Evaluation d actifs financier et Arbitrage

TD M1 Evaluation d actifs financier et Arbitrage Université Paris-Dauphine 1

Arbitrage Exercice 1 : Payoffs et stratégies Donner et tracer les payoffs à maturité des stratégies suivantes. Interprétez l utilisation de chaque stratégie : 1. Straddle: Achat d un Call et d un Put de même Strike K et de même échéance T..???: Vente d une action et achat de deux Calls de prix d exercice K. Quel nom lui donneriez vous? 3. Strangle: Achat d un Call et d un Put de même échéance et de strike différent. 4. Strip: Achat d un Call et de deux Puts de même échéance et de même strike K. 5. Strap: Achat de deux Calls et d un Put de même échéance et de même strike K. 6. Bull Spread: Achat d un Call de strike K 1 et vente d un Call de strike K > K 1 de même échéance. 7. Bear Spread: Achat d un Put de strike K 1 et vente d un Put de strike K > K 1 de même échéance. 8. Butterfly: Achat de deux Calls de strikes K + δk et K δk et vente de deux Calls de strike K. 9. Condor: Achat de deux Calls de strikes K 1 et K 4 > K 1, vente de deux Calls de strikes K = K 1 + δk et K 3 = K 4 δk avec K 1 < K < K 3 < K 4.

Exercice : Prix de call et de put On suppose qu il y a absence d opportunité d arbitrage sur le marché (AOA). On note B le prix en de l actif sans risque rapportant 1 à la date T. On note de même C et P les prix en d un call et d un put sur le sous jacent S de maturité T et de strike K. 1. Montrer par un raisonnement d arbitrage que: (S K B ) + C S. En déduire: (K B S ) + P K B 3. Montrer que le prix du call est décroissant par rapport au strike mais croissant par rapport à la maturité. 4. Qu en est-t-il du prix du put? Exercice 3 : Option Américaine 1. Montrer qu une option Américaine est plus chère qu une option Européenne.. Soit t [, T [ et S t le prix de l actif S à cet instant. On suppose que P (S T < K) > et P (S T > K) >. Soit B t le prix de l actif sans risque rapportant 1 à la date de maturité. Soit Ct e le prix d un call Européen acheté en t de prix d exercice K et de maturité T. Montrer que Ct e > max(, S t KB t ). 3. Montrer qu à tout instant, il vaut mieux vendre un call américain à son prix de marché que de l exercer. 4. En déduire qu un call Américain a la même valeur qu un call Européen. 3

Exercice 4 : Contrat forward sur devise On étudie sur l intervalle de temps [, T ] le marché de devises entre l euro et le dollar américain. Ce marché peut être schématisé de la manière suivante: 1. Dans l économie européenne, il existe un actif sans risque domestique de taux d intérêt continu r d. Son prix est normalisé en T et vaut donc Bt d = e r d(t t) e pour tout t [, T ].. Dans l économie américaine, il existe aussi un actif sans risque, de taux d intérêt continu r f. Son prix, exprimé en dollars, est normalisé en T et vaut donc B f t = e r f (T t) $ pour tout t [, T ]. 3. Pour obtenir 1 dollar, il faut débourser S t euros à la date t. 4. Enfin, sur le marché il existe des contrats forwards pour toute date t [, T ]. Un contrat forward contracté à la date t est déterminé par l échange de flux suivant: - Aucun échange de flux à la date d entrée t dans le contrat. - A l échéance T, on reçoit 1 $ contre F t e, montant fixé à la date d entrée t du contrat. 1. Soit t [, T ]. Donner le pay-off à la date T, en euros, en fonction de la valeur du taux de change S T, des portefeuilles suivants, constitué à la date t (1) Achat de B f t dollars. Ce montant est alors placé dans l actif sans risque de l économie américaine. Emprunt de F t Bt d euros (grâce à l actif sans risque domestique). () Contrat forward contracté à l instant t. En déduire, par un raisonnement d arbitrage, le prix F t en fonction de la valeur du taux de change S t à l instant t.. Donner le pay-off en euros à la date T du portefeuille constitué à partir d un contrat de prix forward F et de la vente à découvert à la date t du contrat de prix forward F t. En déduire par un raisonnement d arbitrage, la valeur en euro ft à la date t du contrat forward contracté en en fonction de F t et F, puis en fonction de S t et S. 4

Arbres Exercice 5 : Arbre binomial à une période On considère un marché à dates avec un actif risqué et un actif sans risque de dynamique: Actif sans risque: 1 15 Actif risqué: 1 1 9 L actif risqué a une probabilité.75 de monter et.5 de descendre. 1. Décrire (Ω, F, P).. Donner la définition de la probabilité risque neutre. La calculer. 3. Calculer le prix d un call et d un put de strike 1. 4. Retrouver la relation de parité call put. Exercice 6 : Option lookback en modèle binomial à deux périodes On se place dans le cadre d un modèle binomial à trois dates: t =, t = 1 et t = avec r =.5, u = 1.1 et d =.95 et S = 1. 1. Représentez l arbre d évolution de l actif risqué.. Décrire Ω, F, F 1 et F. 3. Déterminez la probabilité risque neutre. 4. Quel est le prix d un call de strike 15 d échéance T =? 5. Déterminez le prix d une option lookback de payoff final: (S 1) + avec S t = Sup s t S s 5

Exercice 7 : Convergence du modèle Binomial vers le modèle de Black Scholes Considérons un marché financier, constitué d un actif sans risque R normalisé en t = et d un actif risqué S, ouvert sur la période de temps [, T ]. Divisons l intervalle de temps [, T ] en n intervalles [t n i, tn i+1 ] avec tn i := it n et plaçons nous dans le cadre d un modèle binomial à n périodes. Notons r n le taux d intéret de l actif sans risque, la valeur Rt n de l actif sans risque aux instants t = t n i est alors donnée par: R n t n i = (1 + r n ) i On note Xi n le rendement de l actif risqué entre les instants t n i 1 et tn i. On a alors sous la probabilité historique P n : P(X n i = u n ) = p n et P(X n i = d n ) = 1 p n On rappelle que le vecteur (X n 1,..., Xn n) est un vecteur de variables aléatoires indépendantes. Soit r et σ deux constantes positives, r n, d n et u n ont la forme suivante: r n = rt ( d n = 1 + rt ) q ( e σ T n u n = 1 + rt ) n n n e σ q T n 1. Représentez l arbre d évolution de l actif risqué dans le modèle.. Montrez que R n T converge vers ert lorsque n tend vers l infini. 3. Le marché vérifie t il l hypothèse d absence d opportunités d arbitrage? 4. Exprimez la valeur S n t n i de l actif risqué en t n i en fonction de S et de (X 1,..., X i ). 5. Donnez la dynamique du processus X n sous la probabilité risque neutre Q n. La probabilité Q n (X n i = u n ) sera notée q n dans la suite. 6. Vérifiez que l on a: q n 1 n n E Q n[ln(x n 1 )] n ) (r σ T n V ar Q n[ln(x1 n )] σ T n 7. Montrez à l aide des fonctions caractéristiques la convergence en loi suivante: n ) ] lnxi n loi [(r N σ T, σ T. n 8. En déduire que: S n T i=1 loi n S e r σ T + σ W T avec WT N (, T ) La dynamique de la limite est, comme vous le verrez, celle que l on supposera dans le modèle de Black & Scholes. 6

9. Ecrire sous forme d espérance le prix d un put de strike K et de maturité T dans le modèle binomial à n périodes. 1. En déduire que le prix du put converge lorsque n tend vers l infini vers: P := K e rt N ( d ) S N ( d 1 ) Avec N la fonction de répartition d une loi normale N (, 1), d 1 et d donnés par: d 1 := ln( S σ K ) + (r + )T σ T et d := d 1 σ T 11. Conclure en obtenant la formule de Black & Scholes donnant le prix du call: C := S N (d 1 ) K e rt N (d ) Exercice 8 : Duplication d un produit dérivé en modèle binomial à n périodes Suivre la démonstration distribuée en cours sur ce sujet. 7

Martingales Exercice 9 : Tranformée de Martingale Soit (S i ) i n une F-martingale et (H i ) i n un processus discret borné F-adapté. On définit le processus (M i ) i n par: M i := i H j 1 (S j S j 1 ) j=1 1. Montrez que le processus P est également une F-martingale.. Dans un modèle binomial à n périodes, si l actif risqué réactualisé est martingale sous la probabilité risque neutre, qu en déduire sur les stratégies autofinancantes de portefeuille simples? Exercice 1 : Martingales de carré intégrable Soit (M t ) t T une F-martingale de carré intégrable, i.e. telle que pour tout t, E[M t ] < 1. Montrez que, pour s t, on a: E[M t M s /F s ] = E[(M t M s ) /F s ]. En déduire que M t est une F-sousmartingale. Aurait on pu obtenir ce résultat plus rapidement? Exercice 11 : Limite L de variables aléatoires Gaussiennes Soit X n une suite de variables aléatoires réelles admettant pour lois respectives les lois normales N (m n, σn). Montrer que si X n converge dans L vers X, alors X N (m, σ ) avec m et σ les limites respectives des suites m n et σ n. 8

Mouvement Brownien Exercice 1 : Calcul d espérances Soit B un processus continu et F sa filtration naturelle. Soit S t = S exp [ (µ σ ] /)t + σb t. Calculer l espérance et la variance de S t. Exercice 13 : Martingales Soit (B t ) t est un Mouvement Brownien et F sa filtration naturelle, montrer que les processus suivants sont des F-martingales: (B t ) t ( Bt t ) t ( ) e σbt σ t t appelé Brownien Exponentiel. Exercice 14 : Caractérisation du Mouvement Brownien Soit B un processus continu et F sa filtration naturelle. Montrer que B est un mouvement Brownien si et seulement si, pour tout λ R, le processus complexe M λ défini par: est une F-martingale. Mt λ := e iλbt+ λ t Exercice 15 : Mouvements Browniens Soit (B t ) t un Mouvement Brownien. Montrez que les processus suivants sont également des Mouvements Browniens: ( 1 a B ) a t t (B t+t B t ) t Le processus défini par tb 1/t pour t > et prolongé par en t =. 9

Exercice 16 : Limite á l infini du Brownien L objectif de cet exercice est de montrer que Wt t converge presque sûrement vers lorsque t tend vers l infini. 1. Pourquoi la suite ( W n n )n N converge-t-elle presque sûrement vers lorsque n tend vers l infini?. Vérifier que pour t [n, n + 1], W t t W n n + sup t [n,n+1] W t W n. n ) 3. Pourquoi les variables aléatoires (X n = sup t [n,n+1] (W t W n ) sont-elles identiquement distribuées? n N Vérifier que X (sup t [,1] W t ) + (sup t [,1] W t ) et en déduire que E(X ). 4. Montrer que E ( ) n N Xn n < +. presque sûrement vers et conclure En déduire que la suite ( Xn n )n N converge Exercice 17 : Mouvement brownien? Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite. Pour tout t on pose X t = tz. Le processus stochastique X = {X t ; t } a des trajectoires continues et X t suit une loi normale N (, t). Est-ce un mouvement brownien? Exercice 18 : Transformée de Laplace Soit X N (µ, σ ). Pour chaque réel u R, on pose: ϕ(u) = E [ e u(x µ)]. Pour chaque u, calculer ϕ(u), ϕ (u), ϕ () (u) et ϕ (4) (u). En déduire E[(X µ) 4 ] = 3σ 4. Exercice 19 : Propriété de Markov Soit B un processus continu et F sa filtration naturelle. Pour toute fonction mesurable bornée f et t > s, exprimer E[f(B t ) F s ] en fonction de B s. 1

Exercice : Loi du logarithme itéré 1. Montrez que si X est une Normale centrée réduite, pour tout λ >, on a: P(X λ) 1 e λ πλ. En déduire que si W est un Mouvement brownien standard: W n lim 1 n log n n Pour information, un résultat dû à Paul Levy, nommé "loi du logarithme itéré" indique plus précisément que: W t lim = 1 t log t t Exercice 1 : Pont Brownien Soit (B t ) t R + un M.B.S. On définit un nouveau processus (Z t ) t 1 par : Z t = B t tb 1. 1. Montrer que (Z t ) t 1 est un processus gaussien indépendant de B 1.. Calculer la moyenne m t et la fonction de covariance K(Z s, Z t ) du processus (Z t ) t 1. 3. Montrer que Z t = Z 1 t a même loi que Z t. 4. Soit Y t = (1 t)b t 1 t défini pour t < 1. (a) Montrer que Y t tend vers presque sûrement lorsque t tend vers 1. (b) Montrer que le processus (Y t ) t 1 prolongé par en 1 a la même loi que (Z t ) t 1. 11

Exercice : Fourier Soient (Bt 1 ) t T et (Bt ) t T deux mouvements Browniens réels indépendants adaptés à la même filtration (F t ) t T. Soient (Ht 1 ) t T et (Ht ) t T deux processus (CADLAG) adaptés à F et vérifiant t [, T ], (Ht 1 ) + (Ht ) = 1. 1. Montrer que les intégrales stochastiques Hi sdb i s pour i = 1, sont bien définies pour tout t T.. On considère le processus (X t ) t T défini par t [, T ], X t = H 1 s db 1 s + H s db s. Montrer que (X t ) t T est une martingale pour la filtration F. Le processus X est-il continu? 3. On définit, pour tout u R, le processus (M u t ) t T par t [, T ], M u t = exp(iux t ) + u exp(iux s )ds. Montrer en utilisant la formule d Itô (on admettra sa validité sur les fonctions complexes) que (M u t ) est une martingale pour la filtration F. 4. En déduire la valeur de E[M u t ] pour t [, T ] puis une équation différentielle ordinaire vérifiée par f u : t E[e iuxt ] dont on explicitera une solution. 5. Soit t [, T ]. Quelle est la loi de la variable aléatoire X t? 6. On note, pour u R et s t T, Calculer φ u (s, s) et montrer que φ u (t, s) = E [ exp ( iu(x t X s ) ) F s ]. φ u (t, s) = 1 u s φ u (v, s)dv. Déterminer explicitement la fonction φ u. Remarquez que φ u n est pas aléatoire. 7. Montrer que le processus (X t ) t T est un mouvement Brownien. 1

Mouvement Brownien et Intégrale d Ito Dans tout ce qui suit, B désigne un mouvement brownien et F sa filtration naturelle. Exercice 3 : Zéros du mouvement brownien. Soient < t < t 1. On désigne par α la probabilité que B admette au moins un zéro dans l intervalle [t, t 1 ]: α = P( t ]t ; t 1 [, B t = ). Le but est de calculer explicitement la valeur de α. 1. Soit a R et X = (a + B t ) t. En utilisant la densité f T a du premier temps d atteinte de a par un mouvement brownien standard calculer P(inf s t X s ). f T a (x) = a πx 3 e a /(x) 1 {x>}. Soit a R. Montrer que la probabilité pour que B admette au moins un zéro dans [t ; t 1 ], sachant que B t = a, est donnée par: a π 1 t 1 x 3/ e a /(x) dx. 3. En déduire que: α = π arctan t1 t 1. Exercice 4 : Fonction caractéristique de l intégrale de Wiener. Soit σ(t) une fonction détérministe du temps telle que σ(s) ds < pour tout t > et soit X t = σ(s)db s. En utilisant la formule d Itô, montrer que la fonction caractéristique de X t (t fixé) est donnée par Que peut-on en déduire? E[e iuxt ] = exp{ u σ(s) ds}, u R. 13

Exercice 5 : Intégrale de Wiener Soit f telle que 1 f (t) dt est finie. On considère le processus (X t ) t [,1] défini par : X t = f(u) db u, où (B t ) t est un Mvt Brownien Standard et (F t ) sa filtration naturelle. 1. Montrer qu une limite dans L (Ω) d une suite de variable aléatoires Gaussienne est nécessairement Gaussienne.. En déduire que le processus (X t ) t [,1] est un processus Gaussien caractérisé par: ( cov f(s)db s, u g(s)db s ) = u 3. Montrer que X t est un processus à accroissements indépendants. 4. Quelle est la loi de X 1? f(s)g(s)ds Exercice 6 : Calcul de T B s db s On cherche à calculer T B s db s avec (B t ) t T un Mouvement Brownien standard. Pour tout entier n, considérons le processus défini sur [, T ] par: B n s := B i T n 1 ]i T n,(i+1) T n [(s) 1. Montrer que B est la limite dans L (Ω, [, T ]) du processus élémentaire B n.. En déduire que le processus T B s db s s écrit comme limite dans L (Ω) de: n 1 i= B i T n 3. Quelle est la limite dans L (Ω) de : 4. En déduire la valeur de: i= ( ) B (i+1) T B n i T n n 1 ( ) B (i+1) T B n i T n T B s db s Remarquez que le processus obtenu est, comme attendu, une martingale. 14

Exercice 7 : Théorème de Girsanov simplifié Soit (B t ) t T un mouvement brownien standard de filtration associée F = (F t ) t T. Soit θ R. On pose ( L t = exp θb t 1 ) θ t. a) Montrer que L est une (F, P)-martingale et que E[L t ] = 1 pour tout t T. b) Pour A F T, on pose P L T (A) := E P [L T 1 A ]. Pour tout t [, T ], montrer que P Lt est une probabilité. c) Montrer que pour tout A F t, P L T (A) = P Lt (A). d) Montrer la formule de Bayes suivante: pour toute v.a. Y L (P). E P L T [Y F t ] = E P[L T Y F t ] L t, t [, T ], e) On pose B t = B t θt pour tout t [, T ]. Montrer que pour tout s t, on a E P L T [ e iu(b t B s ) F s ] = E P L T [ e iu(b t B s ) ] = e u (t s). f) En déduire que B est un P L T -mouvement brownien standard de filtration F. Exercice 8 : EDS et brownien géométrique On s intéresse à la solution X t de l EDS: X t = On pose S t = exp ( (µ σ /)t + σb t ). (µx r + µ ) dr + (σx r + σ ) db r. 1. Ecrire l EDS dont S 1 t est solution.. Démontrer que: d(x t S 1 t ) = S 1 ( (µ σσ )dt + σ ) db t. t 3. En déduire une expression pour X t. 15

Exercice 9 : Sous-martingale Soit X t un processus adapté tel que X t = µ(r)dr + σ(r)db r, où on suppose que µ(t) p.s. pour tout t et que σ = (σ(t)) est adapté et tel que E[ σ(s) ds] < pour tout t >. Montrer que X est une sous-martingale. Exercice 3 : Mouvement brownien changé de temps. Considérons le processus X t = e t W e t 1, t. 1. Montrer que X est un processus gaussien centré. Calculer sa fonction covariance.. Justifier que que X t converge en loi vers une variable gaussienne dont on précisera les paramètres. 3. On souhaite montrer que X suit l équation différentielle stochastique X t = X s ds + B t, (1) pour un certain mouvement brownien B (construit à partir de W ). d abord montrer qu on peut écrire Nous allons W e t 1 = e t B t e s B s ds, t. () En fait, au lieu de construire B à partir de W (ce qui sera faisable plus tard dans le cours), nous allons construire W à partir de B. Pour cela, posons Y t = e t B t es B s ds, à identifier avec W e t 1 pour un certain W. (a) Prouver qu il suffit d établir que (Y t ) t et (W e t 1 ) t ont même fonction de covariance. (b) Établir l égalité des fonctions de covariance. (c) De (), déduire (1) (on calculera X t + X sds). Nous verrons dans la suite du cours que le processus X est un processus d Ornstein- Uhlenbeck, dont le rôle est central dans certains modèles de taux d intérêt (Vasicek, 1977). 16

Exercice 31 : Loi du sup du mouvement brownien. calculer la loi du couple (B t, sup s t B s ). Le but de cet exercice est de 1. Soit T un temps d arrêt borné. En utilisant le théorème d arrêt de Doob, montrer que pour z réel et u v E[e iz(b v+t B u+t ) F u+t ] = e z (v u)/.. En déduire que Bu T = B u+t B T est un F u+t -mouvement brownien indépendant de la tribu F T. 3. Soit (Y t ) t un processus aléatoire continu indépendant de la tribu F tel que E[sup s K Y s ] < +. Soit S une variable aléatoire bornée par K. Montrer que: E[Y S F] = E[Y t ] t=s. 4. On pose τ λ = inf{s ; B s > λ}. Démontrer que si f est une fonction borélienne bornée E [ [ f(b t )1 {τ t}] λ = E φ(t τ λ )1 {τ t}] λ, où φ(u) = E[f(B u + λ)]. En déduire que E [ [ f(b t )1 {τ t}] λ = E f(λ Bt )1 {τ t}] λ. 5. Montrer que si Bt = sup s t B s et si λ > : P(B t λ, Bt λ) = P(B t λ, Bt λ) = P(B t λ). En déduire que Bt suit la même loi que B t. 6. Démontrer que pour λ µ et λ : P(B t µ, Bt λ) = P(B t λ µ, Bt λ) = P(B t λ µ) et que si λ µ et λ : P(B t µ, Bt λ) = P(B t λ) P(B t µ). 7. Vérifier que la loi du couple (B t, B t ) est donnée par: 1 { y} 1 {x y} (y x) πt 3 exp ( (y x) ) dxdy. t 17

Formule d Ito Dans tout ce qui suit, B désigne un mouvement brownien et F sa filtration naturelle. Exercice 3 : Covariation quadratique & Formule d Intégration par partie La covariation quadratique entre processus X et Y est par définition: X, Y := 1 ( X + Y X Y ) 4 1. Montrer que l application (X, Y ) X, Y est bilinéaire.. Soient X 1 et X deux processus d Ito de la forme dxt i = ϕ i t dt + θt i dw t Montrer que la covariation quadratique entre X 1 et X est donnée par X 1, X t = θ 1 s θ s ds 3. Soient X et Y deux processus d Ito, démontrer la formule d intégration par partie: d(xy ) t = X s dy s + Y s dx s + d X, Y s Exercice 33 : Formule d Itô Soit (B t ) t, un M.B.S. Donner l équation différentielle stochastique vérifiée par les processus suivants: X t = exp(ct + αb t ) X t = Bt 1+t (X 1 t, X t ) = (cosh B t, sinh B t ) X t = e R t YsdBs 1 R t Y s ds Z t = ln ( Xt 1 X t ) avec X t satisfaisant dx t = X t (1 X t )db t Exercice 34 : Mouvement brownien géométrique Soit X = (X t ) t l unique solution de l EDS X t = X + α X r dr + σx r db r, c-à-d X est un mouvement Brownien géométrique (MBG). En outre, soit β une constante. Montrer que Y β aussi est un MBG dont on précisera le drift et le coefficient de diffusion. 18

Exercice 35 : Comparaison de Processus On suppose connue la fonction φ(a, T ) := P(W t at, t T ) avec W un Mouvement Brownien. Soient W 1 et W deux mouvements Browniens indépendants et dxt 1 = Xt 1 (µ 1 t dt + σt 1 dwt 1 ), dxt = Xt (µ t dt + σt dwt ). Calculer, en fonction de Φ, la quantité P(X 1 t X t, t T ). Exercice 36 : Processus d Ornstein-Ulhenbeck. Le processus d Ornstein-Ulhenbeck est l unique solution de l équation différentielle stochastique suivante dx t = cx t dt + σdw t ; On suppose que X est une variable aléatoire gaussienne indépendante de W. 1. En posant Y t = X t exp(ct), donner la forme explicite du processus (X t ).. Donner la loi de X t. Que vaut Cov(X s, X t )? 3. Trouver la loi de X telle que t, la loi de X t ne dépend pas de t (loi stationnaire). 4. Quelle est la loi limite de X t lorsque t +? 5. Montrer que Z t = exp(a X sdw s a t X s ds) est une martingale locale. 6. Soit U t = X t. Ecrire du t. 7. En déduire que X sdw s = 1 σ (X t X σ t) + c σ X s ds. 19

Exercice 37 : Etude d EDS. Soit l EDS dx t = bx t dt + db t, X = x. 1. On pose Y t = e t X t. Quelle est l EDS vérifiée par Y t? Exprimer Y t sous la forme Y t = y + f(r) db r où l on explicitera la fonction f.. Calculer E(Y t ) et E(Y t ). 3. Justifier que Y s ds est un processus gaussien. Calculer E[exp( Y u db u )]. 4. Exprimer Y t pour t > s sous la forme Y t = Y s + s g(u) db u où l on précisera la fonction g. Calculer E[Y t F s ] et Var(Y t F s ). 5. Calculer E[X t F s ] et Var(X t F s ). Exercice 38 : EDP Soit f une fonction bornée sur R. On désire résoudre le problème suivant : u t = 1 u x pour t > u(, x) = f(x) où u est une fonction de deux variables u(t, x), de classe C 1 en t et C en x. Cette équation modélise l évolution de la chaleur d un fil au cours du temps avec une condition initiale f à t =. Soit (B t ) t un M.B.S. 1. Soit u une solution du problème précédent et t >. Montrer, en utilisant la formule d Itô que M dèfini sur [, t] par M s = u(t s, x + B s ) est une martingale locale.. Montrer que M est une martingale. En déduire que pour tout t >, on a: u(t, x) = E[f(B t + x)]

Black Scholes Dans tout ce qui suit, B désigne un mouvement brownien et F sa filtration naturelle. Exercice 39 : Modèle de Black Scholes. On considére un actif risqué S obéissant à la dynamique suivante ds t = S t (µ dt + σ db t ) où µ, σ(> ) sont des constantes. 1. Ecrire la formule d Itô pour une fonction du type f(t, S t ). En déduire que S T suit une loi log-normale dont on précisera la moyenne et la variance.. Donner la moyenne et la variance de l actif S T sous la probabilité risque neutre. 3. Le payoff d un actif contingent de type européen est donné à la date T par la quantité 1/S T. Utiliser la probabilité risque neutre pour montrer que le prix à la date t < T de ce produit est donné par 1 S t exp ( (σ r)(t t) ). 4. Utiliser la formule d Itô et un argument d arbitrage pour déterminer l équation satisfaite par la valeur V (t, S t ) d une option européenne (ie de payoff de type P = g(s T )). 5. On suppose que les actifs distribuent des dividendes selon un taux continu q. r désigne le taux d intérêt continu de l actif sans risque. Montrer que la valeur V (t, S t ) d une option européenne satisfait l équation 1 σ S V V + (r q)s S S + V t = rv dont on précisera les conditions initiales. Exprimer le prix du call européen dans ce modèle. 1

Exercice 4 : Formule de Black Scholes Soit l équation différentielle stochastique : ds t = µs t dt + σs t db t, (3) où (B t ) t est un M.B.S. 1. Soit un réel r. On pose S t = e rt S t. (a) Montrer que S t vérifie une nouvelle équation différentielle stochastique. (b) Soit W t = B t + µ r σ t. Montrer qu il existe une probabilité P équivalente à la probabilité de départ P sous laquelle (W t ) t est un M.B.S. (c) Écrire que : d S t = σ S t dw t. En déduire que ( S t ) t est une martingale sous P et que : S t = S σ σwt e t.. On pose (x) + = max (x, ) et on désigne par E l espérance sous P. Soit K > et soit C = E ( e rt (S T K) + ). Montrer que : C = Ke rt Φ(d ) + S Φ(d 1 ), où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, d 1 = et d = d 1 σ T. ln ( S K ) ) + (r + σ T σ T Exercice 41 : Symétrie Call Put Soit M une F- martingale telle que dm t = σm t dw t avec σ donné et M = 1. 1. Vérifier que M est strictement positive.. Déterminer la dynamique de Y défini par Y t = (M t ) 1. 3. Soit Q la probabilité définie par dq/dp = M. Déterminer la loi de Y sous Q. 4. Etant donné un strike K, montrer que l on a la relation ) + ] E P [ (M T K) +] = K E P [ ( 1 K M T

Exercice 4 : Changement de numéraire Soient S 1 et S deux processus d Itô donnés par { dst 1 = Yt 1 dt + Zt 1 db t dst = Yt dt + Zt db t avec B un mouvement Brownien de filtration naturelle F et Y 1, Y, Z 1 et Z des processus F-adaptés de L (Ω, [, T ]). Soient ϕ 1 et ϕ deux processus adaptés bornés. Considérons le processus: et supposons qu il satisfait la condition: X t = ϕ 1 t S 1 t + ϕ t S t dx t = ϕ 1 t ds 1 t + ϕ t ds t Montrer que pour tout processus d Itô U F-adapté, on a la relation: d(u X) t = ϕ 1 t d(u S 1 ) t + ϕ t d(u S ) t Comment traduire cette propriété en terme de stratégie de portefeuille? Exercice 43 : Moments de la solution de l EDS de Black Scholes Soit B un Mouvement Brownien Standard. Black Scholes: On considère l équation différentielle de ds t = S t (µdt + σdw t ) et S = x 1. Montrer que l unique solution de cette équation est : S t = x e µ σ t + σ W t. Calculer E[S t ]. 3. Pour α, déterminez l EDS vérifiée par S α t. 4. En déduire E[S α t ] pour α. 3

Pricing d Options Exercice 44 : Option sur moyenne Soit S le processus donné par ds t = S t (rdt + σdb t ),, S = 1, avec r, σ deux constantes et[ B un mouvement Brownien. On souhaite calculer C = E [(Z T S T ) + ] avec Z T := E 1 ] T T ln(s t)dt. Soit Q la probabilité définie par dq dp = e σb T σ T/. T 1. Montrer que e rt E P [ [ (ZT (Z T S T ) +] ) ] + = E Q 1 S T. Soit B t := B t σt. Ecrire Z T /S T sous la forme e αt R T β(t)d B t. 3. Déterminer K pour que le calcul de C se réduise au calcul de E [( S ] T K) + avec S un mouvement Brownien géométrique dont on précisera la dynamique. Exercice 45 : Produit forward-start On suppose que la dynamique du prix (en dollars) de l action américaine FAD, qui ne verse pas de dividendes, est donnée par: ( ) ds t = S t µ(t, St ) dt + σ(t) db t, où σ est une fonction déterministe du temps. Soit un call européen de date T écrit sur une action FAD et de type "forward-start", c est-à-dire que son strike n est pas connu à sa date de création (t = ) mais sera fixé égal à sa valeur S(T 1 ) de l action FAD observée à la date T 1 (< T ). Il sera donc à la monnaie en T 1 et vaudra en T (en dollars) (S T S T1 ) +. 1. Dériver la formule (du type Black-Scholes) donnant le prix du call en T 1 tel que côté à New-York, en utilisant la notation τ = T T 1.. Calculer le prix du call en t = tel que côté à New-York. Pour ce faire, utiliser la propriété d homogénéité (de degré 1 en prix du support et en prix d exercice) de la valeur d une option, c est-à-dire C(S T1, S T1, τ) = S T1 C(1, 1, τ). 3. Donner l interprétation financière du résultat précédent. 4. Supposer que le prix d exercice fixé en T 1 est égal à ks T1 où k est une constante positive différente de 1 et recalculer le prix du call. 4

Exercice 46 : Options asiatiques Soit S t la solution de l EDS les paramètres r et σ étant constants. ds t = S t (r dt + σ db t ) ( 1. Soit K une constante. Montrer que le processus M t = E ( 1 ) T T S r dr K) + F t une martingale. est. Montrer que si l on pose Q t = St 1 ( K 1 t T S r dr ), on a ( M t = S t E ( 1 T S ) r dr Q t ) + F t. T S t ( 3. Soit u(t, x) = E ( 1 ( T S r T t S t dr x) + ). Montrer que u(t, x) = E et que M t = S t u(t, Q t ). t ( 1 T T t ) S r S t dr x) + F t 4. Ecrire la formule d Itô pour M et en déduire une équation aux dérivées partielles vérifiée par u. Exercice 47 : Réduction de variance par échantillonnage préférentiel. Soit G une gaussienne centrée réduite. 1. Pour f : R R une fonction bornée, vérifier que ( ) θ R, E f(g + θ)e θg θ = E(f(G)) (4). Vérifier que ( ) Var f(g + θ)e θg θ ( ) = v(θ) (E(f(G))) où v(θ) = E f (G)e θg+ θ. 3. On suppose désormais que P(f (G) > ) >. Montrer que pour a > suffisamment grand, P(f (G) > 1/a, G > a) > et en déduire que lim θ v(θ) = +. Montrer également que lim θ + v(θ) = +. Calculer v (θ) par dérivation sous le( signe espérance et) conclure à l existence d un unique θ R qui minimise θ Var f(g + θ)e θg θ. Soit (G i ) i 1 une suite de gaussiennes centrées réduites indépendantes. Proposer un estimateur de E(f(G)) préférable à 1 n n i=1 f(g i). 4. On( suppose que la fonction) f est C 1 à dérivée bornée. Quelle est la limite de f(g + θ)e θg θ f(g) lorsque θ tend vers? 1 θ En déduire que E(f (G)) = E(Gf(G)). Retrouver ce résultat directement. 5

Exercice 48 : Les options barrière: l EDP et l interprétation comme espérance. On suppose maintenant que les taux d intérêt sont constants et égaux à r, que l actif risqué suit une dynamique de type brownien géométrique décrite par S t = S exp((µ 1 σ )t + σw t ). Les options considérées ont pour échéance T. On considère le problème de la valorisation de l option barrière Down-In-Call (resp. Down- Out-Call) promettant à l échéance 1 τh T (S T K) + (resp. 1 τh >T (S T K) + ), avec τ H = inf{t : S t H}. Son prix à l instant sera noté simplement DIC(x, K, H) (resp. DOC(x, K, H)). 1. Par un raisonnement d arbitrage, montrer que les prix des différentes options sont reliés par la relation DIC(x, K, H) + DOC(x, K, H) = Call(, x, K).. Pour couvrir le DOC, nous cherchons un portefeuille autofinançant dont la valeur s écrit V t = v(t τ H, S t τh ) pour une certaine fonction régulière v. Déterminer l EDP satisfaite par v (attention aux conditions aux limites qui prennent en compte la barrière) ainsi que la couverture associée. 3. Calculer E(e rt τ H v(t τ H, S T τh )) et montrer que DOC(x, K, H) = E ( e rt 1 τh >T ( S ) T K) +, (5) où τ H = inf{t : S t H} et S t = S exp((r 1 σ )t + σw t ). 4. En déduire que DIC(x, K, H) = E ( e rt 1 τh T ( S T K) + ), (6) 6

Exercice 49 : Les options barrière: des formules explicites pour les prix. L objectif de cet exercice est de calculer explicitement DIC(x, K, H) à partir de l égalité (6), en exploitant simplement des relations de symétrie. Nous nous restreignons au cas regular (à savoir K > H) (à l opposé du cas reverse lorsque K H). 1. Que vaut DIC(x, K, H) lorsque x H? On suppose maintenant x > H.. Montrer la relation de symétrie Call-Put Call(t, Ke r(t t), x) = Put(t, xe r(t t), K) et d homogénéité (λ ) Call(t, λx, λk) = λcall(t, x, K), Put(t, λx, λk) = λput(t, x, K). 3. On suppose dans cette question que r =. (a) Justifier que ( S t ) t est une martingale et les prix des options pour ce cas-là seront notés Call M, DIC M, etc. (b) Montrer que DIC M (x, K, H) = Put M (x, H K )K H = CallM (H, K x H ). (c) En déduire une stratégie statique de couverture de l option DIC dans le cas r =. 4. Introduisons γ = 1 r σ. Supposons d abord que γ >. (a) Prouver qu on a S t = (M t ) 1/γ pour une certaine martingale log-normale M. (b) Considérons l option Binary DIC (resp. Binary Call) promettant à l échéance 1 τh T 1 ST K (resp. 1 ST K). Son prix vaut BinDIC(x, H, K) = E ( e rt ) 1 τh T 1 ST K (resp. BinCall(x, K) = E ( e rt 1 ST K) ). En passant par l intermédiaire de la martingale M, montrer ( x ) γ x K H BinDIC(x, H, K) = BinCall(H, K H H ). (c) En déduire que le prix de l option DIC est donné par la formule ( x DIC(x, H, K) = H ) γ 1 Call(H, K x H ). 5. Généraliser la formule précédente à toutes les valeurs de γ. 7

Modeles de Taux Exercice 5 : Le modèle de Vasiček pour le taux d intérêt On considère un marché financier où il existe une unique probabilité risque neutre Q qui rende tout actif réactualisé martingale. Sous cette probabilité neutre au risque Q, le taux d intérêt spot est décrit par la dynamique suivante dr t = (a br t ) dt + σdb t, (7) r = r où (B t ) t est un mouvement brownien standard, et où a, b, σ et r sont des constantes strictement positives. 1. Déterminez l EDS satisfaite par le processus X t = e bt r t.. Déterminez la solution X t, puis déduisez la solution r t de l EDS (7) 3. Vérifiez que la variable aléatoire r t suit une loi normale. Calculez sa moyenne et sa variance. On considère, dans ce marché, un zéro-coupon de maturité T. C est à dire une obligation qui verse à la personne qui la détient 1 unité monétaire à la maturité T. 4. Déduisez que le zéro-coupon est un produit dérivé particulier et donnez son pay-off à la date T. 5. En utilisant l évaluation neutre au risque, montrez que le prix à la date t du zérocoupon, noté P (t, T ), est égal à 6. Calculez explicitement P (t, T ). ( T ) ] P (t, T ) = E [exp Q r s ds F t t (8) 8

Exercice 51 : Stratégies autofinancées de zéro coupons. On considère le modèle de Heath Jarrow Morton : pour tout T > le taux instantané forward de maturité T est décrit par f(t, T ) = f(, T ) + µ f (s, T )ds + σ f (s, T )dw s, où σ f (, T ) est une fonction continue bornée. La fonction µ f (s, T ) est définie par T µ f (s, T ) = σ f (s, T )σf (s, T ), avec σ f (s, T ) := σ f (s, u)du. On admet que le prix au temps t T d un zéro coupon de maturité T est donné par Soit r t le taux instantané f(t, t) : r t = f(, t) + ( T ) B(t, T ) = exp f(t, s)ds. (9) t s σ f (s, t)σf (s, t)ds + σ f (s, t)dw s. (1) De (9) et (1) on peut déduire (l admettre... ) que, pour tout T, le processus (B(t, T ), t T ) résout l équation différentielle stochastique db(t, T ) = r t B(t, T )dt σf (t, T )B(t, T )dw t, B(T, T ) = 1. On se donne deux maturités T O et T avec T O < T. À chaque date t T O, une stratégie autofinancée consiste à acheter ou vendre une quantité Ht O de zéro coupons de maturité T O et une quantité H t de zéro coupons de maturité T telles que: (11) (i) Le portefeuille est autofinancé, c est à dire : si on note V t := Ht O B(t, T O ) + H t B(t, T ) la valeur au temps t du portefeuille, alors V t = V + H O θ db(θ, T O ) + H θ db(θ, T ). (ii) Les processus (Ht O ) et (H t ) sont tels que les intégrales stochastiques qui apparaîtront dans les calculs sont bien définies et sont des martingales. 9

1. L objectif est de caractériser les stratégies autofinancées. Pour t T O on définit le prix Forward B F (t, T ) du zéro coupon de maturité T par B F (t, T ) := B(t, T ) B(t, T O ). Montrer ( ) 1 1 d B(t, T O = ) B(t, T O ) (r tdt σf (t, T O 1 )dw t ) + B(t, T O ) σ f (t, T O ) dt, puis db F (t, T ) = B F (t, T )σ f (t, T O )(σ f (t, T O ) σ f (t, T ))dt+bf (t, T )(σ f (t, T O ) σ f (t, T ))dw t.. Soit V F t la valeur Forward du portefeuille définie par V F t := En appliquant la formule d Itô, montrer V t B(t, T O ). dv F t = H t db F (t, T ). Montrer que cette égalité s obtient aussi (et plus rapidement) par la technique du changement de numéraire. 3

Exercice 5 : Stratégie de couverture d options sur zéro coupon. On considère une option de maturité T O et de flux à l échéance égal à Φ(B(T O, T )), où Φ est une fonction donnée. 1. À l aide de (11) montrer que les processus ( ( B(t, T O ) exp et ( ( B(, T O ) exp 1 σ f (θ, T O ) dθ ) ) r θ dθ, t T O sont solutions de la même équation différentielle stochastique. σ f (θ, T O ) dw θ ), t T O ). Montrer que le processus défini pour t T O par est une martingale exponentielle. L t := B(t, T O ) exp( r θdθ)b(, T O ) 3. Considérer la probabilité forward risque neutre P F sur (Ω, F T O) définie par dp F dp = L T O. Montrer que, sous P F, les processus (B F (, T )) et (Vt F ) sont des martingales. 4. On suppose qu il existe une solution régulière π σf au problème parabolique π σf t (t, x) + 1 x (σf (t, T ) σ f (t, T O )) π σf (t, x) =, x π σf (T O, x) = Φ(x). Montrer V F t = π σf (t, B F (t, T )). Indication : on pourra commencer par vérifier V F t = E F [φ(b F (T O, T )) F t ] p.s. 5. Montrer que la stratégie de couverture de l option est H t = π σ f x (t, BF (t, T )), Ht O = π σf (t, B F (t, T )) H t B F (t, T ). 31