AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Session 2012, épreuve 2

AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Session 2012, épreuve 2

2 NOTATIONS ET RAPPELS R désigne l ensemble des nombres réels N désigne l ensemble des entiers naturels Pour tous entiers naturels p et q vérifiant p q, l ensemble n N / p n q} est noté [p, q ] Définition : on dit qu une suite u est périodique à partir d un certain rang si p N, N N, n N, u n+p = u n Dans tout le problème E désigne un espace vectoriel réel de dimension finie que l on munit d une norme notée Sauf contre-indication, les suites étudiées dans ce problème sont à valeurs dans E Pour tout élément x de E et tout réel strictement positif r, B (x, r) désigne la boule ouverte de centre x et de rayon r Pour toute partie A de E, on note A l adhérence de A dans E Si f est une application d un ensemble A vers lui-même et si n est un entier strictement positif, on note f n l application f n = f f }} n fois On pose par convention f 0 = Id A Rappels Définition : soit u = (u n ) n N une suite d éléments de E On dit qu une suite v = (v n ) n N est une suite extraite de la suite u s il existe une application strictement croissante φ de l ensemble N vers lui-même vérifiant v = u φ, c est-à-dire (v n ) n N = ( u φ(n) )n N Définition : soit u une suite de E Un élément l de E est dit valeur d adhérence de cette suite s il est limite d une suite extraite de la suite u Définition équivalente : un élément l de E est valeur d adhérence d une suite u si : Notations ε > 0, N N, n N/ u n l ε On note V (u) l ensemble des valeurs d adhérence d une suite u Pour toute suite u et pour tout entier naturel N, on note T N (u) l ensemble des termes d indice supérieur ou égal à N de la suite u, c est-à-dire : T N (u) = x E / n N, n N, x = u n } On remarquera que T 0 (u) est l ensemble image de la suite u

3 Partie I : Valeurs d adhérence A) Premières propriétés de V (u) On considère une suite u d éléments de E 1 Démontrer que N N, T N (u) = T N (u) V (u) 2 Démontrer que : 3 Vérifier que l ensemble V (u) est un fermé de E ; V (u) = N N un compact non vide si la suite u est bornée T N (u) 4 On considère une suite u bornée telle que V (u) soit fini On note l 0, l 1,, l k les valeurs d adhérence de u Soit ε un réel strictement positif Démontrer qu il existe un entier n 0 vérifiant : k n n 0, u n B (l i, ε) En déduire qu une suite bornée u est convergente si et seulement si V (u) est un singleton Soient u et v deux suites d éléments de E Démontrer qu il existe une suite w vérifiant : i=0 V (w) = V (u) V (v) B) Exemples On dit qu une partie A de E est discrète s il existe un réel r strictement positif vérifiant (a, a ) A 2, a a = a a r On dit qu une suite (u n ) n N est discrète si son ensemble image est une partie discrète de E 6 Démontrer qu une suite discrète convergente est stationnaire 7 Démontrer que si u = (u n ) n N est une suite discrète alors V (u) = T N (u) 8 Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, il existe un unique couple d entiers naturels (p, k) vérifiant : n = 2 p + k avec k < 2 p N N 9 Écrire dans le langage de votre choix, mais en n utilisant pas de fonction «puissance», un algorithme donnant à partir d un entier naturel n non nul, l unique couple d entiers naturels (p, k) 10 On reprend la décomposition vue dans la question 8, et on pose k = k n ainsi que p = p n On définit sur N la suite réelle u par n N, u n = k n Détailler les valeurs de u n pour n compris entre 1 et 20 On présentera les résultats dans un tableau

4 Donner l ensemble des valeurs d adhérence de la suite u 11 Toujours avec la décomposition vue dans la question 8, on définit sur N la suite v par n N, v n = k n 2 pn On considère un réel x appartenant à l intervalle [0, 1[ et un entier naturel n Démontrer que x est une valeur d adhérence de la suite v Déterminer alors V (v) C) Limite inférieure d une suite réelle Pour les questions 12 à 1, on considère une suite réelle bornée u = (u n ) 12 Soit N un entier naturel Justifier l existence de m N = inf T N (u) 13 Démontrer que la suite (m N ) N N est convergente Sa limite est appelée limite inférieure de la suite (u n ) n N et notée liminf n n + Vérifier que inf u liminf n + u n sup u 14 Montrer que liminf n + u n est une valeur d adhérence de la suite u 1 Dans cette question, on compare liminf n + u n, inf V (u) et min V (u) Soit l une valeur d adhérence de la suite u Démontrer que liminf n + u n l Conclure 16 On considère deux suites réelles bornées u = (u n ) n N et v = (v n ) n N telles que, pour tout entier n, u n v n Démontrer que liminf u n liminf v n n + n + 17 On considère deux suites réelles bornées u = (u n ) n N et v = (v n ) n N Comparer les nombres suivants liminf (u n + v n ) et liminf u n + liminf v n n + n + n + et donner au moins un exemple de suites (u n ) n N, (v n ) n N telles que l égalité n ait pas lieu D) Suites à évolution lente On dit qu une suite u = (u n ) n N de E est à évolution lente si lim u n+1 u n = 0 n + 18 Donner un exemple de suite bornée, à évolution lente mais non convergente Le but des questions qui suivent est de montrer que si une suite u est bornée et à évolution lente alors l ensemble V (u) est connexe Nous allons effectuer une preuve par l absurde ; on suppose donc que V (u) n est pas connexe 19 Démontrer qu il existe deux compacts non vides K 1 et K 2 vérifiant K1 K 2 = K 1 K 2 = V (u)

20 Démontrer que la distance entre K 1 et K 2 est strictement positive Elle sera notée a 21 On note Ω 1 = x E/d(x, K 1 ) < a } et Ω 2 = x E/d(x, K 2 ) < a } 3 3 On considère M un majorant de la suite u = ( u n ) Démontrer que est un compact K = B(0, M) \ (Ω 1 Ω 2 ) 22 Démontrer qu il existe une suite extraite de u à valeurs dans K et conclure à l absurdité de l hypothèse initiale Partie II : Valeurs d adhérence de suites itératives On considère une partie compacte K de E, une application continue f définie sur K, à valeurs dans K et enfin une suite récurrente u associée à f, c est-à-dire définie par u0 K, n N, u n+1 = f(u n ) 23 Démontrer que V (u) est invariant par f, c est-à-dire que f (V (u)) = V (u) Pour les questions 24 à 27, le compact K est le segment [0, 1], la fonction f est définie par f : [0, 1] [0, 1] 2x si x [0, 1 c est-à-dire f(x) = 2 ], x 1 2x 1 2(1 x) si x ] 1 2, 1], et u est une suite récurrente associée à f 24 Démontrer que, pour tout x [0, 1], on a l équivalence : x Q f(x) Q Le but des questions 2 et 26 est de montrer que la suite u est périodique à partir d un certain rang si et seulement si le réel u 0 est un nombre rationnel 2 Dans cette question, on suppose que u 0 est un nombre rationnel Il existe donc deux entiers a et b tels que u 0 = a b avec 0 a b, a et b étant premiers entre eux Démontrer que pour tout entier naturel n, le réel u n s écrit sous la forme u n = hn b où h n est un entier naturel inférieur ou égal à b Démontrer qu il existe un entier naturel N et un entier strictement positif p tels que u N+p = u N En déduire que u est périodique à partir d un certain rang 26 On suppose que la suite u est périodique à partir d un certain rang Soit x un réel appartenant au segment [0, 1] Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe deux entiers a n et b n dépendant de x vérifiant En déduire que u 0 est un nombre rationnel f n (x) = a n x + b n 27 Soit p un entier strictement positif On considère la suite u de premier terme u 0 = 2 1 + 2 p Donner les valeurs de u k pour tout entier k compris entre 0 et p Donner l ensemble V (u) des valeurs d adhérence de u On justifiera la réponse

6 Partie III : Force d un point par rapport à une suite Pour les questions 28 à 30, on considère un nombre réel x et une suite réelle u À tout réel strictement positif ε, on associe la suite (H m (x, u, ε)) m N définie par m N, H m (x, u, ε) = Card n [0, m 1]/ x u n < ε }, m où Card A représente le cardinal d un ensemble A Ainsi, H m (x, u, ε) représente la proportion des m premiers éléments de la suite appartenant à la boule ouverte de centre x et de rayon ε 28 Démontrer que la suite (H m (x, u, ε)) m N est bornée On note H(x, u, ε) = liminf m + H m(x, u, ε) 29 Démontrer que l application H(x, u, ) définie par H(x, u, ) : R + R ε H(x, u, ε) admet une limite à droite en 0 que l on note F (x, u) Cette limite est appelée force de x par rapport à la suite u 30 Démontrer que 0 F (x, u) 1 31 Soit u une suite réelle On considère un entier p strictement positif et (p + 1) réels distincts que l on note x 0, x 1,, x p Démontrer que p F (x k, u) 1 k=0 Soit (x k ) k N une suite de réels distincts Démontrer que la série F (x k, u) est convergente avec + F (x k, u) 1 32 On considère dans cette question u une suite réelle convergente vers un réel l Démontrer que En déduire que k=0 F (l, u) = 1 x R \ l}, F (x, u) = 0 33 Démontrer que si un réel a une force strictement positive par rapport à une suite u alors il est valeur d adhérence de cette suite Nous verrons grâce à la question 3 que la réciproque est fausse 34 Donner un exemple d une suite bornée divergente u et d un réel x vérifiant F (x, u) = 1 3 Donner un exemple de suite u ayant une suite de valeurs d adhérence (x k ) k N deux à deux distinctes et vérifiant + F (x k, u) = 0 k=0

7 Partie IV : Algorithme déterminant le nombre de valeurs d adhérence Définition : on appelle liste de réels toute suite finie de nombres réels Par exemple : L = (2; ; 20; 1; 12; 14; 3, 14; 1) À toute liste de réels L = (x 1 ; ; x p ) et à tout réel strictement positif r, on associe G(L, r) l union suivante de segments : G(L, r) = [x i, x j ] ((i,j)/0 x j x i r) On note N (L, r) le nombre de composantes connexes de G(L, r), c est-à-dire le nombre de segments disjoints composant G(L, r) 36 Soit L = (2; ; 20; 1; 12; 14; 3, 14; 1) et r = 2 Donner sans justification G(L, r) et N (L, r) 37 On considère une liste de réels L et un réel r strictement positif Écrire dans le langage de votre choix un algorithme permettant de déterminer N (L, r) On pourra supposer qu on dispose d une fonction permettant de trier les éléments d une liste par ordre croissant Jusqu à la fin du problème, on considère une suite bornée u admettant un nombre fini de valeurs d adhérence, notées y 1, y 2, y q, toutes de force strictement positive et un réel strictement positif r vérifiant pour tout i j, y i y j r On considère, pour tout entier naturel p strictement supérieur à 1, la liste L p = (u p ; u p+1 ; ; u p 2 1) On considère enfin l algorithme NVA qui à l entier p associe le nombre NVA(p) = N (L p, 2r ) Le but de cette dernière partie est de prouver que la suite (NVA(p)) p 2 est stationnaire et que les termes de cette suite à partir d un certain rang sont égaux au nombre de valeurs d adhérence de la suite u On considère un entier naturel p 0 (il en existe d après la question I-4a) vérifiant q ] p p 0, u p y k r, y k + r [ k=1 38 Soit p un entier supérieur à p 0 Démontrer que (n, m) [p, p 2 1] 2, 39 En déduire que u n u m 2r k [1, q ]/(u n, u m ) p p 0, ( G L p, 2r ) q k=1 ] y k r, y k + r [ (] y k r, y k + r [) 2 40 Démontrer que si x est un réel de force strictement positive par rapport à u, alors } ] [ ε > 0, p ε N, p p ε, up, u p+1,, u p 2 1 x ε, x + ε 41 En déduire qu il existe un entier P tel que ( p P, k [1, q ], G L p, 2r ) ] y k r, y k + r [ 42 Démontrer que p P, NVA(p) = q FIN DU SUJET