÙ Ò Ð³ Ö Ö Ø Ñ ÖÕÙ 2n ÓÑÑ Ø µº ÓÖ ÍÒ Ø ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ÖÒ Ö ¼ ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Φ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Ñ Ò Ò Ð Ñ ¹ÔÐ Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ 3nµ ÔÐÙ w Ø ÙÒ Ñ Ò ÃÖ Û Ö ¹¹ º ÓÒ Ò Ò Ð ÕÙ ÖØ ÔÐ Òµ Ð³ Ö Ø Ñ ÖÕÙ Φ(w) Ø Ð³ Ö Ø Ö Ò º

ÔÐÙ w Ø ÙÒ Ñ Ò ÃÖ Û Ö ¹¹ º ÓÒ Ò Ò Ð ÕÙ ÖØ ÔÐ Òµ Ð³ Ö Ø Ñ ÖÕÙ Φ(w) Ø Ð³ Ö Ø Ö Ò º Ò ØÓÙØ ÔÖ Ü w w ÈÖ ÙÚ w a w c w Ø b w c Ä³ÓÔ Ö Ø ÙÖ a Ö ÙÒ Ô ØØ Ù Ð Ö Ò Ä³ÓÔ Ö Ø ÙÖ b Ö ÙÒ Ô ØØ ÖÓ Ø Ä³ÓÔ Ö Ø ÙÖ c ÓÒ ÓÑÑ ÙÒ Ô ØØ ÖÓ Ø Ø ÙÒ Ù Ä Ô ØØ Ö Ò Ò Ô Ö Ø Ô º

Ä Ñ Ò Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ü ÑÔÐ w = aaaabbcbcbbccac

Ä Ñ Ò Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ü ÑÔÐ w = aaaabbcbcaaccac

Ä Ñ Ò Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ü ÑÔÐ w = aaaabbcbcbbccac

ÓÖÓÐÐ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÑÔØ Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ù Ñ ¹ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ q n (0,0,3n) = º º ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø Ö Ø Ñ ÖÕÙ ÓÖ Ð³ Ö Ö

ÓÖÓÐÐ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÑÔØ Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ù Ñ ¹ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ 4 n 2n + 1 ( 3n n ) q n (0,0,3n) = Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ º º ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø Ö Ø Ñ ÖÕÙ ÓÖ Ð³ Ö Ö

ÓÖÓÐÐ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÑÔØ Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ù Ñ ¹ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ 4 n 2n + 1 ( 3n n ) q n (0,0,3n) = Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ º º ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø Ö Ø Ñ ÖÕÙ ÓÖ Ð³ Ö Ö 4 n ( 3n 2n + 1 n )

ÓÖÓÐÐ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÑÔØ Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ù Ñ ¹ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ 4 n 2n + 1 ( 3n n ) q n (0,0,3n) = Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ º º ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø Ö Ø Ñ ÖÕÙ ÓÖ Ð³ Ö Ö 4 n ( 3n ) 2n + 1 n Ö Ø ÓÒØ 3n 2n Ò Ð³ Ö Ö 1

ÓÖÓÐÐ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÑÔØ Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ù Ñ ¹ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ 4 n 2n + 1 ( 3n n ) q n (0,0,3n) = Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ º º ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö Ö Ø Ñ ÖÕÙ ÓÖ Ð³ Ö Ö ÓÑÑ Ø 2n 4 n ( 3n ) 2n + 1 n Ö Ø ÓÒØ 3n 2n Ò Ð³ Ö Ö 1 Ô Ö Ú Ö n + 1 ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø 4 n (n + 1)(2n + 1) ( 3n n )

ÓÖÓÐÐ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÑÔØ Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ù Ñ ¹ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ 4 n ( 3n 2n + 1 n ) q n (0,0,3n) = 4 n ( 3n (n + 1)(2n + 1) n ) º º ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö Ö Ø Ñ ÖÕÙ ÓÖ Ð³ Ö Ö ÓÑÑ Ø 2n 4 n ( 3n ) 2n + 1 n Ö Ø ÓÒØ 3n 2n Ò Ð³ Ö Ö 1 Ô Ö Ú Ö n + 1 ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø 4 n (n + 1)(2n + 1) ( 3n n )

ÓÑÔØ ÖØ Ù ÕÙ 4 n ( 3n (n + 1)(2n + 1) n ) ÚÙ Ä ÒÓÑ Ö ÖØ Ù ÕÙ 2n ÓÑÑ Ø ÔÓÖØ ÒØ ÙÒ Ö Ö ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ø

ÌÓÙØ ÖØ Ù ÕÙ 2n ÓÑÑ Ø Ñ Ø 2 n Ö Ö ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ò ÈÖÓÔº Ô Ð Ö Ò µº ÓÒØ Ò ÒØ Ü ÑÔÐ Ò ÓÑÔØ ÖØ Ù ÕÙ 4 n ( 3n (n + 1)(2n + 1) n ) ÚÙ Ä ÒÓÑ Ö ÖØ Ù ÕÙ 2n ÓÑÑ Ø ÔÓÖØ ÒØ ÙÒ Ö Ö ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ø

ÓÑÔØ ÖØ Ù ÕÙ 4 n ( 3n (n + 1)(2n + 1) n ) ÚÙ Ä ÒÓÑ Ö ÖØ Ù ÕÙ 2n ÓÑÑ Ø ÔÓÖØ ÒØ ÙÒ Ö Ö ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ø ÈÖÓÔº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÖØ Ù ÕÙ Ø ÐÐ n 3n Ö Ø µ Ð Ü Ø 2 n Ö Ö ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ò ÓÒØ Ò ÒØ Ô Ð Ö Ò µº Ü ÑÔÐ Ò ÓÖÓÐÐ Ö ÁÐ Ý 2 n ( 3n (n + 1)(2n + 1) n ) ÖØ Ù ÕÙ 2n ÓÑÑ Ø º

ÉÙ ÐÕÙ Ô Ö Ô Ø Ú Ñ Ò Ø ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ò Ö Ð q(i,0;3n + 2i) = 2 n t(i + 2,2n + i) = 4 n (2i + 1) ( 2i )( 3n + 2i (n + i + 1)(2n + 2i + 1) i n ) Ö Ö Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙÖ Ð Ñ Ò ÙÜ¹Ñ Ñ

ÓÖÓÐÐ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÑÔØ Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ù Ñ ¹ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò Ñ Ò 3n ÄÓÒ Ù ÙÖ 4 n ( 3n 2n + 1 n ) q n (0,0,3n) = 4 n ( 3n (n + 1)(2n + 1) n ) º º ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö Ö Ø Ñ ÖÕÙ ÓÖ Ð³ Ö Ö ÓÑÑ Ø 2n 4 n ( 3n ) 2n + 1 n Ö Ø ÓÒØ 3n 2n Ò Ð³ Ö Ö 1 Ô Ö Ú Ö n + 1 ÖØ Ù ÕÙ Ö Ö 2n ÓÑÑ Ø 4 n (n + 1)(2n + 1) ( 3n n )

ÉÙ ÐÕÙ Ô Ö Ô Ø Ú Ñ Ò Ø ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ò Ö Ð q(i,0;3n + 2i) = 2 n t(i + 2,2n + i) = 4 n (2i + 1) ( 2i )( 3n + 2i (n + i + 1)(2n + 2i + 1) i n ) Ö Ö Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙÖ Ð Ñ Ò ÙÜ¹Ñ Ñ ÙØÖ Ñ ÐÐ ÖØ