Commande des systèmes dynamiques 4. Entrée / Sortie Dr. Ph. Mullhaupt Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) SIE Baccelor IV Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 1 / 4
Contenu 1 Principe de superposition 2 Système linéaire 3 Réponse indicielle 4 Réponse impulsionnelle 5 Produit de convolution 6 Calcul opérationnel 7 Exemple Structure anti-sismique Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 2 / 4
Fonctions du temps Fonction définie pour t = [; [ (valeur nulle pour t < ) Notation : {f(t)} Graphique : f t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 3 / 4
Principe de superposition Principe de superposition Soit un système avec une entrée et une sortie : u y Principe de superposition : pour tout {u 1 (t)} {y 1 (t)} {u 2 (t)} {y 2 (t)} il est vrai que {u(t)} := {u 1 (t) + u 2 (t)} {y(t)} = {y 1 (t)} + {y 2 (t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 4 / 4
Système linéaire Système linéaire Système linéaire entrée-sortie C est un système qui obéit au principe de superposition Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 5 / 4
Réponse indicielle Réponse indicielle Block de base Grâce au principe de superposition, on peut construire tous les signaux de sortie connaissant la réponse à un signal élémentaire. Considérons le signal élémentaire saut unité, ou saut indiciel que l on note {ɛ(t)} ɛ 1.2 1..8.6.4.2 5 1 15 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 6 / 4 t
Réponse indicielle Réponse indicielle La réponse indicielle {r(t)} La réponse indicielle {r(t)} est la sortie {y(t)} lorsque l entrée est un saut indiciel, c.-à-d. lorsque {u(t)} = {ɛ(t)} 1.2 1..8 5 1 15.6.4.5.2 5 1 15 1..2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 7 / 4
Réponse indicielle Réponse indicielle r 5 1 15.5 1. t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 8 / 4
Réponse indicielle Fonction constante par morceaux Elément de base C est la somme de deux sauts unité, mais un est décalé sur la droite {u(t)} = {ɛ(t) ɛ(t h)} u 1..5 5 1 15.5 1. t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 9 / 4
Réponse indicielle Fonction constante par morceaux La sortie... est obtenue par le principe de superposition {y(t)} = {r(t) r(t h)} y 1..5 5 1 15.5 1. t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 1 / 4
Réponse indicielle Fonction constante par morceaux { 3 } {u(t)} = u i (ɛ(t ih) ɛ(t (i + 1)h)) i= (h = 1) u 8 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 11 / 4
Réponse indicielle On applique le principe de superposition... { 3 } {y(t)} = u i (r(t ih) r(t (i + 1)h) i= y 2 5 1 15 2 4 t 6 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 12 / 4
Réponse indicielle Somme des réponses élémentaires 8 2 6 5 1 15 4 2 2 4 5 1 15 6 8 2 6 5 1 15 4 2 2 4 2 4 6 8 1 12 14 6 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 13 / 4
Réponse indicielle Réponses élémentaires y 2 5 1 15 2 4 t 6 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 14 / 4
Réponse indicielle Somme des réponses élémentaires y 2 5 1 15 2 4 t 6 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 15 / 4
Réponse indicielle Produit de convolution Faisons une somme jusqu à la partie entière de t/h (notée [t/h]) [t/h] {u(t)} = u i (ɛ(t ih) ɛ(t (i + 1)h)) i= Divisons et multiplions par h ( h h = 1, cela ne change rien...) [t/h] ɛ(t ih) ɛ(t (i + 1)h) {u(t)} = u i h h i= Passons à la limite lim h, ce qui induit, ih τ,u i u(τ) et h (à droite) devient dτ { t ( ) } ɛ(t τ) ɛ(t τ + h) {u(t)} = u(τ) lim dτ h h Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 16 / 4
Réponse indicielle Impulsion de Dirac Définition {δ(t)} := lim h {ɛ(t)} {ɛ(t h)} h Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 17 / 4
Réponse indicielle Impulsion de Dirac Ci-dessous, ɛ(t) ɛ(t h) h, pour h.1 1 1 1 8 8 8 6 6 6 4 4 4 2 2 2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 h = 5 h = 2 h = 1 1 1 1 8 8 8 6 6 6 4 4 4 2 2 2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 h =.5 h =.25 h =.1 h >, t >, t ɛ(τ) ɛ(τ h) dτ = 1 h t δ(τ)dτ = 1 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 18 / 4
Réponse indicielle Identité neutre En partant de la dernière identité { t ( ) } ɛ(t τ) ɛ(t τ + h) {u(t)} = u(τ) lim dτ h h on aboutit à l identité neutre { t {u(t)} = } u(τ)δ(t τ)dτ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 19 / 4
Réponse impulsionnelle Réponse impulsionnelle Définition Lorsque {u(t)} = {δ(t)}, la réponse impulsionnelle {g(t)} est la sortie {g(t)} := {y(t)} 1..5 {δ(t)} 2. 4 6 8 1 12 14.5 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 2 / 4
Réponse impulsionnelle Construction progressive de la réponse impulsionnelle Ci-dessous, r(t) r(t h) h, pour h.1 1. 1. 1..5.5.5 5 1 15 5 1 15 5 1 15.5.5.5 1. 1. 1. h = 5 h = 2 h = 1 1. 1. 1..5.5.5 5 1 15 5 1 15 5 1 15.5.5.5 1. 1. 1. h =.5 h =.25 h =.1 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 21 / 4
Produit de convolution Produit de convolution On reprend l identité neutre... { t {u(t)} = } u(τ)δ(t τ)dτ...et on applique le principe de superposition { t } {y(t)} = u(τ)g(t τ)dτ Définition du produit de convolution (valable {u(t)}) { t } {y(t)} = {u(t)} {g(t)} := u(τ)g(t τ)dτ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 22 / 4
Produit de convolution Propriétés du produit de convolution Commutatif {a(t)} {b(t)} = {b(t)} {a(t)} Associatif {a(t)} ({b(t)} {c(t)}) = ({a(t)} {b(t)}) {c(t)} Distributif par rapport à l addition {a(t)} ({b(t)} + {c(t)}) = {a(t)} {b(t)} + {a(t)} {c(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 23 / 4
Calcul opérationnel L opérateur neutre 1 Il représente un système qui ne modifie pas le signal d entrée {u(t)}. {u(t)} 1 {u(t)} En comparant la formule générale { t } {y(t)} = u(τ)g(t τ)dτ = {u(t)} {g(t)} à l identité neutre { t {u(t)} = on obtient l expression } u(τ)δ(t τ)dτ = {u(t)} {δ(t)} 1 = {g(t)} = {δ(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 24 / 4
Calcul opérationnel L opérateur intégral i Il représente l intégrale du signal d entrée {u(t)}. {u(t)} i { t u(τ)dτ} En comparant la formule générale { t } {y(t)} = u(τ)g(t τ)dτ = {u(t)} {g(t)} à la sortie intégrale du signal d entrée { t } {y(t)} = u(τ)dτ = {u(t)} {ɛ(t)} on obtient l expression i = {g(t)} = {ɛ(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 25 / 4
Calcul opérationnel L opérateur d (inverse de i) Définition Théorème d i = i d = 1 d {f(t)} := {f (t)} + f() Démonstration {f(t)} {f()} = { t {f(t)} i f() = i {f (t)} } f (τ)dτ {f(t)} = i {f( (t)} + i f() d {f(t)} = {f (t)} + f() (on a utilisé {f()} = i f() et d i = 1) Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 26 / 4
Calcul opérationnel Notation abrégée Attention! On a plongé les nombres dans l espace des opérateurs. Ainsi on ne distingue pas 1 de 1{δ(t)} = 1. 1 := 1{δ(t)} = {δ(t)} = 1 De même, on ne distingue pas le nombre 3 de 3{δ(t)} 3 := 3{δ(t)} A ne pas confondre... 3 = 3{δ(t)} {3} = {3ɛ(t)} = 3{ɛ(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 27 / 4
Calcul opérationnel Discontinuité due à la condition initiale n est pas l inverse de d d dt dt ( 1 1 sin(t) + 2 ) = 1 1 cos(t) car 1 1 cos(τ)dτ = 1 1 sin(t) 1 1 sin(t) + 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 28 / 4
Calcul opérationnel Discontinuité due à la condition initiale d est l inverse de i pour { } { } { } 1 1 1 d 1 sin(t) + 2 = 1 cos(t) + 2 = 1 cos(t) + 2{δ(t)} = = = ({ 1 i 1 cos(t) { } 1 1 sin(t) { } 1 1 sin(t) { 1 1 sin(t) + 2 } + 2 i + 2{ɛ(t)} } ) + 2{δ(t)} On retrouve la condition initiale de manière correcte! Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 29 / 4
Calcul opérationnel Pas de diviseur de zéro (anneau intègre) Th. de Titchmarsh Si {a(t)} {b(t)} = {} alors nécessairement {a(t)} = {} ou/et {b(t)} = {} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 3 / 4
Calcul opérationnel Construction du corps de fraction S il n y a pas de diviseur de zéro (anneau intègre) on peut construire un corps de fraction associé. Il suffit d écrire par convention une barre de fraction et de s accorder sur les règles suivantes : {a(t)} {b(t)} + {c(t)} {d(t)} {a(t)} 1 := {a(t)} {d(t)} + {c(t)} {b(t)} {b(t)} {d(t)} := {a(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 31 / 4
Calcul opérationnel Utilité pour la résolution des équations différentielles d {e αt } = {αe αt } + 1 = α{e αt } + 1 {e αt } = 1 d α Correspondance...... entre la fonction {e αt } et l opérateur 1 d α Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 32 / 4
Calcul opérationnel Table de correspondances (égalité) opérateur fonction graphique a d α α < {ae αt } a d α α > {ae αt } ad d 2 +ω 2 {a cos(ωt)} aω d 2 +ω 2 {a sin(ωt)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 33 / 4
Calcul opérationnel Table de correspondances (égalité) opérateur fonction graphique a(d α) (d α) 2 +ω 2 α > {ae αt cos(ωt)} a(d α) (d α) 2 +ω 2 α < {ae αt cos(ωt)} aω (d α) 2 +ω 2 α > {ae αt sin(ωt)} aω (d α) 2 +ω 2 α < {ae αt sin(ωt)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 34 / 4
Exemple Structure anti-sismique Immeuble : réponse impulsionnelle d 4 4 3 2 1 5 1 15 2 1 t 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 35 / 4
Exemple Structure anti-sismique Modèle (rappel) m d 1 = k(d d 1 ) + k(d 2 d 1 ) bd 1 m d 2 = k(d 1 d 2 ) + k(d 3 d 2 ) bd 2 m d 3 = k(d 2 d 3 ) + k(d 4 d 3 ) bd 3 m d 4 = k(d 3 d 4 ) bd 4 Valeurs numériques {d (t)} = {δ(t)}, k = 1, b = 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 36 / 4
Exemple Structure anti-sismique Réponse impulsionnelle 16 {d 4 (t)} = d 8 + 2d 7 + 141.5d 6 + 21.5d 5 + 615.6d 4 + 617.5d 3 + 815d 2 + 4.d + 16 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 37 / 4
Exemple Structure anti-sismique Immeuble : 4 composantes (modes) {d 4 (t)} = 6.66667 (d +.25) 2 + 19.9375 + 5.62686 (d +.25) 2 + 46.8834 1.95419 (d +.25) 2 + 7.5793 + 2.99399 (d +.25) 2 + 2.3498 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 38 / 4
Exemple Structure anti-sismique Immeuble : 4 composantes (modes) 2 1 5 1 15 2 1 t 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 39 / 4
Exemple Structure anti-sismique Immeuble : 4 composantes (modes) opérateur fonction graphique 2 1 5 1 15 2 2.99399 (d+.25) 2 +2.3498 {1.953e.25t sin(1.523t)} 1 2 2 1 5 1 15 2 6.66667 (d+.25) 2 +19.9375 { 1.493e.25t sin(4.465t)} 1 2 2 1 5 1 15 2 5.62686 (d+.25) 2 +46.8834 {.822e.25t sin(6.847t) 1 2 2 1 5 1 15 2 1.95419 (d+.25) 2 +7.5793 {.233e.25t sin(8.41t)} 1 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 4 / 4