1ES Correction du problème sur les paraboles. Dans tout ce qui suit le plan sera muni du repère orthonormé (O, ı, j). 1. Soient A(3, 5), B( 8, ) et C ( 1 3, 5) trois points du plan. Calculer les distances AB, AC et BC. AB = ( 8 3) + ( 5) = 11 + 3 = 130, (1 ) ( AC = 3 3 + ) ( 5 5 = 8 ) ( + 7 ) 64 = 3 5 9 + 79 8161 8161 5 = 9 5 = 15 et (1 ) ( BC = 3 ( 8) + ) (5 ) ( 5 = + 1 ) 65 = 3 5 9 + 144 1691 1691 5 = 9 5 =. 15. Soient A (0, 5), B ( 3, 5 ) et C (a, b) trois points du plan. Calculer les distances AB, AC et BC. Déterminer a de façon que le triangle (ABC) soit isocèle en C. Déterminer les deux valeurs possibles de b pour que le triangle (ABC) soit équilatéral. et ( ) AB = 3 0 + ( 5 ( 5)) = 3, AC = (a 0) + (b ( 5)) = a + (b + 5) BC = ( a 3) + (b ( 5)) = ( a 3) + (b + 5). Pour que le triangle soit isocèle en C il faut que AC = BC, c est à dire a + (b + 5) = (a 3 ) + (b + 5). Ceci entraîne (en passant aux carrés) que a + (b + 5) = ( a 3 ) + (b + 5), puis a = ( a 3 ), c est à dire a = a a 3 + 3, ce qui donne a 3 = 3, et finalement a = 3. Pour que le triangle soit équilatéral il faut en plus, par exemple, que AB = BC. Ce qui donne 3 = (a 3 ) + (b + 5). En remplaçant par la valeur de a précédemment déterminée ceci donne 3 = ( 3 3) + (b + 5) c est à dire ( 3 ) 3 = + (b + 5). En passant aux carrés on obtient ( 3 ) 3 = + (b + 5). C est à dire 3 = 3 4 + (b + 5) et donc (b + 5) = 9 4. De là deux possibilités b + 5 = 3 ou b + 5 = 3 qui aboutissent à deux solutions b = 5 + 3 ou b = 5 3. 3.a. Tracer la droite (D) : y = x ainsi que le point A(1, 1). 1
3.b. Déterminer les coordonnées de P le point de la droite (D) tel que (D) et (AP ) soient perpendiculaires. Appelons x et y les coordonnées du point P. Alors AP a pour coordonnées (x 1, y 1). Un vecteur directeur de (D) est u(1, 1). Comme u et AP sont orthogonaux on a (x 1) 1+(y 1) ( 1) = 0 c est à dire x y = 0. Par ailleurs P étant un point de (D) ses coordonnées doivent en satisfaire l équation. Ainsi les coordonnées de P sont la solution du système { x y = 0, y = x. On trouve en résolvant ce système que P a pour coordonnées ( 1, 1). 3.c. Calculer la distance entre A et (D). La distance entre A et (D) n est autre, par définition, que AP = ( 1 1) + ( 1 1) = 8. 4. Soit A(0; ) et B(, 3) placer ces deux points sur un schéma ainsi que les droites ( 1 ) et ( ) passant par A et à distance 1 de B. On a ici appelé P et Q les points de ( 1 ) et ( ) qui réalisent respectivement la distance de B à ( 1 ) et de B à ( ). On remarque que P et Q sont symétriques par rapport à la droite (AB). La méthode la plus simple consiste à tracer le cercle de centre B et rayon 1. Les droites cherchées doivent passer par A et être tangentes à ce cercle. Il y a exactement deux solutions. 5. Soient A(1, ) et (D) : y = 1. Tracer la parabole de foyer A et de directrice (D).
On peut procéder en déterminant la position de points successifs sur la parabole jusqu à ce qu on ait un nombre de points suffisants pour constituer une assez bonne image. On trace des droites horizontales y = a et des cercles de centre A et de rayon a 1. 3
4
5
On voit apparaître la parabole : Soit la fonction f définie sur R par f(x) = 9 x + 8 9 x + 10 9. On note C sa courbe représentative, ( ) la directrice de C et A le foyer de C. 6.a. Tracer C ainsi que son axe de symétrie (T ). Indiquer les points S 1 et S d intersection entre C et l axe des abscisses ainsi que le point C correspondant au maximum de f. Le schéma ci-dessous représente, exactement placés, tous les points, toutes les droites cités dans toutes les questions de cet exercice. 6.b. Résoudre l équation f(x) = 0 et en déduire les coordonnées de S 1 et S. f(x) = 0 9 x + 8 9 x + 10 144 9 = 0. Le discriminant est 81. L équation possède deux solutions réelles : 1 et 5. On a donc S 1 ( 1, 0) et S (5, 0). 6
6.c. Déduire de ce qui précède les coordonnées du point C et une équation de l axe de symétrie (T ) de C. On remarque que l abscisse de C est la même que celle du milieu de [S 1, S ]. Elle est donc de 1+5 =. Le point C étant sur C son ordonnée est f() =. L axe de symétrie de C est une droite verticale passant par C, une équation en est donc (T ) : x =. 6.d. On appelle H le point d intersection entre (T ) et ( ) et P le point de ( ) tel que (S 1 P ) soit perpendiculaire à ( ). Faire un schéma faisant apparaître C, les droites (T ) et ( ), les points A, C, H, S 1, S et P. Voir plus haut. 6.e. Que peut-on dire des trois points A, C et H? Ces trois points appartiennent tous à (T ). De plus C est le milieu de [AH]. 6.f. En déduire l abscisse de ces trois points. Justifier pourquoi y A+y H =. En déduire l expression de y A en fonction de y H. Comme ces trois points appartiennent à (T ) leur abscisse commune est. Comme C est le milieu de [AH] on a y c = y A+y H, c est à dire y A+y H =. D après cette égalité on peut encore dire que y A = 4 y H. 6.g. Quelle est l abscisse du point P? Quel rapport y a-t-il entre l ordonnée de P et celle de H? L abscisse du point P est identique à celle de S 1, elle est donc de 1. Étant situés sur la même droite horizontale P et H ont même ordonnée. 6.h. Qu est-ce qui permet d affirmer que P S 1 = S 1 A? En déduire une relation entre P S 1 et S 1 A? Vérifier que P S 1 = y H et que S 1A = 9 + (4 y H ). En déduire y H puis y A. Par définition d une parabole P S 1 = S 1 A. En passant aux carrés on obtient P S1 = S 1 A. En utilisant les coordonnées explicitées plus haut on trouve que P S1 = ( 1 ( 1)) + (0 y H ) = yh et que S 1 A = ( ( 1)) + ((4 y H ) 0) = 9 + (4 y H ). En exploitant ceci on obtient : P S1 = S 1 A yh = 9 + (4 y H) yh = 9 + 16 8y H + yh 8y H = 5 y H = 5 8. De y A = 4 y H on déduit encore y A = 4 5 8 = 7 8. 6.i. Récapituler : donner les coordonnées du foyer et une équation de la directrice de C. On a donc A (, 8) 7. La droite ( ) étant horizontale et passant par H d ordonnée 5 8 équation y = 5 8. admet pour On considère la parabole B de foyer A(3, ) et de directrice (D) : y = 1. On veut montrer que cette parabole est en fait la courbe représentative d une fonction f polynômiale du second degré. On appelle C le point correspondant au minimum de f, M (x, f(x)) est un point quelconque de B, H est le point d intersection de (D) et de (AC), P est le point de (D) tel que (MP ) (D). 7
7.a. Faire un schéma comportant tous les points et toutes les droites nommées ci-dessus. 7.b. Exprimer les coordonnées de tous les points cités à l aide uniquement de x, f(x) et de nombres. De l énoncé on a immédiatement M (x, f(x)), A(3, ). Comme H est sur (D) et de même abscisse que A on a H(3, 1). Comme C est le milieu de [AH] on a C ( 3, 1 ). Comme P a même abscisse que M et appartient à (D) on a P (x, 1). 7.c. Justifier l égalité MP = AM. La définition géométrique d une parabole dit que MP = AM, et si les nombres sont égaux leurs carrés sont égaux. 7.d. Traduire l égalité précédente en coordonnées. En déduire la formule explicitant f(x). MP = (x x) + ( 1 f(x)) = (1 + f(x)) et AM = (x 3) + (f(x) ). MP = AM (1 + f(x)) = (x 3) + (f(x) ) 1 + f(x) + (f(x)) = x 6x + 9 + (f(x)) 4f(x) + 4 6f(x) = x 6x + 9 + 4 1 f(x) = 1 6 x x +. 8