Nombre dérivé S T f ' (a) a f(a+) M f(a)+f'(a) N 0.6 f'(a) f(a) A P Approimation affine : f(a)+f ' (a) 0.6 Valeur eacte : f(a+).98 Différence :.38 a a+ variable (ou ) Définitions : f( a + ) f( a) une fonction f est dite dérivable en a lorsque -- admet une limite finie quand tend vers 0. f( a + ) f( a) f ( a) lim -- (lire «f prime de a») est alors le nombre dérivé de f en a 0 f( a + ) f( a). -- est l accroissement moyen de f entre a et a + ; c est le coefficient directeur de la sécante S. f( a + ) f( a). Au lieu de f ( a) lim -- il revient au même d écrire f ( a) 0 f( ) f( a) lim -- a a Tangente et approimation affine Définition : la tangente en un point A d une courbe ( C) est la position limite, quand elle eiste, de la sécante ( AM) lorsque le point M de ( C) tend vers le point A. Propriété : si f est dérivable en a, alors sa courbe C f admet une tangente en A( a ; f( a) ) son coefficient directeur est f ( a) et son équation est y f( a) + f ( a) ( a). Définitions : f( ) f( a) + f ( a) ( a) est l approimation affine de f( ) (lorsque est) au voisinage de f( a + ) f( a) + f ( a) f( a + ) Autrement dit, au voisinage de a, l accroissement des images est approimativement proportionnel à l accroissement de la variable ; le coefficient de proportionnalité est le nombre dérivé f ( a) ; l approimation est d autant meilleure que est proce de a. 0. On dit aussi «tangente en a» au lieu de «tangente en A( a, f( a) )» accroissement de l image f( a + ) f( a) La tangente T en a est la représentation grapique de la fonction affine SQQT f( a) + f ( a) ( a) f( ) f( a) f ( a) ( a) coefficient de proportionnalité f ( a). La courbe d une fonction peut admettre une tangente (verticale) sans être dérivable (voir fonction racine carrée en 0). a 0 accroissement de la variable
Nombre dérivé - Tangente et approimation affine - Eemple f( ) 3 6 + Montrons que f est dérivable en f( + ) f( ) 7 + 6 + 6 -- + 3 7 - ( 6 + 6 + ) 6 + 6 + Calculs annees f( ) 3 6 + 8 + 7 f( + ) ( + ) 6( + ) + ( + ) ( 4 + 4 + ) [ + 6] + 8 + 8 + + 4 + 4 + 3 6 + 7 + 6 + 6 + 3 f( + ) f( ) lim -- lim 6 + 6 + 6 + 6 0 + 0 6 ; f est donc dérivable en et f ( ) 6. 0 0 L équation de la tangente en est y f( ) + f ( ) ( ) y 7 + 6( ) y 6 5 (équation réduite). La valeur de de 6 + 6 + devient aussi proce de 6 que l on veut, à condition de prendre suffisamment proce de 0. C est ce qui permet d écrire lim 6 + 6 + 6. 0. On ne pouvait pas obtenir f( + ) f( ) lim -- 0 f( + ) f( ) 0 en remplaçant par 0 dans -- car -- n eiste pas. 0 3. L erreur commise dans l approimation est la différence entre la valeur eacte f( + ) et la valeur f( ) + f ( ) prise comme approimation : on constate que cette erreur devient très petite lorsque est proce de 0 : plus précisément, cette différence devient très petite par rapport à. 6 + 6 + fh+l fhl+6 Différence 0.8.44 6.5.8 4.35 0.5 9.5.65 0..65 0. 6.6 7.66 7.6 0.06 0.0 6.060 7.06060 7.06 0.00060 0.00 6.00600 7.00600600 7.006 6.000999997 0 6 0.000 6.0006000 7.00060006 7.0006 6.00009997 0 8 4. Si on regarde la courbe et la tangente dans un voisinage de plus en plus restreint autour du point de tangence, on constate qu elles tendent à se confondre : l approimation de la fonction f par la fonction affine est de plus en plus précise 0 0 4 0-4 - 4-0 8 6 4-0 4.0.5.0.5 3.0 7.3 8.0 7. 7. 7.0 6.9 4 7.5 7.0 6.5 6.8.9.0...96.98.00.0.04.06
Fonction dérivée Définition : une fonction est dérivable sur une partie I si elle est dérivable en tout a I. La fonction asqqt f ( a), définie sur I, est alors appelée fonction dérivée de f. Remarque : presque toutes les fonctions rencontrées au lycée sont dérivables sur les intervalles sur lesquels elles sont définies. Deu eceptions : les fonctions SQQT et SQQT (valeur absolue), non dérivables en 0. Dérivées des fonctions usuelles Propriétés : k, a et b désignent des constantes réelles ; n un entier ; sur Si f( ) alors f ( ) c.à.d. \ { 0} Opérations sur les dérivées cas particuliers : a + b a si f( ) k alors f ( ) 0 (fonction constante) si f( ) alors f ( ) etc... etc... on retrouve tous ces résultats à partir d une seule formule valable pour n : ---- même formule avec n Si f( ) n alors f ( ) n n -- en écrivant / Propriétés : ( u et v désignent des fonctions alors que k, a et b désignent des nombres réels) u Si u et v sont définie et dérivables sur I alors k u, u + v, u v, u v, -- et SQQT v( a + b) sont également v dérivables lorsqu elles sont définies et on a les formules suivantes produit par une constante somme différence produit quotient composée avec une fonction affine 3 3 -- ---- ---- 3 ] 0 ; + [ sin( ) cos( ) 3 3 4 cos( ) sin( ) Si f( ) alors f ( ) Validité k u( ) k u ( ) u( ) + v( ) u ( ) + v ( ) u( ) v( ) u ( ) v ( ) u( ) v( ) u' ( ) v( ) + u( ) v' ( ) u( ) --- v( ) u' ( ) v( ) u( ) v' ( ) --- [ v( ) ] v( a + b) v ( a + b) a sur I sur I privé des valeurs de telles Remarque : on peut aussi mémoriser les cinq premières formules sous forme plus condensée mais moins eplicite u ( ku) ku ( u + v) u + v ( u v) u v ( uv) u v + uv -- u v - uv v v que v( ) 0 sur D ensemble des valeurs de telles que a + b I
Fonction dérivée - Eemples ) Reprenons la fonction définie sur par f( ) 3 6 + On remarque que f( ) 3 ( 6 ) u( ) v( ) avec u( ) 3 et v( ) 6. On en déduit que f est dérivable sur et f ( ) u ( ) v ( ) 3 6 on retrouve en particulier que f ( ) 3 6 6 6 mais on peut calculer le nombre dérivé en n importe valeur et tracer les tangentes correspondantes. 0 3 0 f( ) 7 f ( ) 6 6 3 0-4 - 4-0 6 6 Ne pas confondre f( 3) ordonnée du point de la courbe dont l abscisse est 3 avec f ( 3) coefficient directeur de la tangente en 3. -0 ) f( ) 4 ---- + ---- définie sur \ { 0} 5 on remarque que f( ) -- 5 + 4 ---- on en déduit que f est dérivable sur \ { 0} avec f ( ) -- + 4 5 3 -- 5 8 ---- 3 3) f( ) définie sur [ 0 ; + [. on remarque que f( ) u( ) v( ) avec u( ) et v( ) on en déduit que f est dérivable sur ] 0 ; + [ avec f ( ) ---- + + - 4) f( ) + ---- définie sur \ { 3} 3 + u( ) on remarque que f( ) --- avec u( ) + et v( ) 3 + v( ) on en déduit que f est dérivable sur \ { 3} avec f ( ) 5) f( ) ( + ) 5 définie sur on remarque que f( ) v( a + b) avec v( ) 5, a et b. on en déduit que f est dérivable sur avec f ( ) v ( a + b) a or u' ( ) v( ) u( ) v' ( ) ( + 0) ( 3 + ) --- + - ( ) 3 [ v( ) ] ( 3 + ) 3 + 3 ---- ( 3 + ) v ( ) 5 4 Finalement f ( ) 5( + ) 4 0( + ) 4
Lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction Comme la dérivée donne la valeur du coefficient directeur de la tangente, il parait «évident» que : Si f ( a) > 0 alors la tangente en a, et «donc» la courbe, montent Si f ( b) < 0 alors la tangente en b, et «donc» la courbe, descendent. on admettra les résultats suivants Propriétés : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. f ( b) < 0 b f( a) f( b) a f ( a) > 0 Si f ' > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f ' < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Même si f s annule en des valeurs isolées de I, sans canger de signe, la monotonie reste stricte. Si f ' 0 sur I, alors f est constante sur I. Si f s annule et cange de signe en a alors f admet un etrémum local égal à f( a) et atteint en a Métode : pour étudier le sens de variation d une fonction, on procédera de la façon suivante on détermine f ( ) à l aide des formules du cours. on étudie le signe de f ( ) en fonction de. la réponse est parfois immédiate (si f ( ) est une somme de termes positifs par eemple) ; sinon on écrit f ( ) sous la forme d un produit ou d un quotient et on utilise ensuite un tableau de signes ; parfois, on est amené à étudier les variations de f pour en déduire son signe. la propriété précédente donne alors le sens de variation de f ; on présente souvent la réponse dans un tableau combinant signe de f ( ) et variations de f( ). les etrémums locau éventuels se repèrent alors aisément : a b c signe de f ( ) + 0 + 0 0 variations de f( ) f( a) f( b) f( c) Allure de la courbe : (dans les trois cas, il y a une tangente orizontale car son coefficient directeur est nul) maimum local égal à f( a) et atteint en a minimum local égal à f( b) et atteint en b pas d etremum local mais une tangente orizontale en c et précisions. Dans le tableau précédent, a, b et c sont des valeurs isolées où f s annule ; en effet f 0 dans des intervalles s étendant de part et d autre de ces valeurs. En conséquence, la courbe ne présente pas de palier orizontal autour de ces valeurs (contrairement à ce que l on peut parfois croire en observant la courbe sur une calculatrice).. un maimum «local» est un maimum sur un intervalle qui n est pas forcément l ensemble de définition entier. 3. Attention : si I n est pas un intervalle, on peut avoir f ( ) > 0 sur I sans que f soit strictement croissante sur I. (ou f ( ) < 0 sur I sans que f soit strictement décroissante sur I ; voir eemple n 3 page suivante)
Etude du sens de variation à l aide de la dérivée - Eemples ) Reprenons la fonction définie par f( ) 3 6 + On a vu que f ( ) 3 6 On remarque que f ( ) 3( ) 3( ) ( + ) f ( ) est un polynôme du second degré ; il est du signe du coefficient de, c est à dire positif, à l etérieur de ses racines et. + signe de f ( ) + 0 0 + variations de f( ) f( ) f( ) 5 0 5-4 -3 -- - 3 4-5 -0-5 Il y a donc un maimum local atteint en f( ) 4 + 6.7 et un minimum local atteint en et égal à ) Reprenons la fonction définie par f( ) ( + ) 5 on a vu que f ( ) 0( + ) 4 et égal à f( ) 4 + 5.3 une puissance quatrième (carré de carré car X 4 ( X ) ) est toujours positive (ou nulle en 0) or + 0 -- -- signe de f ( ) + 0 + variations de f( ) 0 + 40 30 0 0 - -0-0 -30-40 Voici un eemple de fonction dont la dérivée s annulle mais en une valeur isolée, mais sans canger de signe. Il n y a ni maimum ni minimum local en --, simplement une tangente orizontale. 3) f( ) -- définie sur D f \ { 0} f ( ) signe de variations de f ( ) f( ) 0 + -4-4 - y -- Attention : on a f ( ) < 0 sur D f. - mais f n est pas strictement décroissante sur D f : elle est strictement décroissante sur ] ; 0 [ et sur ] 0 ; + [. D f n est pas un intervalle.