Des Carrés dans les Nombres Pointés Lycée Saint Joseh de Bressuire () Bilan de l'année scolaire 00/00 Et si Et si =? =? Des Carrés Modulo Définitions: Modulo, on note l'ensemble { ;;;; ; ; } = Plus concrètement: On considère un délacement dans le sens direct sur un cercle d'un quart de tour Au bout de délacements, le tour du cercle est fait, de même au bout de délacements on est
On note F l'ensemble = F = 0;; ; ; ; ; ; { ; + ; + ; + ; ; ; } Modulo, on note l'ensemble = { ; + ; + ; + ; ; ; } On note F l'ensemble F = 0;; ; ;; = { ; + ; + ; + ; ; ; } L'addition se définit dans F ar + y = + y, ar eemle dans F on a + = = De même la multilication se définit ar y = y ar eemle dans F : = 0 = revenu au oint de déart; les ositions ossibles sont notées 0 ;; ; : on note F = 0;; ; Se délacer d'un quart de tour, ou de quarts de tour ou de quart de tour revient au même: on ourrait noter ainsi dans F : = = Avec des délacements d'un siième de tour, on aurait F = 0;; ; ; ; et on ourrait écrire = = ; de même = = De même our les mesures en radians des angles orientés, on retrouve ar eemle que π et π mesurent le même angle modulo π On note π = π modulo π Dans les tables de multilication, le zéro aaraît dans la table, même si les deu nombres multiliés ne sont as Pratiquement: Par eemle dans F, = 0 = en faisant nuls ar eemle dans F : = 0 On avait ensé qu'il ne fallait travailler qu'avec les nombres imairs, mais à cause des calculs dans F où on a trouvé que = 0, seuls les nombres remiers ont été utilisés comme "modulo" la division 0 Premiers calculs: tables d'addition et de multilication Théorème de l'unicité: Dans F = 0;; ; ;; avec remier, dans la table de multilication, chaque nombre ointé sauf 0 est obtenu une fois et une seule dans chaque ligne et chaque colonne Démonstration: voir annee On admet le théorème de Gauss: Si un nombre a divise le roduit bc et si a et b n'ont as de diviseur commun, alors a divise c roriétés ont été trouvées et démontrées Théorème de la remière symétrie: Dans Démonstration: voir annee F, on a ( ) =
Théorème du nombre de carrés non nuls: Le nombres de carrés non nuls différents obtenus dans Démonstration: voir annee F est donné ar la formule * c = Théorème de la somme des carrés: Dans F, on a + + + + Démonstration: voir annee Théorème des uissances: Dans Démonstration: voir annee F, our tout, = 0 our remier suérieur à = D'autres observations ont ermis de faire des roositions que nous n'avons u démontrer à ce jour: Conjecture de Voir annee carré: Pour remier avec = n +, dans F, est obtenu comme carré Conjecture de la deuième symétrie: Pour remier avec = n +, dans F : si y est un carré, alors Ce résultat a été qualifié de "belle conjecture" ar le chercheur Voir annee y est un carré Comme rolongements il est sans doute ossible de: - démontrer les deu roositions récédentes, - conjecturer la condition sur our que a soit un carré dans F, - conjecturer les carrés obtenus dans F
Annee : Unicité Annee : ère symétrie
Dans F = 0;; ; ;; = en utilisant que =[ ] = = = donc ( ) = = Cette démonstration se voit sur la rerésentation de (, ) avec = 0 0-0 - 0 0 0 Annee : nombre de carrés Ce résultat a été trouvé à artir de tableau de ce tye = 0 0 0 Nombre de carrés ) Dans F = 0;; ; ;; avec remier, il y a au maimum carrés différents ) Comme ( ) = il y a au lus carrés, étant imair ) On a = y lorsque - = y 0 c'est à dire lorsque y + y = 0 ce qui est vérifié seulement lorsque y = 0 ou + y = 0 ce qui donne = y ou = y ce qui est imossible en renant 0 < y car y = y = y et y ) Il eiste donc eactement carrés Annee : somme des carrés
La roriété a été conjecturée à artir de tables des carrés comme celles-ci: = 0 Somme = 0 = 0 0 0 Somme = 0 = 0 Somme = 0 ) On a ( ) = = = ( ) et y ) De même + + + + + + = y = + + + ( ) ( ) ( ) ) De lus ar récurrence, on démontre que + + + ( ) = ) (-) est air donc multile de ; si (-) est multile de alors ( ) ( + ) = K, sinon ne eut être que de la forme k+, dans ce cas - est de la forme k+ donc multile de, d'où ( ) ( + ) = K ) donc + + + + ( + )( + ) = + + + ( ) = = K = 0
Annee : uissance (-)ème Annee : carré Des listes des carrés ont été établies: 0 0 0 0 0
La conjecture "lorsque est de la forme n +, Mais le groue n'a as démontré ce résultat Annee : ème symétrie Des listes de carrés ont été calculées = 0 0 0 0 est un carré" a été établie ^ 0 0 0 0 uis ordonnées et rerésentées = 0 0 0 = = = = = =
= = = = = Le groue a conjecturé le résultat suivant, " Pour remier avec = n +, dans F : si y est un carré, alors y est un carré" mais il n'a u le démontrer En guise de conclusion: L'année en question a été la remière année de fonctionnement d'un club MAThenJEANS dans le Lycée Saint Joseh de Bressuire: d'une art nous avions tout à arendre - découverte, ar le chercheur, du rincie, ainsi que des rogrammes et savoir-faire des élèves, - our les élèves, rise en main d'une autre ratique avec de nouvelles étaes, - our les enseignants, heureusement que nous étions trois our réartir un eu les tâches; d'autre art - le chercheur n'a u, our des raisons de santé, nous accomagner jusqu'au bout, - nous n'avons u conduire les élèves jusqu'au terme du arcours (comte-rendu écrit) malgré tout - ce comte-rendu fait ar les enseignants essaie de rendre comte des résultats obtenus, - ce sont bien les élèves qui ont faits les observations et roosé les conjectures, - ce sont évidemment les élèves de terminale qui ont été les lus moteurs our les démonstrations, - la dernière conjecture a été trouvée ar un élève de seconde grâce à une nouvelle rerésentation A roos de cette dernière conjecture voici la réonse du chercheur Un élève, arès avoir rerésenté les carrés obtenus, a remarqué la symétrie des carrés dans certains cas: > "Pour remier et =n+, dans Z/Z : si y est un carré, alors( -y) est aussi un carré" > La démonstration est-elle simle? A jeudi je réonds à ta question Il n'y a as de démonstration simle Et il faut AU MINIMUN le etit théorème de Fermat C'est déjà très bien que l'élève ait remarqué cela! Son assertion est équivalente au fait que - est un carré modulo Si l'on utilise le critère "a est un carré modulo si et seulement si a^{(-)/} est congru à modulo " alors c'est clair car (-)^{(-)/}=(-)^{n}= Encore faut-il démontrer le critère Cela revient à factoriser a^{-}- =[a^{(-)/}-][a^{(-)/}+] d'aliquer le etit théorème de Fermat et de voir que les résidus quadratiques sont racines du remier facteur mais as du second Ca n'est as du tout évident Je réfléchis à une alternative, mais je ne suis as très otimiste C'est déjà très bien si les élèves ont une conjecture étayée ar une table D'autre art, grâce au chercheur, nous avons eu accès au livre de Gauss "Recherches arithmétiques" traduit en français ar Poullet-Delisle, édité chez Courcier Imrimeur de 0,
On trouve ar eemle dans la roosition une condition sur remier our que "+ et - soient nonrésidus" Ce document que les élèves n'ont as utilisé est une mine our continuer sur ce sujet C'est aussi dire que le club n'a rien découvert à ce jour mais l'imortant n'est-il as de articier? En guise d'écho de la art des élèves cette remarque reçue à la rentrée d'une articiante envolée en ostbac : Vous nous avez ermis de faire un voyage etraordinaire et magique dans le monde des mathématiques J'en garde un merveilleu souvenir et souhaite que les générations d'élèves à venir uissent elles aussi toucher au maths "autrement"