Chapitre 3 Fiche n 3 : Exercices Exercice 1 : Construire un pavage du plan à partir des figures suivantes : a) Un triangle équilatéral b) Un quadrilatère quelconque Exercice 2 : 1) Montrer qu'on peut «loger» des carrés entre des octogones. Analyser le pavage (éléments de symétrie, translations laissant le pavage invariant,...) 2) a) Examiner le pavage suivant, extrait d'un motif du «temple de Diane» à Nîmes. b) Extraire le motif de base de ce pavage. Exercice 3 : (Pavage du Caire) Le but est de construire le pavage ci-contre. Constructions du motif de base : Le motif est un pentagone ABFCE ayant ces cinq côtés égaux et deux angles droits en F et E, que l'on trouve, au Caire, dans l'art islamique. 1) Tracer un segment [AB], et sa médiatrice passant par son milieu K. 2) A partir de K dessiner les deux bissectrices faisant des angles de 45 avec cette médiatrice. 3) Le cercle de centre A, passant par B, rencontre une des bissectrices en E et par symétrie le cercle de centre B, passant par A, rencontre l'autre bissectrice en F. 4) La perpendiculaire en E à (AE) coupe la médiatrice en C. Le point F est le symétrique de E par rapport à [KC]. Justification de la construction du point E : Par construction, nous avons : AB = AE L angle en E est un angle droit Nous allons montrer que nous avons bien un pentagone ayant chaque côté de même mesure, en montrant que AE = EC. 1) En considérant les triangles AKC et ACE, démontrer que les points A, K, C et E appartiennent à un même cercle. 2) Démontrer que les angles EAC et EKC sont de même mesure. De même pour les angles ECA et EKA. 3) En déduire la nature précise du triangle AEC. 4) Conclure. Par symétrie, on justifie de même la construction du point F.
Construction de du pavage : Pour compléter le pavage, on utilise les trois transformations suivantes : rotation de centre F et d'angle +90 notée r rotation de centre E et d'angle -90 notée r' symétrie d'axe (AB) notée s Répondre aux questions suivantes en justifiant clairement (éventuellement : nommer des points sur la figure cicontre) : 1) Quelle est l'image de C par r? par r'? par s? 2) Si F' est l'image de F par s, si I est le milieu de [BF] et I' son image par s, I' est-il le milieu de [BF']? Pavage par translations: On sait qu'un pavage recouvre le plan tout entier, grâce à des translations. Tracer sur le pavage ci-dessus la figure élémentaire et les deux translations, dont une de vecteur de direction horizontale, qui permettent de recouvrir tout le plan à partir de cette figure. Exercice 4 : Autre activité de découverte : Soit ABC un triangle et (h) la hauteur issue de C. (h) coupe [AB] en H. On pose : a : la longueur de [BC] b : la longueur de [AC] c : la longueur de [AB] 1) Dans le triangle BHC, exprimer HC² en fonction de BH et BC. 2) Dans le triangle AHC, exprimer HC² en fonction de AH et AC. 3) Exprimer AH en fonction de AC et de A. 4) Exprimer HB en fonction de AB et AH. 5) A l aide des questions 1 à 4, exprimer a² en fonction de b, c et A. 6) De même généraliser : b² en fonction de a, c et B, et c² en fonction de b, a et C. Ces formules sont appelées les formules d Al Kashi Application : 1. Construire un triangle tel que AC = 3 ; AB = 6 et A = 30 2. Déterminer la valeur exacte de BC, puis une valeur approchée à 0,1 près. Cas particulier : Si A = 90, que devient la relation trouvée au 5). Comment se nomme cette relation? Exercice 5 : Déterminer tous les angles du motif de base de l'exercice 3 (pentagone ABFCE) en considérant que AB = 1.
Exercice 6 : ABC est un triangle. Dans chacun des cas suivants, calculer les longueurs des côtés et les mesures des angles manquants : 1) AB = 8 ; AC = 3 ; BAC = 60 2) AB = 48 ; AC = 43 ; BC = 35 3) AB = 3 ; BC = 4 ; ABC = 45 4) AB = 20 ; AC = 28 ; BC = 32 Exercice 7 : (Pavage de Penrose) Les pavés de Penrose ont la forme d un losange ABCD dont la longueur des côtés est 1 et dont un angle intérieur fait 72. On situe un point P sur la diagonale [AC] à une distance 1 du sommet C. De ce point partent les deux segments [PB] et [PD] rejoignant les deux autres sommets du losange, comme le montre la figure ci-dessous. Les deux pavés ainsi formés sont appelés fer de lance et cerf-volant. 1. Calculer les mesures en degrés de ABP, APB et BPC. 2. Calculer la longueur du segment [BP] à 0,001 près. 3. Calculer l aire d un fer de lance et d un cerf-volant `a 0,01 près. Exercice 8 : On veut construire une belle encoignure dans un des coins d'une pièce. L'angle est obtus à vue de nez. Comment faire pour mesurer précisément cet angle avec un mètre et un crayon à papier? Principe : A partir du point C, il suffit de marquer deux points A et B sur les plinthes des murs formant le coin de la pièce, et de mesurer les longueurs des côtés du triangle ABC Déterminer l'angle ACB en utilisant les mesures du dessin ci-contre.
Exercice 9 : Exercice du bac de juin 2015
Exercice 10 : Exercice du bac Antilles juin 2014