TRIANGLES ET PARALLELES (DROITE DES MILIEUX - PROPRIETE DE THALES) I- Droite passant par les milieux de deux côtés : Soit ABC un triangle, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC] Alors (MN) est parallèle à (BC) Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. II- Droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté: Soit ABC un triangle, M le milieu de [AB et N le point d'intersection de [AC] et de la parallèle à (BC) passant par M Alors N est le milieu de [AC] Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. III- Segment joignant les milieux de deux côtés : Soit ABC un triangle, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC] Alors MN = Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. BC 2 1
IV - Propriété de Thalès : 1) Propriété : Soit ABC un triangle, M un point de [AB], N un point de [AC] tels que (MN) soit parallèle à (BC) Alors: Cette propriété porte de nom de propriété de Thalès 2) Exemple d'utilisation: Soit DEF un triangle, I un point de [DE], J un point de [DF] tels que (IJ) soit parallèle à (EF) On suppose que: DE = 4, 8 cm ; DF = 5,6 cm EF = 6,4 cm ; DI = 3 cm Calculer DJ et IJ Dans le triangle DEF I est un point de [DE], J un point de [DF] et (IJ) et (EF) sont parallèle, donc d'après la propriété de Thalès: Remarque: pour les deux dernières lignes ci-dessus, on a utilisé le fait que deux fractions sont égales si les produits en croix sont égaux. 2
V- Exercices: Exercice 1: Soit RST un triangle, U le milieu de [RT], V le milieu de [ST] Montrer que (UV) est parallèle à (RS) Exercice 2 : Soit DEF un triangle, G le milieu de [DE], d la parallèle à (DF) passant par G, H le point d'intersection de d et [EF] Montrer que H est le milieu de [EF] Exercice 3 : Soit LMN un triangle tel que LM = 4,8 cm; LN = 5,2 cm; MN = 3,8 cm On appelle I le milieu de [LM] et J le milieu de [LN] Calculer IJ Exercice 4 : Exercice 5 : Soit ABC un triangle tel que AB = 2,4 cm; AC = 3 cm; BC = 3,9 cm On appelle K le symétrique de A par rapport à B et L le symétrique de A par rapport à C Calculer KL Soit DEF un triangle, M, N, P, les milieux respectifs de [DE], [DF] et [EF] Montrer que DNPM est un parallélogramme. 3
Exercice 6 : Soit ABC un triangle, D un point de [BC], M, N, P, les milieux respectifs de [AB], [AD] et [AC] Montrer que M, N, P sont alignés Exercice 7 : Exercice 8 : Soit ABCD un trapèze de bases [AB] et [DC] avec AB= 3,8 cm et DC = 10,4 cm On appelle E, F, G les milieux respectifs de [AD], [AC], [BC] 1) Montrer que E, F, G sont alignés 2) Calculer EG Soit LMNO un quadrilatère, H, I, J, K les milieux respectifs de [LM], [MN], [NO], [OL] Montrer que HIJK est un parallélogramme. Exercice 9 : Soit RST un triangle, U un point de [ST], V un point de [RT], tels que (UV) et (RS) soient parallèles. On suppose que ST = 4 cm; VT = 4,4 cm RT = 5,5 cm: RS = 4,8 cm (La figure ci-dessus n'est pas aux vraies dimensions) Calculer TU et UV 4
Exercice 1: DROITE DES MILIEUX - PROPRIETE DE THALES CORRECTION DES EXERCICES Dans le triangle RST: U est le milieu de [RT] et V le milieu de [ST] Donc: (UV) est parallèle à (RS) car: Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté Exercice 2 : Exercice 3 : Exercice 4 : Exercice 5 : Dans le triangle DEF: G le milieu de [DE], d est parallèle à (DF) Donc: H est le milieu de [EF] car: Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Dans le triangle LMN: I le milieu de [LM] et J le milieu de [LN] MN 3, Donc IJ = = = 1,9 cm 2 28 car: Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté Dans le triangle AKL: B est le milieu de [AK] et C le milieu de [AL] Donc: KL = BC x 2 = 3,9 x 2 = 7,8 cm car: Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté Dans le triangle DEF: M est le milieu de [DE] et P le milieu de [EF] Donc (MP) est parallèle à (DF) car: Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Dans le triangle DEF N est le milieu de [DF] et P le milieu de [EF] Donc (PN) est parallèle à (DE). Comme (MP) est parallèle à (DF) et (PN) est parallèle à (DE) 5
alors DNPM est un parallélogramme Exercice 6 : Dans le triangle ABD: M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AD] Donc (MN) est parallèle à (BD) car: Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Dans le triangle ADC N est le milieu de [AD] et P le milieu de [AC] Donc (NP) est parallèle à (DC). (MN) et (NP) sont toutes deux parallèles à (BC) et passent toutes deux par N. Or il n'existe qu'une seule parallèle à une droite donnée passant par un point donné. Donc MN) et (NP) sont confondues. Donc M, N, P sont alignés 6
Exercice 7 : 1) Dans le triangle ADC: E est le milieu de [AD] et F le milieu de [AC] Donc (EF) est parallèle à (DC) car: Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Dans le triangle ABC F est le milieu de [AC] et G le milieu de [BC] Donc (FG) est parallèle à (AB) Comme ABCD est un trapèze, (AB) est parallèle à (DC) Donc, comme (FG) est parallèle à (AB), alors (FG) est aussi parallèle à (DC) Donc (EF) et (FG) sont toutes deux parallèles à (DC) et toutes deux passent par F. Or, il existe une seule droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée. Donc (EF) et (FG) sont confondues. Donc E, F, G sont alignés 2) Dans le triangle ADC: E est le milieu de [AD] et F le milieu de [AC] DC 10, Donc EF = = = 5,2 cm 2 24 car: Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Dans le triangle ABC F est le milieu de [AC] et G le milieu de [BC] AB 3, Donc FG = = = 1,9 cm 2 28 Comme E, F, G sont alignés, on a EG = EF + FG Donc: EG = 5,2 + 1,9 = 7,1 cm 7
Exercice 8: Dans le triangle LMN: H est le milieu de [LM] et I le milieu de [MN] Donc (HI) est parallèle à (LN) car: Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Dans le triangle OLN J est le milieu de [ON] et K le milieu de [OL] Donc (JK) est parallèle à (LN) Comme (HI) et (JK) sont toutes deux parallèles à (LN) alors (HI) et (JK) sont parallèles Dans le triangle LMO: H est le milieu de [LM] et K le milieu de [OL] Donc (HK) est parallèle à (MO) Dans le triangle OMN J est le milieu de [ON] et I le milieu de [MN] Donc (IJ) est parallèle à (MO) Comme (HK) et (IJ) sont toutes deux parallèles à (MO) alors (HK) et (IJ) sont parallèles Comme (HI) est parallèle à (JK) et (HK) est parallèle à (IJ) alors HIJK est un parallélogramme 8
Exercice 9 : Dans le triangle RST, U est un point de [ST], V un point de [RT], et (UV) et (RS) sont parallèles. Donc, d'après la propriété de Thalès: 9