SESSION 26 CONCOURS NAIONA DEUG Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MECANIQUE PARIE I Durée : 2 heures PARIE I es calculatrices sont autorisées. NB : e candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. Avertissement : ous les résultats numériques sont demandés dans un format scientifique avec une précision au millième (exemple :,623. -3 ) et en unité S.I., unité qui est à préciser. Exercice : Satellites sélénostationnaires y θ y x x a lune de masse M décrit autour de la terre une orbite circulaire de rayon a et de centre. a masse de la terre est km. e référentiel R est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère (, x, y, z). e référentiel R est associé à la terre. On note R le référentiel rapporté au repère orthonormé direct ( x,, y, z) tel que z = z. e repère a ( x,, y, z), lié rigidement à la lune, se déduit à chaque instant de (, x, y, z) par une rotation d angle θ autour de l axe z. On négligera l influence de tous les astres autres que la terre et la lune. On note G la constante de gravitation universelle.. En appliquant le théorème de la résultante cinétique à la lune en projection sur l axe x, déterminer la vitesse de rotation et M. ω =θ de la lune autour de la terre en fonction de a, k, G /5
.2 En considérant une particule de masse m située sur l axe à la distance x de la lune, déterminer la position x du point d équigravité du système terre-lune (point où les champs de gravitation de la lune et de la terre ont même intensité) en fonction de k et a..3 Application numérique : Calculer x pour a = 384 4 km et k = 8. y y 2 x 2 On se propose de réaliser un satellite S sélénostationnaire, c est-à-dire immobile par rapport à la surface de la lune. On note R 2 le référentiel rapporté au repère orthonormé direct ( S, x2, y2, z2) tel que z 2 = z. r θ 2 S x e repère ( S, x2, y2, z2), lié rigidement au satellite S, se déduit à chaque instant de ( x,, y, z) par une rotation d angle θ 2 autour de l axe z. On note m la masse du satellite S..4 a lune possède la même période de révolution autour de la terre que sur elle-même. En déduire une relation simple entre ω et la vitesse de rotation la lune. ω =θ 2 2 du satellite S autour de.5 En considérant que le référentiel R est galiléen et en supposant que l on puisse négliger l attraction terrestre, déterminer le rayon r de l orbite du satellite S sélénostationnaire en fonction de k et a..6 Application numérique : Calculer r pour a = 384 4 km et k = 8..7 Que peut-on en conclure? P P 2 x a Dans la suite de l exercice, on ne néglige plus l attraction terrestre. Il existe sur la droite () 2 points P et P 2 tels qu un satellite S de masse m placé en P ou en P 2 accompagne la lune dans son mouvement autour de la terre en restant à une distance constante de la terre et de la lune. On pose les distances P = xa et P2 = x2a. 2/5
.8 Déterminer les équations que vérifient x et x 2..9 En considérant que x et x 2 sont petits devant, déterminer complètement x et x 2.. Application numérique : Calculer les distances P et P 2 pour a = 384 4 km et k = 8. Brusquement, la lune perd sa vitesse orbitale et se met à chuter vers la terre en utilisant une trajectoire elliptique.. A l aide d une loi de Kepler que vous expliciterez, déterminer la durée t de la chute en fonction de..2 Application numérique : Calculer la durée de la chute t pour = 27 jours 7 h 43 min s. Exercice 2 : Etude d un moteur électrique y y x Stator Rotor y Poulie 2 Poulie 2 O A θ x z O A Vue de face Bâti Vue de coté Un moteur électrique est constitué de 2 parties : - un stator qui est lié rigidement au bâti et qui reste fixe au cours du temps - un rotor qui est généralement animé d un mouvement de rotation. e système (S) étudié ici est constitué du rotor et d une poulie 2 de rayon R. e stator entraîne le système (S) en rotation autour de l axe. e système (S) possède une inertie J Oz par rapport à l axe Oz. e référentiel terrestre R est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère ( Ox,, y, z). e référentiel R est associé au stator. On note R le référentiel rapporté au repère orthonormé direct ( Ox,, y, z) tel que z = z. e repère ( Ox,, y, z), lié rigidement au système (S), se déduit à chaque instant de ( Ox,, y, z) par une rotation d angle θ autour de l axe Oz. On s intéresse tout d abord au démarrage à vide du moteur. On désire que la vitesse de rotation ω =θ du système (S) par rapport au stator atteigne la vitesse de fonctionnement ω f en un nombre de tours N. 3/5
2. En supposant que le mouvement est uniformément accéléré au cours de cette phase, déterminer l accélération angulaire ω en fonction de ω f et de N. 2.2 En appliquant le théorème du moment cinétique en projection sur l axe Oz au système (S), déterminer le couple C d nécessaire au démarrage du système (S) en fonction de ω f, N et J Oz. 2.3 Application numérique : Calculer l accélération angulaire ω et le couple C d si ω f = 34rd/s, N = 8 tours et J Oz =,68 kg.m 2. On étudie maintenant le démarrage en charge du moteur. e stator exerce sur le système (S) un couple constant Cd = Cdz. es liaisons n étant pas parfaites, il existe du frottement qui exerce sur le rotor un couple résistant Cf = Cf z. D autre part, la poulie 2 entraîne une courroie. a courroie exerce donc au point A un effort tangentiel = x sur la poulie 2. 2.4 Déterminer le couple C P engendré par la courroie sur la poulie au point O. 2.5 En utilisant le théorème du moment cinétique en projection sur l axe, déterminer l accélération angulaire ω 2 lors du démarrage en charge du moteur en fonction de J Oz, C d, C f, et R. 2.6 En déduire la durée t nécessaire pour que le moteur atteigne sa vitesse de fonctionnement ω f. 2.7 Application numérique : Calculer la durée de démarrage t pour C d = 7,8 mn, C f =,6 mn, = 78 N et R = 7 mm. 2.8 Que devient le couple moteur au moment où la vitesse de rotation atteint la vitesse de fonctionnement ω? f Exercice 3 : De l eau dans le diesel diesel H h d h e e principal danger pour les nouveaux moteurs diesel (HDI, DI, ) est une forte présence d eau dans le carburant. indication de remplissage d un réservoir de carburant est proportionnelle à la pression mesurée par une jauge placée au fond du réservoir. eau, de densité plus élevée que le diesel, vient se loger au fond du réservoir, faussant ainsi la mesure prise par la jauge. e réservoir possède une hauteur totale H. 4/5
On note ρ e la masse volumique de l eau, ρ d la masse volumique du diesel, g l accélération de la pesanteur et p a la pression atmosphérique. 3. Déterminer la pression p max indiquée par la jauge lorsque le réservoir est rempli uniquement de diesel en fonction de p a, ρ d, g et H. 3.2 e réservoir contient maintenant de l eau sur une hauteur h e, déterminer en fonction de ρ e, ρ d, h e et H quelle est la hauteur h d de diesel pour laquelle la jauge indique le plein du réservoir. h 3.3 Application numérique : Calculer le taux de remplissage = d pour H = 25 mm, H h e = 8mm, ρ e = kg/m 3 et ρ d = 846 kg/m 3. Fin de l énoncé 5/5