Master ISIFAR 2ème année Exercices pour le cours Mathématiques Financières

Master ISIFAR 2ème année Exercices pour le cours Mathématiques Financières Chapitre 1 Exercice 1. * Calculer le prix à terme d échéance T d une obligation de nominal N, qui verse un coupon C à la date t < T. Exercice 2. * A la date 0, le prix à terme d échéance T d un actif financier ne versant pas de dividendes est égal à F. Supposant que vous avez pris une position longue dans un contrat forward sur cet actif, calculez le prix de votre contrat à la date t < T. Exercice 3 (Dividendes discrets). On considère une action dont le prix sera noté par S, et qui verse un dividende connu D à la date t < T. Les prix à l instant 0 des options call et put sur S d echéance T et de strike K seront notés C(T, K) et P (T, K). Le taux d intérêt est supposé constant et égal à r. 1. Calculer le prix forward d échéance T à l instant 0 de l action. 2. Donner la relation de parité call-put pour C(T, K) et P (T, K). 3. En déduire les bornes inférieures pour C(T, K) et P (T, K). Donner également les bornes supérieures pour les prix de ces options. Chapitre 2 Exercice 4 (Le risk reversal). On se place dans le cadre du modèle Black- Scholes standard avec volatilité σ et taux d intérêt r. Un risk reversal est un contrat qui consiste à vendre un put de strike K 1 et à acheter un call de strike K 2 > K 1. 1. Tracer le pay-off du risk-reversal en fonction de la valeur du sous-jacent à l échéance S T. 2. Tracer le vega du risk-reversal à l instant T = 0 en fonction de la valeur du sous-jacent S 0. 3. Pour une valeur fixée de S 0, donner une condition sur les strikes K 1 et K 2 pour que le risk-reversal soit vega-neutre. Interpréter cette condition en termes du delta du call et du put. Exercice 5 (Le strangle). Le strangle est un achat simultané d un put de strike K 1 et d un call de strike K 2 > K 1, les deux options ayant la même échéance. 1. Tracer le pay-off d un strangle à l échéance en fonction de la valeur S T. 1

2. Tracer le prix, le delta et le vega d un strangle à la date t = 0, en fonction de la valeur S 0, en justifiant brièvement la forme des différentes courbes. 3. Donner la valeur de S 0 pour laquelle le strangle est delta-neutre à la date t = 0. 4. A la date t = 0, on achète un strangle en utilisant un call et un put qui ont 3 mois jusqu à l échéance, alors que la volatilité implicite de toutes les options vaut σ 0 = 20%. Dans un mois, le strangle est revendu. En négligeant l effet de taux d intérêt, déterminer si cette opération, sera gagnante ou perdante dans les deux cas suivants: (a) Dans un mois, la valeur du sous-jacent et la volatilité implicite restent inchangées. (b) Dans un mois, la valeur du sous-jacent reste inchangée mais la volatilité implicite monte à σ 1 = 30%. Justifiez votre réponse par un calcul des sensibilités. Exercice 6 (Robustesse du modèle Black-Scholes). Une option asiatique est une option dont le pay-off à l instant T est H T = ( + 1 T S u du K). T 0 Le but de cette partie est de donner une borne supérieure pour le prix d une option asiatique, ainsi qu une stratégie de surcouverture, en utilisant le résultat de robustesse du modèle de Black-Scholes rappelé dans la première partie. 1. Soit [ 1 t) X t = E e r(t T T 0 ] S u du F t. En utilisant la forme explicite de S u, calculer l espérance conditionnelle ci-dessus. 2. Montrer que l option asiatique peut être vu comme une option européenne sur l actif X. 3. Calculer la dynamique de X t et montrer qu elle a la forme dx t X t = rdt + σ t dw t avec la volatilité σ t à préciser. 4. Montrer que cette volatilité σ t admet une borne supérieure déterministe σ max. 2

5. En utilisant la première partie, en déduire une borne supérieure sur le prix de l option asiatique. 6. Décrire la stratégie de surcouverture correspondante. 7. En conclusion, montrer que le prix de l option asiatique est majoré par le prix de l option européenne de même strike. Dans les trois exercices suivants on se place dans le modèle de Black-Scholes, où le sous-jacent S t est solution de ds t = σs t dw t + bs t dt. Les paramètres b et σ ainsi que le taux d intérêt r sont constants. On note par E l espérance sous la probabilité risque-neutre. Exercice 7 (Options puissance). On considère une option de pay-off h(s T ) = ST n dans le modèle de Black-Scholes. Calculer le prix de cette option en utilisant la règle d évaluation risque-neutre. Exercice 8 (Option forward start). On considère une option Call d échéance T 2 dont le strike est fixé à une date future T 1 < T 2 à un certaine proportion m de la valeur du sous-jacent à cette date. Calculer le prix de cette option dans le modèle de Black-Scholes à la date t < T 1, en utilisant la règle d évaluation risque-neutre. Exercice 9 (Option à choix). Une option à choix sur un titre est un produit dérivé qui donne le droit au détenteur de choisir à une date τ s il veut un call ou un put de maturité T > τ, et de strike K. On notera C t et P t les prix du call et du put à la date t. 1. Quel est le pay-off de l option à choix? 2. Vérifier que le prix d arbitrage à la date t = 0 de cette option à choix est 3. Montrer que ce prix s écrit encore: Π 0 = C 0 + E Q [e rt (K S T )1 Cτ <P τ ]. Π 0 = C 0 +E Q [e rτ (Ke r(t τ) S τ ) + ] = P 0 +E Q [e rτ (S τ Ke r(t τ) ) + ]. Exercice 10 (Power straddle dans le modèle de Black-Scholes). Dans cette exercice on considère un power straddle, une option dont le pay-off à l instant T est égal à H T = (S T K) 2. 1. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix du power straddle dans le modèle Black-Scholes à une date t < T. 3

2. Calculer le delta du power straddle et donner la stratégie de couverture dynamique pour cette option. Quelle doit être la valeur de S t pour que le power straddle soit delta neutre? 3. Calculer le gamma et le vega du power straddle à la date t. Representer ces quantités sur un graphique (en fonction de S t ). Quels sont les avantages du power straddle en tant qu instrument de couverture du risque de volatilité? 4. Supposons que la volatilité n est pas connue, mais on sait qu elle se trouve dans l intervalle [σ 1, σ 2 ]. Donner les bornes sur le prix du power straddle en utilisant le résultat de robustesse de la formule de Black-Scholes. Exercice 11 (Options puissance). Dans cet exercice on considère une option puissance de type A, de pay-off H A T = (S 2 T K 2 ) + et une option puissance de type B de pay-off H B T = ((S T K) + ) 2, dans le cadre du modèle de Black-Scholes. 1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie S 2 T à l instant T. Montrer que F 1 t suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 2. Montrer que l option puissance de type A peut être vue comme une option call standard sur l actif F 1. En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer le prix à l instant t de l option puissance de type A. 3. Calculer le delta (en utilisant la formule de dérivation d une fonction composée) et décrire la stratégie de couverture dynamique pour cette option. 4. Montrer que le pay-off de l option puissance de type B peut être exprimé en termes du pay-off de l option de type A et du pay-off de l option call de strike K. 5. En déduire le prix de l option de type B à l instant t < T. 6. Calculer le delta de l option puissance de type B. 7. En déduire le gamma de l option puissance de type B et montrer qu il est borné par une constante indépendante de t et S t. Quelles sont les implications pour la couverture de cette propriété? Exercice 12 (Leveraged ETF). * On considère le modèle de Black-Scholes standard avec un actif sous-jacent risqué (indice de marché) de dynamique ds t S t = µdt + σdw t, 4

où W est un mouvement brownien, et un actif sans risque S 0, capitalisé avec le taux sans risque r. On suppose que µ > r. Un Leveraged ETF est un fonds géré en utilisant la stratégie dynamique suivante: à chaque instant t, Une proportion m de la valeur du fonds est investie dans l actif risqué S; Un proportion 1 m de la valeur est investie dans l actif sans risque. Ici, m est une constante, qui peut être supérieure à 1. Cette dernière situation correspond à emprunter pour investir plus dans l actif risqué: on appelle cela levier ou leverage. La valeur du leveraged ETF à l instant t sera notée par V t ; on pose V 0 = v (investissement initial). 1. Ecrire l équation différentielle stochastique vérifiée par V. Quelle est la volatilité de V? 2. Calculer la valeur V t en resolvant explicitement l EDS. 3. Calculer l espérance de V T. Au vu de votre résultat, quelle est la valeur de m à prendre pour maximiser la performance de la stratégie. 4. La médiane d une variable aléatoire Z est la valeur z 0 telle que P[Z z 0 ] = P[Z > z 0 ] = 1 2, c est-à-dire, Z est inférieur ou égal à z 0 dans 50% des cas. Calculer la médiane de W t. 5. Calculer la médiane de V T. Si le but de l investisseur est de maximiser la performance du fonds dans 50% des cas, quelle valeur de m doit-il prendre? 6. Calculer le prix d une option call de pay-off (V T K) +. 7. Imaginez que vous êtes conseiller en investissement, et un client vous demande un produit avec les caractéristiques suivantes: Il souhaite investir un montant initial x, avec un horizon d investissement T. Le capital en T, noté par X T doit dans tous les cas être supérieur ou égal à B > 0. L espérance du rendement E [ X T ] x x doit être égale à α > B x x. (a) Est-il toujours possible de satisfaire les souhaits de l investisseur? Donner la relation entre x et B pour qu un tel produit puisse exister. (b) Dans le cas où un tel investissement est possible, proposer une stratégie utilisant un actif sans risque et un leveraged ETF, avec le multiplicateur m à préciser. 5

Chapitre 3 Exercice 13. Soit W un mouvement brownien sur R. On considère un marché avec un actif sans risque (de taux d intérêt constant r) et deux actifs risqués S 1 et S 2 de dynamique ds 1 t = S 1 (b 1 dt + σdw t ), ds 1 t = S 1 (b 2 dt + σdw t ), avec b 1 b 2, c est-à-dire, les deux actifs ont la même volatilité et sont dirigés par le même mouvement brownien, mais leurs rendements moyens sont différents. Montrer qu on peut construire un portefeuille d arbitrage dans ce marché. Quelle est la condition nécessaire pour construire un arbitrage si les deux actifs ont des volatilités différentes (mais sont toujours dirigés par le même brownien)? Exercice 14. On considère un marché financier avec un actif sans risque de taux d intérêt r, un actif risqué S 1 suivant le modèle de Black-Scholes ds t = σs t dw t + bs t dt, et un actif risqué S 2 (par exemple, une option) dont le prix à toute date est donnée par une fonction déterministe regulière du temps et de la valeur de S 1 : S 2 t = v(t, S 1 t ). 1. En appliquant la formule d Itô, calculer la volatilité et le taux de rendement de S 2. 2. En utilisant la caractérisation de non-arbitrage via l existence d une prime de risque, montrer directement que v(t, S) vérifie l EDP de Black-Scholes. Exercice 15 (Option sur panier). On se place dans le modèle Black-Scholes standard en dimension 2. Les prix des actifs risqués sont notés S 1 et S 2, leurs volatilités sont σ 1 et σ 2 et il y a une corrélation ρ entre les rendements. Le taux d intérêt est égal à r. 1. Ecrire la dynamique des actifs S 1 et S 2 sous la probabilité risque-neutre, en faisant apparaître deux mouvements browniens indépendants W 1 et W 2. On considère une option de pay-off à l instant T donné par H T = (αs 1 T + (1 α)s 2 T K) +, avec α (0, 1). Soit P (t, S 1 t, S 2 t ) le prix de cette option à l instant t. Soient également P 1 (t, S 1 t ) le prix de l option de pay-off H 1 T = (S1 T K)+ et P 2 (t, S 2 t ) le prix de l option de pay-off H 2 T = (S2 T K)+. 2. Donner la formule pour la fonction P (t, S 1 t, S 2 t ) faisant intervenir une espérance sous la probabilité risque-neutre. 3. En appliquant la formule d Itô, déterminer l EDP vérifiée par la fonction P (t, x, y). Ne pas oublier la condition terminale. 6

4. Montrer que P (t, S 1 t, S 2 t ) αp 1 (t, S 1 t ) + (1 α)p 2 (t, S 2 t ). 5. Montrer que P (t, S 1 t, S 2 t ) E Q [e r(t t) (e α log S1 T +(1 α) log S2 T K) + ]. 6. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie e α log S1 T +(1 α) log S2 T à l instant T. Montrer que cet actif suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 7. En utilisant la formule de Black-Scholes, déduire de la question précédente une borne inférieure explicite pour le prix de l option sur panier. Exercice 16 (Options asiatiques). 1. Soit K une constante. Montrer que le processus est une martingale. M t = E[( 1 T T 2. Montrer que, si l on pose ζ t = St 1 (K 1 T M t = S t E[( 1 T T t 3. Soit φ(t, x) = E[( 1 T x) + F t ] et que M t = S t φ(t, ζ t ). 0 T t S u du K) + F t ] t 0 S udu), on a S u S t du ζ t ) + F t ]. S u St du x) + ]. Montrer que φ(t, x) = E[( 1 T S u T t St du 4. Ecrire la formule d Itô pour M. En déduire une équation aux dérivées partielles vérifiée par φ. Exercice 17 (Options de change). On considère une économie avec deux marchés, le marché domestique, où les prix sont exprimés en monnaire domestique, et le marché étranger avec les prix en monnaie étrangère. Le taux de change entre les deux marchés X t est défini comme le prix à l instant t d une unité de monnaie étrangère dans le marché domestique. Les taux d intérêt dans les deux marchés seront notés r f et r, et sont supposés constants. La dynamique du taux de change (sous la probabilité historique) est donnée par dx t X t = b X dt + σ X dw X t, où W X est un mouvement Brownien standard. On considère des options écrites sur une action S cotée dans le marché étranger, qui ne paie pas de dividendes et suit la dynamique ds t S t = bdt + σ(ρdw X t + 1 ρ 2 dw t ), où W est un mouvement Brownien standard indépendant de W X. 7

1. Calculer le prix sur le marché domestique à l instant t = 0 d une option call de strike K en monnaie étrangère. 2. Option sur un actif étranger avec strike en monnaie domestique. Dans cette question on considère une option de pay-off H T = (S T X T K) + en monnaie domestique, où K est le strike en monnaie domestique. a. Montrer que le processus S t X t est un mouvement Brownien géométrique, calculer son drift et sa volatilité. b. Justifier par des arguments financiers que S t X t est le prix d un portefeuille autofinançant dans le marché domestique. c. Exprimer le prix de cette option avec la formule de Black-Scholes. Exercice 18 (Formule de Garman-Kolhagen avec taux stochastiques). On cherche à généraliser la formule de Garman-Kolhagen au cas où les taux doméstiques et étrangers sont stochastiques. On se donne la dynamique des zéro-coupons (un zéro-coupon est une obligation qui verse le pay-off de 1 à la date T, en monnaie doméstique ou étrangère selon les cas): db t (T ) B t (T ) = bb dt + σ B dw t db f t (T ) B f t (T ) = f bb dt + σ Bf dw t, et la dynamique de taux de change dx t X t = b X dt + σ X dw t où W est un mouvement Brownien en dimension 3. Calculer le prix à l instant t d une option qui verse le pay-off (X T K) + à la date T. Donner la stratégie de couverture associée. Exercice 19 (Le numéraire de marché). On considère le marché Black-Scholes avec d actifs risqués tel qu il a été introduit en cours. Soit un actif M de dynamique dm t = r(t)dt + λ(t) (λ(t)dt + dw t ), M 0 = 1. M t 1. Montrer que les prix de tous les actifs exprimés en utilisant M comme numéraire sont des martingales sous la probabilité historique. Ce numéraire s appelle le numéraire de marché. 2. Donner une règle de pricing sous la probabilité historique utilisant le numéraire de marché. 8

3. Donner une stratégie de portefeuille qui permet de repliquer le numéraire de marché avec les actifs disponibles. 4. Montrer la formule de arbitrage pricing théory, l excès de rendement d un actif Z est donné par l excès de rendement du numéraire de marché, multiplié par le beta de l actif: b z (t) r(t) = β Z (b M (t) r(t)), β Z = Cov t( dmt M t, dzt Cov t ( dmt M t Z t ), dmt M t ) Remarque: on peut demontrer (mais les techniques de la preuve sortent du cadre de cet exercice) que le numéraire de marché correspond à un multiple du portefeuille de l ensemble des agents du marché, sous l hypothèse que chaque agent detient un portefeuille efficient, c est-à-dire, optimal au sens de l optimisation moyenne-variance de Markowitz. Exercice 20 (Option one-touch ). Soit S un actif sous-jacent de dynamique ds t S t = bdt + σdw t. Le taux d intérêt est supposé nul dans tout l exercice. On considère une option à barrière digitale de pay-off à la date T donné par H T = 1 τb T, avec τ B := inf{t 0 : S t B}. 1. Montrer que l inégalité suivante est valable pour tout K < B: 1 τb T (S T K) + B K + S τ B S T B K 1 τ B T. 2. En déduire une stratégie de surreplication pour l option one-touch, utilisant une position statique en un call Européen de strike K et un contrat forward. 3. Montrer que le prix Π 0 [H T ] admet la borne supérieure C 0 (K, T ) Π 0 [H T ] inf K<B B K, où C 0 (K, T ) est le prix à la date 0 d un call européen de strike K et d échéance T. 4. Justifier que ce résultat est valable sans supposer que le sous-jacent suit la dynamique Black-Scholes. Exercice 21 (Replication d une option reverse). Soit S un actif sous-jacent de dynamique ds t S t = bdt + σdw t. 9

On considère une option à barrière UIC reverse avec K < B. Dans la terminologie du cours cette option est reverse car il a un pay-off non nul au-délà de la barrière. Le taux d intérêt est supposé nul dans cet exercice, ce qui fait que le paramètre γ du cours est égal à 1. 1. Par une decomposition de la fonction pay-off, montrer que cette option peut être representée comme la somme d une option européenne de payoff (S T K)1 ST B et d une option UI regular. 2. Montrer que la partie européenne peut être repliqué par un call et une option digitale. 3. En utilisant les résultats du cours, donner la stratégie de replication pour l option UI regular. 4. Montrer que l option européenne qui apparaît dans la stratégie de replication peut être synthétisée avec 2 puts et une option digitale. Exercice 22 (Power straddle et swap de variance pondéré). Dans cet exercice on se place dans le cadre d un modèle général de la forme où σ est un processus aléatoire. l instant T est donné par ds t S t = rdt + σ t dw t, V P T = On s intéresse au produit dont le pay-off à T 0 S 2 t σ 2 t dt, c est-à-dire, la variance intégrée, pondérée par la valeur du sous-jacent au carré. Dans tout l exercice, le taux d intérêt est supposé nul. 1. Expliquer comment le pay-off d un power straddle peut être répliqué par les pay-offs des calls et des puts. En déduire le prix du power straddle à l instant t = 0, en fonction des prix des options européennes à cette date. Les prix des options européennes seront notés par C t (T, K) et P t (T, K). 2. Appliquer la formule d Itô au pay-off du power straddle. En déduire que le pay-off V P T peut être répliqué par un power straddle et un portefeuille dynamique contenant l actif sous-jacent et le cash. 3. Calculer le prix à l instant t = 0, d un produit qui paie V P T à la date T, en fonction des prix des options européennes. Chapitre 4 Exercice 23. En utilisant l equation (4.17) du poly, calculer la limite en temps court de la volatilité implicite dans le modèle CEV (4.3). Montrer que cette limite est différente du premier terme dans le développement de Hagan et Woodward (4.4), mais que les deux formules s accordent à l ordre 2 en F 0 K. 10

Exercice 24. Montrer que la paramétrisation de Gatheral et Jacquier (4.19) vérifie les contraintes de non-arbitrage sous les conditions données en bas de la page 69 du poly. du poly. Travail pratique sur ordinateur: simulation de la couverture en delta Le but de ce TP est d étudier la performance de la couverture en delta dans le modèle de Black et Scholes, dans le cas où le portefeuille n est reajusté qu un nombre fini de fois pendant la durée de vie de l option. Le P&L (profit and loss) d une stratégie de couverture est mesuré comme la différence entre le prix de l option C BS (T, S T ) à la date finale (égal au pay-off de l option) et la valeur terminale du portefeuille de couverture X T. Pour simuler l évolution du portefeuille de couverture en delta sur une grille de temps t i = it/n, i = 0,..., N, on utilisera l algorithme suivant: Simuler le prix du sous-jacent aux dates t i, i = 0,..., N, à partir de l équation σ2 (µ S t = S 0 e 2 )t+σwt. Poser le ratio initial de couverture égal à δ 0 = C BS S (0, S 0) et la valeur initial du portefeuille égale à X 0 = C BS (0, S 0 ) (on suppose que tous les revenus provenant de la vente de l option sont affectés au portefeuille de couverture). Pour toute date t i, i = 1,..., N, calculer le nouveau ratio de couverture (t i, S ti ) et ajuster la valeur du portefeuille δ ti = C BS S X ti = X ti 1 + (X ti 1 δ ti 1 S ti 1 )(e r(ti ti 1) 1) + δ ti 1 (S ti S ti 1 ). Exercice 25. Simuler une trajectoire du prix de l action et l évolution du prix de l option call et du portefeuille de couverture correspondant dans le modèle Black-Scholes. Utiliser la même valeur de volatilité pour la valorisation de l option et la simulation du prix de l action. Tracer le prix de l option et l évolution du portefeuille de couverture sur le même graphique. Exercice 26. Simuler plusieurs (par exemple 10000) trajectoires et tracer La moyenne et la variance du P&L en fonction du temps. L histogramme du P&L à la date finale. Exercice 27. Calculer la moyenne et la variance du P&L final pour le nombre de dates de rebalancement égal à 1024, 512, 256 etc. Etudier la dépendance de la moyenne et de la variance en fonction du nombre d interventions. Que constatez-vous? 11

Exercice 28. Tracer l histogramme du P&L final dans le cas où La volatilité utilisée pour le pricing et le calcul du delta est supérieure à celle utilisée pour simuler le cours de l action. La volatilité utilisée pour le pricing et le calcul du delta est inférieure à celle utilisée pour simuler le cours de l action. Que constatez-vous? Indications informatiques Vous pouvez faire ce TP en C++, Scilab ou un autre langage de programmation de votre choix. Les variables aléatoires gaussiennes peuvent facilement être générés avec la méthode de Box-Muller: si X 1 et X 2 sont deux variables uniformes sur (0, 1) indépendantes alors Y 1 = 2 log X 1 cos 2πX 2 Y 2 = 2 log X 1 sin 2πX 2 sont deux variables N(0, 1) indépendantes. Le code pour calculer la fonction de repartition de la loi normale est disponible à l adresse http://www.math.jussieu.fr/~tankov/isifar/numerics.cpp Pour tracer des graphiques vous pouvez utiliser Scilab, Gnuplot, Excel, ou une autre application graphique de votre choix. 12

Variante 1 Exercice 1 (Le risk reversal). On se place dans le cadre du modèle Black- Scholes standard avec volatilité σ et taux d intérêt r. Un risk reversal est un contrat qui consiste à vendre un put de strike K 1 et à acheter un call de strike K 2 > K 1. 1. Tracer le pay-off du risk-reversal en fonction de la valeur du sous-jacent à l échéance S T. 2. Tracer le delta, le gamma et le vega du risk-reversal à l instant T = 0 en fonction de la valeur du sous-jacent S 0, en justifiant brièvement la forme des courbes. 3. Pour une valeur fixée de S 0, donner une condition sur les strikes K 1 et K 2 pour que le risk-reversal soit vega-neutre. Interpréter cette condition en termes du delta du call et du put. Exercice 2 (Options sur panier et robustesse de la formule de Black-Scholes). On se place dans le modèle Black-Scholes standard en dimension 2. Les prix des actifs risqués sont notés S 1 et S 2, leurs volatilités sont σ 1 et σ 2 et il y a une corrélation ρ entre les rendements. Le taux d intérêt est égal à r. Le prix à l instant t d un panier contenant S 1 et S 2 avec poids α et 1 α pour un α (0, 1) sera noté par X t = αs 1 t + (1 α)s 2 t. Soit P (t, S 1 t, S 2 t ) le prix à l instant t d une option qui paie H T = (X T K) + à l instant T. Le prix Black-Scholes à l instant t d une option call sur un actif S avec volatilité σ, date d expiration T et strike K sera noté par C BS (t, S t, T, K, σ). et le ratio de couverture correspondant sera noté par BS (t, S t, T, K, σ). 1. Ecrire la dynamique des actifs S 1 et S 2 sous la probabilité risque-neutre, en faisant apparaître deux mouvements browniens indépendants W 1 et W 2. 2. Ecrire la dynamique du panier sous la probabilité risque-neutre. Quelle est la volatilité du panier? Supposons que le trader utilise la stratégie suivante pour la couverture approchée de l option sur panier. Vendre l option à l instant t = 0 pour le prix Black-Scholes avec volatilité σ: C BS (0, X 0, T, K, σ). A tout instant t, detenir dans le portefeuille le nombre d unités du panier X t donné par le delta Black-Scholes calculé avec volatilité σ: BS (t, X t, T, K, σ). 13

La valeur du portefeuille du trader sera notée par V t 3. Ecrire la dynamique du portefeuille du trader. 4. Calculer, en utilisant la formule d Itô, la différence C BS (T, X T, T, K, σ) C BS (0, X 0, T, K, σ). 5. En déduire l expression pour l erreur de couverture, c est-à-dire, la différence entre le portefeuille du trader et H T, notée par E T = V T H T. 6. En utilisant l EDP de Black-Scholes, exprimer cette erreur en termes de la différece entre la volatilité σ utilisée par le trader et la volatilité du panier. 7. Calculer la valeur minimale de la volatilité σ telle que l erreur de couverture E T est positive p.s. En déduire une stratégie de sur-couverture pour l option sur panier et une borne supérieure sur son prix. 8. Calculer la valeur maximale de la volatilité σ telle que l erreur de couverture E T est negative p.s. En déduire une stratégie de sous-couverture pour l option sur panier et une borne inférieure sur son prix. 14

Variante 2 Exercice 1 (Dividendes discrets). On considère une action dont le prix sera noté par S, et qui verse un dividende connu D à la date t < T. Les prix à l instant 0 des options call et put sur S d echéance T et de strike K seront notés C(T, K) et P (T, K). Le taux d intérêt est supposé constant et égal à r. 1. Calculer le prix forward d échéance T à l instant 0 de l action. 2. Donner la relation de parité call-put pour C(T, K) et P (T, K) tenant compte du versement du dividende. 3. En déduire les bornes inférieures pour C(T, K) et P (T, K). Donner également les bornes supérieures pour les prix de ces options. Exercice 2 (Option sur panier). On se place dans le modèle Black-Scholes standard en dimension 2. Les prix des actifs risqués sont notés S 1 et S 2, leurs volatilités sont σ 1 et σ 2 et il y a une corrélation ρ entre les rendements. Le taux d intérêt est égal à r. 1. Ecrire la dynamique des actifs S 1 et S 2 sous la probabilité risque-neutre, faisant apparaître deux mouvements browniens indépendants W 1 et W 2. On considère une option de pay-off à l instant T donné par H T = (αs 1 T + (1 α)s 2 T K) +, avec α (0, 1). Soit P (t, S 1 t, S 2 t ) le prix de cette option à l instant t. Soient également P 1 (t, S 1 t ) le prix de l option de pay-off H 1 T = (S1 T K)+ et P 2 (t, S 2 t ) le prix de l option de pay-off H 2 T = (S2 T K)+. 2. Donner la formule pour la fonction P (t, S 1 t, S 2 t ) faisant intervenir une espérance sous la probabilité risque-neutre. 3. Montrer que P (t, S 1 t, S 2 t ) αp 1 (t, S 1 t ) + (1 α)p 2 (t, S 2 t ). 4. Montrer que P (t, S 1 t, S 2 t ) E Q [e r(t t) (e α log S1 T +(1 α) log S2 T K) + ]. 5. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie e α log S1 T +(1 α) log S2 T à l instant T. Montrer que cet actif suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 6. En utilisant la formule de Black-Scholes, déduire de la question précédente une borne inférieure explicite pour le prix de l option sur panier. 15

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Variante 3 Exercice 1 (Power straddle dans le modèle de Black-Scholes). Dans cet exercice on considère un power straddle, une option dont le pay-off à l instant T est égal à H T = (S T K) 2. 1. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix du power straddle dans le modèle Black-Scholes à une date t < T. 2. Calculer le delta du power straddle et donner la stratégie de couverture dynamique pour cette option. Quelle doit être la valeur de S t pour que le power straddle soit delta neutre? 3. Calculer le gamma et le vega du power straddle à la date t. Representer ces quantités sur un graphique (en fonction de S t ). 4. Supposons que la volatilité n est pas connue, mais on sait qu elle se trouve dans l intervalle [σ 1, σ 2 ]. Donner les bornes sur le prix du power straddle en utilisant le résultat de robustesse de la formule de Black-Scholes. Exercice 2. Option de surperformance On considère une économie avec deux marchés, le marché domestique, où les prix sont exprimés en monnaie domestique, et le marché étranger avec les prix en monnaie étrangère. Le taux de change entre les deux marchés X t est défini comme le prix à l instant t d une unité de monnaie étrangère dans le marché domestique. On considère une option de pay-off à l instant T donné par H T = ( S (1) T S (1) 0 X S(2) T S (2) 0 ) +, où S (1) est un titre domestique, par exemple, Eurostoxx50, et S (2) est un titre étranger, par exemple, FTSE100. L option paie donc la différence entre la performace de l actif domestique et celle de l actif étranger, multiplée par un taux de change fixe X. Les taux d intérêt domestique et étranger seront notés par r et r e respectivement, et sont supposés constants. La dynamique des titres sous la probabilité historique s écrit: ds (1) t S (1) t ds (2) t S (2) t = b (1) dt + γ (1) dw t = b (2) dt + γ (2) dw t, où γ (1) et γ (2) appartiennent à R 3 et W est un mouvement brownien standard en dimension 3. La dynamique du taux de change X est avec γ X R 3. dx t X t = b X dt + γ X dw t, 17

1. Calculer les prix F (1) t et F (2) t X S(2) T S (2) 0 des portefeuilles de replication des flux S(1) T et S (1) 0. Montrer que ces actifs sont log-normaux, calculer leurs volatilités. 2. En utilisant la formule de Black-Scholes généralisée, calculer le prix à l instant t de l option de surperformance. 3. Donner la stratégie de couverture pour cette option. 18

Variante 4 Exercice 1 (Options puissance). Dans cet exercice on considère une option puissance, de pay-off H T = (S 2 T K 2 ) + dans le cadre du modèle de Black-Scholes. 1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie ST 2 à l instant T. Montrer que F t suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 2. Montrer que l option puissance peut être vue comme une option call standard sur l actif F. En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer le prix à l instant t de l option puissance. 3. Calculer le delta à l instant t (en utilisant la formule de dérivation d une fonction composée) et décrire la stratégie de couverture dynamique pour cette option. 4. Calculer le gamma et le vega de l option puissance à l instant t et représenter ces quantités sur un graphique. Exercice 2 (Option à barrière digitale). On se place dans le cadre du modèle de Black-Scholes standard. Une option digitale de type call est une option de pay-off à l instant T donné par 1 ST K, et une option digitale de type Put a un pay-off 1 ST K. 1. Calculez les prix des options digitales de type Call et Put à une date t < T en utilisant le principe de valorisation risque-neutre. On considère une option à barrière digitale de pay-off à l instant T donné par H T = 1 ST K1 max0 t T S t B. 2. En utilisant la technique de replication des options à barrière regulières, donner la stratégie de replication semi-statique pour l option à barrière digitale utilisant une option digitale et une option européenne dont le pay-off est a préciser. 3. Exprimer le prix de cette stratégie de couverture à l instant t = 0 en termes du prix d une option digitale. 4. En supposant que le taux d intérêt est nul, representer la stratégie de couverture au moyen d une option digitale et une option européenne de type call/put. 19

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Variante 5 Exercice 1 (Le vega-weighted butterfly). On se place dans le cadre du modèle Black-Scholes standard avec volatilité σ et taux d intérêt r. On considère un contrat qui consiste à acheter x puts de strike K 1, x calls de strike K 3 et de vendre 1 2 x calls et 1 2 x puts de strike K 2, avec K 1 < K 2 < K 3, où x (0, 1) est un paramètre. 1. Tracer le pay-off de ce contrat en fonction de la valeur du sous-jacent à l échéance S T pour x = 0, x = 1 4 et x = 1 2. Quels contrats reconnaissezvous? 2. Tracer le delta, le gamma et le vega du contrat à l instant T = 0 en fonction de la valeur du sous-jacent S 0 pour x = 1 4, en justifiant brièvement la forme des courbes. 3. Pour une valeur fixée de S 0, donner la condition sur x pour que le contrat soit vega-neutre. Il s appelle alors vega-weighted butterfly. Exercice 2 (Gamma swap). Dans cet exercice on se place dans le cadre d un modèle général de la forme ds t S t = rdt + σ t dw t, où σ est un processus aléatoire. On s intéresse au gamma swap dont le pay-off à l instant T est donné par V P T = T 0 S t S 0 σ 2 t dt, c est-à-dire, la variance intégrée, pondérée par la valeur normalisée du sousjacent. Dans tout l exercice, le taux d intérêt est supposé nul. 1. Soit f(x) = x S 0 log x S 0 x S 0 + 1. Expliquer comment le pay-off f(s T ) peut être répliqué par les pay-offs de calls et de puts. En déduire le prix à l instant t = 0 d une option qui paie f(s T ) en T, en fonction des prix des options européennes en t = 0. Les prix des options européennes seront notés par C t (T, K) et P t (T, K). 2. Appliquer la formule d Itô à f(s T ). En déduire que le pay-off V P T peut être répliqué par une option de pay-off f(s T ) et un portefeuille dynamique contenant l actif sous-jacent et le cash. 3. Calculer le prix à l instant t = 0, d un produit qui paie V P T à la date T, en fonction des prix des options européennes. 21

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Variante 6 Exercice 1 (Stratégie du coussin). La stratégie du coussin est une stratégie de gestion de portefeuille dont l objectif est de profiter du rendement d un actif risqué tout en assurant à l investisseur un montant garanti N à l échéance T. Pour cela, le gestionnaire investit une fraction de la richesse dans l actif risqué dont le prix est noté par S t et le reste dans une obligation zéro-coupon d échéance T et de nominal N, dont le prix est noté par B t. La valeur du portefeuille est notée par V t et la stratégie consiste à investir le montant mc t dans l actif risqué où C t = V t B t s appelle le coussin, et m > 1 est un multiplicateur constant. 1. Calculer le prix B t de l actif sans risque à l instant t < T si le taux d intérêt est constant et égal à r. 2. Ecrire la dynamique du portefeuille V t sachant que le prix de l actif risqué suit le modèle de Black-Scholes ds t S t = bdt + σdw t. En déduire la dynamique du coussin C t. 3. Montrer que la dynamique du coussin est également la dynamique Black- Scholes. Quelle est la volatilité du coussin? En déduire la valeur du coussin à l échéance C T et la valeur du portefeuille à l échéance V T. 4. Calculer l espérance et la variace de la valeur du portefeuille. Que peut-on en déduire concernant le choix du multiplicateur m? Exercice 2 (Power straddle et swap de variance pondéré). Dans cet exercice on se place dans le cadre d un modèle général de la forme où σ est un processus aléatoire. l instant T est donné par ds t S t = rdt + σ t dw t, V P T = On s intéresse au produit dont le pay-off à T 0 S 2 t σ 2 t dt, c est-à-dire, la variance intégrée, pondérée par la valeur du sous-jacent au carré. On considère également un power straddle, une option dont le pay-off à l instant T est égal à H T = (S T K) 2. Dans tout l exercice, le taux d intérêt est supposé nul. 1. Expliquer comment le pay-off d un power straddle peut être répliqué par les pay-offs des calls et des puts. En déduire le prix du power straddle à l instant t = 0, en fonction des prix des options européennes à cette date. Les prix des options européennes seront notés par C t (T, K) et P t (T, K). 23

2. Appliquer la formule d Itô au pay-off du power straddle. En déduire que le pay-off V P T peut être répliqué par un power straddle et un portefeuille dynamique contenant l actif sous-jacent et le cash. 3. Calculer le prix à l instant t = 0, d un produit qui paie V P T à la date T, en fonction des prix des options européennes. 24

Variante 7 Exercice 1 (Options puissance). Dans cet exercice on considère une option puissance, de pay-off H T = [(S T K) + ] 2 dans le cadre du modèle de Black-Scholes. 1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie ST 2 à l instant T. Montrer que F t suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 2. Montrer que l option puissance peut être representée comme la différence d une option call standard sur F T et de 2K options calls standard sur S T. En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer le prix à l instant t de l option puissance. 3. Calculer le delta à l instant t et décrire la stratégie de couverture dynamique pour cette option. 4. Calculer le gamma et le vega de l option puissance à l instant t et représenter ces quantités sur un graphique. Exercice 2 (Options de change). On considère une économie avec deux marchés, le marché domestique, où les prix sont exprimés en monnaie domestique, et le marché étranger avec les prix en monnaie étrangère. Le taux de change entre les deux marchés X t est défini comme le prix à l instant t d une unité de monnaie étrangère dans le marché domestique. Les taux d intérêt dans les deux marchés seront notés r f et r, et sont supposés constants. La dynamique du taux de change (sous la probabilité historique) est donnée par dx t X t = b X dt + σ X dw X t, où W X est un mouvement Brownien standard. On considère des options écrites sur une action S cotée dans le marché étranger, qui ne paie pas de dividendes et suit la dynamique ds t S t = bdt + σ(ρdw X t + 1 ρ 2 dw t ), où W est un mouvement Brownien standard indépendant de W X. 1. Calculer le prix sur le marché domestique à l instant t = 0 d une option call de strike K en monnaie étrangère. 2. Option sur un actif étranger avec strike en monnaie domestique. Dans cette question on considère une option de pay-off H T = (S T X T K) + en monnaie domestique, où K est le strike en monnaie domestique. 25

a. Calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie S T X T en monnaie domestique à l instant t. Monter que F t suit le modèle Black-Scholes, calculer sa volatilité. b. Exprimer le prix de cette option avec la formule de Black-Scholes généralisée. c. Donner la stratégie de couverture pour cette option. 26