Approche vectorielle d un problème de relativité restreinte Jean Parizet, novembre 2006 Après avoir présenté la méthode usuelle d introduction de la relativité restreinte par la transformation de Lorentz et la méthode géométrique à partir de l espace de Minkowski, la résolution géométrique dans ce dernier d un exercice connu permet, me semble-t-il, de mieux le comprendre. En annexe figurent des extraits de quelques ouvrages d usage courant. 1. Présentations de la relativité restreinte a. L étude de la relativité restreinte commence, en général, en considérant la notion de repère inertiel et en partant de principes d où est parti Einstein (1905), modifiés et complétés plus tard en postulats : 1 les lois physiques sont invariantes dans tout changement de repère inertiel, 2 par rapport à tous les repères inertiels et quels que soient la direction et le sens de propagation, la lumière se propage avec la même vitesse 1 3.10 8 m/s, 3 si un repère inertiel (R ) est en mouvement de translation uniforme avec une vitesse v par rapport à un autre repère inertiel (R), le repère (R) a une vitesse de translation v par rapport à (R ). A partir de (R) d axes (Oxyz) et de (R ) d axes (O x y z ) respectivement parallèles, O x glissant le long de Ox à la vitesse v constante et les horloges des repères synchronisées à l heure t=t =0 lorsque les origines O et O coïncident, on arrive à la transformation spéciale de Lorentz : t = t vx 1 v 2, x = x vt 1 v 2, y = y, z = z et l étude se poursuit en utilisant systématiquement cette transformation... b. On peut procéder géométriquement en considérant que l espace-temps (l ensemble des événements) est un espace affine réel E d espace vectoriel associé l espace de Minkowski 2 E de dimension quatre muni de la forme quadratique Q de forme bilinéaire associée Φ. Les origines O et O des repères précédents sont des observateurs galiléens, c est à dire des observateurs de trajectoires (leurs histoires) dans E des droites orientées vers le futur par τ et τ unitaires ; en posant γ = Φ(τ, τ ) (qui est strictement positif) on vérifie immédiatement que τ γτ E τ sous espace de E des vecteurs de genre espace Φ-orthogonaux à τ. On note τ = γ(τ + v) et v s interprète comme la vitesse de O par rapport à O. Car avec les conventions précédentes O 0 = O 0 = O aux instants origines de leurs horloges (leurs temps propres), donc OO t = tτ et OO t = t τ. L hyperplan affine E t (O) issu de O t et de direction E τ étant considéré comme l espace physique de O à l instant t de son temps propre, O est dans cet espace physique E t (O) à l instant t de son temps propre ssi O t O t E τ soit O t O t = t τ tτ = (γt t)τ + t γ v E τ γt = t, O t O t =t/γ = v t et v est la vitesse de O par rapport à O dans E t (O). jparizet@yahoo.fr 1 comme il est courant, nous prendrons cette vitesse pour unité. 2 espace adapté aux équations de Maxwell, origine de la relativité. 1
c. Les parties vectorielles des repères (R) et (R ) du a sont bases des espaces vectoriels E τ et E τ distincts : ainsi en considérant τ γτ = γ v E τ, v est la vitesse de O par rapport à O, et v v et ces vecteurs appartiennent à des espaces différents. Temps et espace physique sont relatifs tous deux à un observateur et pas uniquement le temps. Cette approche géométrique clarifie l étude : comparons les dessins illustrant ces méthodes. Dessin traditionnel Dessin selon la démarche géométrique y y R R x x O O. O 1 τ τ O 1/γ Question qui s impose : quels sont les temps propres de O et O? O O 1/γ 2 Ici : γ=5/4, v =3/5 et t=1 O 1 O 1/γ = 3 i/5, O 1/γ O 1/γ 2 = 3 i /5 On voit apparaître un réel paradoxe : la relation être dans l espace physique de n est pas réflexive dans l espace temps des événements. Ainsi O 1/γ est dans l espace physique de O 1 mais O 1 n est pas dans celui de O 1/γ c est O 1/γ 2 qui l est, situation de O un peu avant l instant t=1 de son histoire. D un observateur à un autre, temps et espaces changent. Analysons le dessin de gauche et la transformation de Lorentz qui en découle. R et R repères d inertie ont pour origine O et O qui sont observateurs galiléens, de droites d univers dans l espace temps dirigées par τ et τ unitaires. Les horloges sont synchronisées lorsque ces points coïncident : les droites d univers se rencontrent en un point pris comme origine de leurs temps propres et sont coplanaires. M étant un événement (point de l espace temps) de coordonnées (x,y,z) dans R et (x,y,z ) dans R, on leur adjoint respectivement t et t, sans doute les temps propres de O et O dans la situation du dessin. Et on donne la transformation de Lorentz (dite réduite dans ce cas simple) et son inverse (1) { x = γ(x + vt ) t = γ(t + vx ) { x = γ(x vt) (2) t = γ(t vx) avec γ = 1 1 v 2 avec bien sûr y=y, z=z. Interprétons ceci vectoriellement dans l espace temps, en se plaçant dans le plan [τ, τ ] où nous supposerons que se trouve M et en y figurant les droites traces de E τ et E τ dirigés par les vecteurs unitaires spatiaux i et i correspondant aux axes des x et des x des repères du dessin. [γ étant Φ(τ, τ ), i et i unitaires de E τ et E τ sont définis par γv i = τ γτ, γv i = γτ τ]. 2
O t τ i O t M OM = tτ + x i = t τ + x i tτ + x i = t γ(τ + v i) + x γ( i + vτ) (1) tγ(τ v i ) + xγ( i vτ ) = t τ + x i τ (2) x i M 2 0 x O = O 0 = O 0 M 1 0 Imaginons qu en M coïncident deux points mobiles, l un M 1 au repos par rapport à O, donc de droite d univers parallèle à celle de O, l autre M 2 au repos par rapport à O, de droite d univers parallèle à celle de O. En synchronisant leurs horloges, celle de M 1 avec celle de O et celle de M 2 avec celle de O, alors t est le temps propre de M 1 (et de O) pour M appartenant à E(O) t = E(M 1 t ) espace physique de O et de M 1 à cet instant t, et t est celui de M 2 (et de O ) pour M appartenant à E(O ) t = E(M 2 t ), les x et x étant les abscisses de M dans les repères R et R d origines O 0 et O 0. Exemple où on reste dans le point de vue d un même observateur. Deux observateurs galiléens ont, pour simplifier, des droites d univers coplanaires. A l instant t=0 du temps propre de O, celui-ci envoie un rayon lumineux vers A se déplaçant avec la vitesse v par rapport à O, rayon lumineux qui se réfléchit vers O. A quel instant du temps propre de O le rayon réfléchi va-t-il atteindre O? On trouve le même résultat en cinématique galiléenne, mais le temps y est universel! O t2 O t1 D(O) D(A) D(O) et D(A) droites d univers de O et A. En cinématique galiléenne : τ g = τ + v i τ O 0 i E t1 (O) A τ g A 0 τ r En cinématique relativiste : τ r = γ(τ + v i) Avec A 0 O 0 = a i on a dans les deux cas : t 2 = 2t 1 = 2a, temps universel ou temps propre de O 1 v (la vitesse de la lumière étant 1) E 1 (O) E 0 (O) Le temps propre de A en A est t 1 /γ. 3
2. Illustration par un exercice connu Considérons l exercice donné (ainsi que sa solution) dans l ouvrage de J H. Smith (Introduction à la Relativité Masson 1997) page 110 (et page 260) et traitons le vectoriellement ce qui donne des détails supplémentaires. Voici son énoncé : On note que le dessin de l énoncé est relatif à un référentiel fixe R f, lié à un observateur F alors que celui de la solution est relatif à l observateur O qui court sur le sol où F est fixe. Et voici la solution donnée page suivante. 4
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Dans le premier dessin figurant un plan du repère fixe R f, ajoutons les vecteurs ( i, j) (la vitesse de la barre dans ce repère étant cu j et cβ j celle de l observateur mobile O) ainsi que les positions de ce dernier et des extrémités de la barre. Synchronisons les horloges en prenant comme origine des temps propres de ces points mobiles ceux de leurs instants où ils se trouvent dans l espace physique de F (considéré comme observateur galiléen de référence) à l instant initial du temps propre de F. D où les indices "o" dans le dessin représentant le plan utile de l espace physique E 0 (F) de l observateur en F 0. Notons (x, y) les coordonnées dans le repère (F 0, i, j) : x O, x A, x B et x M sont les abscisses de O 0, A 0, B 0, M 0 ; soit h l ordonnée dans ce repère des points M de la barre AB qui va tomber sur le sol le long de la droite (F 0, i) où court l observateur mobile O : la durée pour F de cette chute est h cu. dans E 0 (F) j F 0 i cβ i O 0 M 0 A 0 x B 0 cu j A 0B 0=L Représentons cette chute pour l observateur mobile O à l instant 0. Il convient de se placer dans l espace physique E 0 (O) de cet observateur (d où le second dessin) et d y exprimer la vitesse de la barre. τ, τ, τ étant les quadrivitesses de F,O et d un point de la barre, on obtient les vitesses physiques pour F de O et d un point de la barre en exprimant τ et τ dans la somme directe { Q-orthogonale Rτ E τ : τ = γ(τ + cβ i) avec γ 2 (1 β 2 ) = 1, γ > 1, τ = γ (τ cu j) avec γ 2 (1 u 2 ) = 1, γ > 1. Il faut exprimer τ dans Rτ E τ pour en déduire la vitesse physique de la barre par rapport à O. Or le plan [τ, τ ] contient le vecteur i unitaire et Φ-orthogonal à τ et un seul vecteur i unitaire, Φ-orthogonal à τ tel que Φ( i, i ) < 0 : ( i = γ i + β ) c τ et on a : τ = γ(τ cβ i ), i = γ( i β c τ ). On en déduit l expression de τ à l aide de τ, i et j ( j est Φ-orthogonal à τ car il l est à τ et i) τ = γγ (τ cβ i cu γ ) j. Ainsi v = cβ i cu γ j est la vitesse de la barre pour l observateur O. Pour O, les divers événements se trouvent dans son espace physique E 0 (O), à l instant 0 de son temps propre, en les traces de leurs lignes d univers sur E t (O) : F y est à l instant t de son temps propre tel que O 0 F t E τ (vecteur Φ-orthogonal à τ ) : O 0 F t = x 0 i + tτ = x 0 γ( i β c τ ) + tγ(τ cβ i ) t = x 0 β/c et O 0 F = x 0 γ(1 β 2 ) i = x 0 i /γ en notant F ce point F x0 β/c. Le point M de la barre y est à l instant t de son temps propre de sorte que O 0 M t E τ : 6
O 0 M t = O 0 M 0 + M 0 M t = (x M x 0 ) i + h j + tτ = (x M x 0 )γ( i β c τ ) + h j + tγγ (τ cβ i cu γ j [ = γ tγ β(x M x 0 ) ] [ τ γ cβγ t (x M x 0 )] i + (h cuγ t) j c Pour t = β(x M x 0 ), M est en M de E 0 (O) selon γ c O 0 M = (x M x 0 )(γ γβ 2 ) i + soit = x M x 0 i + γ x M i + y M j d où le dessin pour O 0 : [ h βu(x M x 0 )] j [ h βu(x M x 0 )] j Equation de la droite AB : dans E 0 (O) -cβ j i i F O 0 cβ i A v (cu/γ) j O 0 M B y =h γ β u x α = ( i, A B ) : tg α = γβu Pour O, B atteint le sol avant A car x B > x A donc y B < y A. Évaluons l intervalle de temps (propre de O) séparant ces deux arrivées. Notons que A B =L 1 β 2 + β 2 u 2 < L. M arrive au sol au bout du temps (propre de O) t M tel que [ ] O 0 M + t M v soit colinéaire à i : cu h βu(x M x 0 ) t M γ = 0 t M = γ [ ] h βu(x M x 0 ) cu d où t A t B = γβ c (x B x A ) soit γβ L, la distance des deux points de chute (pour O) étant c L/γ + γβ 2 L = γl > L. Considérons le produit scalaire A B. v ; avec L=AB, L =A B, puisque A B = L γ i βul j A B 1 [. v = L cβ v γ L + cu2 β ] γ L = βcl L v γ (u2 1) < 0 L angle de ces vecteurs est obtus et tend vers un angle droit si u 1 c est à dire si la vitesse de chute de la barre tend vers celle de la lumière si u 1 : cu j = cu c et v = c 2 β 2 + c 2 u 2 /γ 2 = c β 2 + u 2 (1 β 2 ) c. En cinématique galiléenne (temps et espace physique universels), la barre semble tomber horizontalement pour un observateur en mouvement. Avec les mêmes notations, on peut repérer, par rapport à l observateur mobile O, dans l espace affine usuel de l espace physique universel un point M de la règle à un instant t selon : O(t) = O 0 + cβt i, M(t) = M 0 cut j d où avec toujours O 0 M 0 = x M i + h j : O(t)M(t) = x M i + h j c(β i + u j)t, A(t)M(t) = (x M x A ) i v = c(β i + u j) étant la vitesse de la barre (qui reste horizontale car A(t)B(t)// i) par rapport à l observateur mobile O, barre atteignant le sol au bout du temps h cu. Et l angle θ de la barre (dirigée selon AB) avec la direction de la vitesse est obtus car 7
cos θ = v. i v = β β 2 + u 2 et tend vers un angle droit si la vitesse de la barre tend vers l infini... Extraits d ouvrages usuels d enseignement 1. M. Hulin, N. Hulin, J-L. Moussa Relativité restreinte (Dunod 1992) 2. M. Cissoko Relativité restreinte (Armand Colin 1994) 3. P. R. Girard Quaternions, algèbre de Clifford et physique relativiste (Presses polytechniques et universitaires romandes 2004) 4. J-L. Robin Intoduction à la relativité (Diderot 1997) 5. J. Hladik Intoduction à la Relativité générale (Ellipses 2006) Fig. 1 Selon Hulin et Cie 8
Fig. 2 Selon Cissoko 9
Fig. 3 Selon Girard 10
Fig. 4 Selon Bobin 11
Fig. 5 Selon Hladik (début) 12
Fig. 6 Selon Hladik (suite et fin de l extrait) 13