COURS DE MÉCANIQUE DU SOLIDE Par I.Mrani Année 2015-2016
Plan du cours Géométrie vectorielle Les torseurs Cinématique du solide Cinématique de contact de deux solides Cinétique du solide Principe fondamentale de la dynamique
I Les vecteurs I.1 Définitions a) Les vecteurs liés Un vecteur lié est un couple de deux points (A,B) noté Ce couple ordonné de deux points est défini par : son support (droite Δ) son point d application A son sens (de A vers B) son module (distance de A à B) AB x A Composantes de A dans le repère R : A" y A z A x B Composantes de B dans le repère R : B" y B z B x AB = x B x A Composantes de AB dans le repère R : AB " y AB = y B y A z AB = z B z A
Propriétés : Deux vecteurs liés sont équipollents s ils ont même sens et même module. Un vecteur nul est un vecteur dont toutes les composantes sont nulles. Remarque : l équipollence est une relation d équivalence. Réflexivité : AB = AB Symétrie : AB = CD CD = AB Transitivité : AB = CD CD = EF 0 AB = EF a) Les vecteurs libres L ensemble des vecteurs liés équipollents à un vecteur lié, c est à dire la classe d équivalence définie par un de ces vecteurs liés constitue un vecteur libre V. Un représentant est défini par : o o o Son support, Son sens Son module V a Expression du vecteur libre dans le repère R : V " b V = ax + by + cz c
a) Les vecteurs glissants Un vecteur glissant est défini par : - Un vecteur libre V - Un point du support P On le note G (P, V) I.2 calcul vectoriel (Porte sur les vecteurs libres) a) Addition x D V = V D + V E avec V D " y D et V E " z D x E y E x D + x E V " y D + y E z E z D + z E Propriétés de l addition : - Commutativité : V D + V E = V E + V D - Associativité : V D + V E + V G = V D + V E + V G - Elément symétrique : V, V tel que : V + V = 0 - Elément neutre : V, 0 tel que : V + 0 = V
L addition donne à l ensemble des vecteurs libres une structure de groupe commutatif. b) Multiplication par un scalaire Etant donné un vecteur libre V = xx + yy + zz et un scalaire λ, le produit du vecteur V par λ est un vecteur libre V = λxx + λyy +λzz. Propriétés de la multiplication par un scalaire : - Associativité : α βv = αβ V - Elément neutre : V, 1tel que : 1V = V - Distributivité par rapport à la somme vectorielle : α V D + V E = αv D + αv E - Distributivité par rapport à la somme scalaire : α + β V = αv + βv Applications géométriques : - Conditions d alignement : A, B, C alignés k R ; AB = kac - Conditions de parallélisme : V et V sont // k R ; V = kv
c) Produit scalaire Définition : x Etant donné deux vecteurs libres V " y z x et V " y z appelle produit scalaire de V par V le réél : V. V = xx^ + yy^ + zz Propriétés de la multiplication par un scalaire : - Commutativité : V. V = V^. V - Distributivité : V. V D + V E = V. V D + V. V E définis dans la base orthonormée ı, ȷ, k, on - Le produit scalaire n est pas associatif : V. V D. V E V. V D. V E - Associativité quand à la multiplication par un scalaire : αv. V = V. αv - Carré scalaire : VV = x E + y E + z E - On appelle longueur ou norme d un vecteur le nombre V = x E + y E + z E Applications : Deux vecteurs non nuls V D et V E sont si V D. V E = 0 Cosinus de deux vecteurs : cosα = cd.ce cd ce
d) Produit vectoriel On appelle produit vectoriel de V et V le vecteur libre G = V V. Le vecteur G est tel que : - Direction de G est à V et à V - Le sens de G est tel que le trièdre G, V, V est direct. - Le module de G : = V V sinα avec α = V, V Propriétés du produit vectoriel - Le produit vectoriel n est pas commutatif : V V^ = V V - Multiplication par un scalaire : λv V^ = λ V V^ - Le produit vectoriel nul : V V^ = 0 i si V = 0 ou V = 0 V V^ V = kv - Double Produit vectoriel : V D V E V G = V E. V D. V G V G. V D. V E - Distributivité par rapport à la somme vectorielle : V D V E + V G = V D V E + V D V G - Composantes du produit vectoriel : V V^ = yz^ zy^ ı + zx^ xz^ ȷ + xy^ yx k Application géoémtrique : sinα = cd. ce cd ce
Aire du parallélogramme : Air du parallélogramme OABD = OA OB d) Produit mixte Définition : On appelle produit mixte de trois vecteurs V D, V E, V G le nombre réel défini par : V D, V E, V G = V D. V E V G Propriétés : - Si le trièdre V D, V E, V G est direct, le produit mixte est positif, - Le produit mixte est invariant par permutation circulaire : V D, V E, V G = V G, V D, V E - Le produit mixte change de signe si on échange deux vecteurs : V D, V E, V G = V D, V G, V E - Le produit mixte est nul si : o o Les trois vecteurs son coplanaire Deux vecteur sont parallèles. Interprétation géométrique : Le module de V D, V E, V G représente le volume du Parallélogramme.
f) Division vectorielle Objectif : résoudre l équation : A X = B (1) 1. Si A et B ne sont pas perpendiculaires : pas de solution 2. Si A. B = 0 et A 0, B 0 a) Soit X o A tel que A X o = B A A X o = A B A. A. X o X o. A. A = A B X o = d e d p b) Soit X quelconque solution de (1) A X X o = 0 (2) A 0, X X o, l équation (2) a une solution si : X X o = λa Donc la solution générale de (1) est : 1. Résumé des solutions : X = A B A E + λa avec λ R A. B 0 pas de solution A. B = 0 A = 0 t B = 0 tous les vecteurs de E G sont solution B 0 pas de solution
A. B = 0 A 0 t B 0 X = X o + λa B = 0 X o = 0, X = λa Interprétation géométrique B A O Δ X λa X o
V g) Moment d un vecteur glissant PM D V = PM E V Le produit : PM V est un vecteur libre indépendant de M Δ (support de V) Définition : Le champs de vecteurs qui à tout point M de E G fait correspondre le M E M D (Δ) P Vecteur PM V est le moment en P du vecteur glissant V,M M P, V = PM V Propriété : M P, V = 0 P (Δ) Automomentd un vecteur glissant : V. M P, V = 0 P
g) Coordonnée vectorielle d un vecteur glissant V Définition : A tout vecteur glissant ~ V Δ et un point A on associe les vecteurs (Δ) A V tels que : M A, V = AM V avec V.M A, V = 0 M(A, V) M P, V = 0 P (Δ) Réciproque : Soit γ = AH V AH = ƒ p V (Δ) A γ