Chapitre II Développer Factoriser pour résoudre Extrait du programme : I. Vocabulaire Définitions : - «Développer» c'est transformer un produit de facteurs en somme de termes. - «Factoriser» c'est transformer une somme de termes en un produit de facteurs. illustration : Exemples : x 4x 7 ; 4x On développe x ( 5 + y ) = 5x + xy On factorise sont des expressions développées. 5 x(9x 1) ; 5 x ( x 1)( x 1) sont des expressions factorisées. 7( x 1) (1 4 x)( x x) n est ni totalement développée ni totalement factorisée. II. Distributivité de la multiplication sur l'addition Règles de calcul : a, b, c, d et k sont des nombres (réels) quelconques. k( a b) ka kb (distributivité «simple») ( a b)( c d) ac ad bc bd (double distributivité) Point-méthode : Développer et réduire une expression Développer et réduire : A x( x 7) ; B (5x )(x 1) et C 4(x ) ( x 5)(1 x) A = x ( x 7 ) A = x x x 7 A = x² 1x On distribue le x en le multipliant à tous les termes de la parenthèse On fait attention de replacer le entre les termes
B = ( 5x + ) ( x 1 ) On distribue le 5x en le multipliant avec les termes de la ème parenthèse, puis on distribue le. On fait l hirondelle. B = 5x x 5x 1 + x 1 On est attentif aux signes B = 10x² 5x + 4x On regroupe tous les x², puis tous les x en ajoutant leurs coefficients B = 10x² x C = 4 ( x + ) ( x + 5 ) ( 1 x ) On va développer chacun des deux produits. C = 4 x + 4 ( x 1 x x + 5 1 5 x ) Comme il y a un devant le ème produit, il faut garder des parenthèses C = 8x + 1 ( x x² + 5 10x ) On réduit, en gardant encore les parenthèses C = 8x + 1 ( x² 9x + 5 ) On va retirer les parenthèses, mais changer TOUS les signes C = 8x + 1 + x² + 9x 5 C = x² + 17x + 7 III. Les identités remarquables Théorème : pour a et b deux nombres (réels) quelconques, on a : ( a + b ) ² = a² + ab + b² ( a b ) ² = a² ab + b² ( a b ) ( a + b ) = a² b² Démonstration : Forme factorisée ( a b)² ( a b)( a b) a² ab ba b² a² ab b² ( a b)² ( a b)( a b) a² ab ba b² a² ab b² ( a b)( a b) a² ab ba b² a² b² Forme développée cqfd. Exemples : 1) Développer A (4x 6)² et B (x 1)( x 1) ) Factoriser C 5 x² 0x 4 et D 4 x² 9 IV. Méthodes de factorisation Point-méthode 4 : Factoriser à partie d un facteur commun aux différents termes de la somme. Factoriser : A = 4x + 1 B = 5a 5a C = 1x 5 + 4x² x D = (x + 1)(7x ) + (x + 1)( x + ) E = (5x 1)(x 7) (5x 1)(5x A = 4x + 1 4 est un facteur commun à 4x et à 1 A = 4 x + 4 On fait apparaître le facteur commun et on l'entoure en rouge dans chaque terme. A = 4 (x + ) B = 5a 5a B = 5a a² 5a 5 B = 5a (a² 5) On place le facteur commun devant une parenthèse qui sera sur le même schéma que l opération de base : un terme + un terme. Les termes sont les morceaux qui ne sont pas en commun. Ici le schéma est un un terme un terme
C = 1x 5 + 4x² x C = x 6x 4 + x x x 1 C = x (6x 4 + x 1) Ici le schema est un terme + un terme un terme D = (x + 1)(7x ) + (x + 1)( x + ) Ici le terme en commun est un bloc. On déplace tout par bloc D = (x + 1)[(7x ) + ( x + )] Le schéma est «un bloc + un bloc» D = (x + 1)(7x + x + ) On doit réduire la parenthèse D = (x + 1)(8x 1) E = (5x 1)(x 7) (5x 1)(5x ) E = (5x 1) [(x 7) (5x )] E = (5x 1) (x 7 5x + ) E = (5x 1) (-x 4) Le schéma est «un bloc un bloc» donc on fait attention en enlevant les parenthèses derrière le, on change les signes Point-méthode 5 : Factoriser grâce à une identité remarquable Factoriser : F = x² + 10x + 5 G = 9x² 4x + 16 H = 9x² 16 F = x² + 10x + 5 F = x² + 10x + 5² Il n y a pas de facteur commun, on cherche donc si on a la forme d une identité remarquable. Cette expression est du type a² + ab + b² qui vaut (a + b)² a vaudrait x et b vaudrait 5. Vérifions si 10x est le double produit ab. F = x² + x 5 + 5² 10x est bien le double produit donc... F = (x + 5)² G = 9x² 4x + 16 Cette expression est du type a² ab + b² qui vaut (a b)² G = (x)² 4x + 4² a vaudrait x et b vaudrait 4. Vérifions si 4x est le double produit ab. G = x² x 4 + 4² 4x est bien le double produit donc... G = (x 4)² H = 9x² 16 Cette expression est du type a² b² qui vaut (a + b) (a b) H = (x)² 4² a vaut x (attention à penser au coefficient!) et b vaut 4 donc... H =(x + 4)(x 4) Remarque : Une expression algébrique n est pas obligatoirement factorisable! Par exemple, il est impossible de factoriser x. I. Equations 1. Résolution graphique d équation Une équation peut être résolution graphiquement ou algébriquement. Pour une résolution graphique, l énoncé le stipule clairement en général. Il suffit de trouver les abscisses des points de la courbe qui nous intéressent.
Point-méthode 6 : Résoudre graphiquement f ( x ) = k, f ( x ) = g ( x ) Les courbes c f et c g ci-contre représentent deux fonctions f et g définies sur [ ;6 ]. 1. Déterminer graphiquement les antécédents de par la fonction f.. Résoudre graphiquement l équation f ( x ) =. Résoudre graphiquement l équation f ( x ) = g ( x ). 1. On trace une droite horizontale sur y = et on observe le nombre de points d intersection avec la courbe c. On lit ensuite les abscisses de ces points d intersections. La droite y = coupe la courbe c en points d abscisses respectives : - et. Donc admet - et pour antécédents par f.. La recherche des solutions de cette équation est équivalente à la recherche des antécédents! Il faut juste ajouter une conclusion sous forme d ensemble de solutions. D après 1. f ( x ) = a pour ensemble solution : s={ ; }. Les solutions cherchées sont les abscisses des points d intersection des courbes c f et c g, données avec la précision possible sur le graphique. On met les solutions entre accolades pour une équation. Ici, il y a points d intersection dont les abscisses sont : 1et. f ( x ) = g ( x ) : s={ 1;}
. Equations du premier degré Définitions : Soit f une fonction définie sur une partie I de. Résoudre l équation f ( x ) = 0 sur I, c est trouver tous les nombres s de I qui vérifient f ( s ) = 0. x s appelle l inconnue de l équation. Et tout nombre s tel que f ( s ) = 0 s appelle une solution de l équation. Une équation du premier degré est une équation d inconnue x de la forme : ax + b = 0 avec a 0. Remarque : ne pas confondre une équation (comme par exemple x + = 0) et une expression algébrique (comme par exemple x + ). Point-méthode 7 : Résoudre une équation du 1 er degré Résoudre algébriquement les équations suivantes : a. 4x + = x 5 b. 4x 1 = ( 6x + 1 ) c. x + 4 = 5 ( x + 6 ) a. On commence par mettre tous les x à gauche puis les «pas x» à droite. 4x + = x 5 on passe x à gauche, en soustrayant par x de chaque côté 4x x + = 5 On soustrait de chaque côté x = 5 On divise par de chaque côté x = 7 s = 7 Si le mot «résoudre» apparait dans l énoncé, la conclusion sera toujours sous la forme d un s= b. 4x 1 = ( 6x + 1 ) On développe d abord toutes les parenthèses en simplifiant en même temps. 4x 1 = 4x + 1 = s= On soustrait 4x de chaque côté On arrive à une absurdité, cette équation n a donc pas de solution Il n y a pas d accolades autour de l ensemble vide. c. x + 4 = 5 ( x + 6 ) On développe x + 4 = 5 x + 10 x 5 x = 10 4 On soustrait 5 x de chaque côté, on soustrait 4 de chaque côté On met tout au même dénominateur du côté où apparait la fraction 6 x 5 x = 6 On additionne les coefficients devant les x 11 x = 6 On multiplie par de chaque côté 11x = 18 On divise par -11 de chaque côté x = 18 11 s= 18 11
. Equations produits Une équation du type ( x + 1 ) ( x 5 ) = 0 est une équation produit. Théorème : règle du produit nul Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul. A B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0 Point-méthode 8 : Résoudre une équation grâce à la factorisation Résoudre les équations suivantes : a. ( x + 6 ) ( 8x ) = 0 b. x ( x 1 ) = ( x + ) x c. 4x² 9 = 0 d. ( x ) = 5 ( x ) ² Pour résoudre une équation qui est sans fraction et qui n est pas du premier degré il faut : - Tout regrouper à gauche (et non pas isolé les x comme pour le 1 er degré) - Avoir 0 à droite. - Factoriser (avec un facteur commun ou une identité remarquable) pour avoir un produit à gauche - Utiliser la règle du produit nul. a. ( x + 6 ) ( 8x ) = 0 Déjà sous la forme d un produit égal à 0 x + 6 = 0 ou 8x = 0 x = 6 8x = x = 8 s= 6; 8 On n oublie pas de conclure b. x ( x 1 ) = ( x + ) x On passe tout à gauche x ( x 1 ) ( x + ) x = 0 On factorise par x x ( x 1 ( x + ) ) = 0 On fait TRES attention aux parenthèses avec le x ( x 1 x ) = 0 4x = 0 on s est ramené au 1 er degré finalement! on divise tout par 4 x = 0 s={0} c. 4x² 9 = 0 Tout est à gauche déjà, on factorise. Il n y a pas de facteur commun, donc on cherche une identité remarquable. C est la ème : a² b² = ( a b ) ( a + b ) ( x ) ² ² = 0 ( x ) ( x + ) = 0 On a un produit nul x = 0 ou x + = 0 x = x = x = x = s= ; d. ( x ) = 5 ( x ) ² On passe tout à gauche ( x ) 5 ( x ) ² = 0 On factorise par ( x ). Attention au carré! ( x ) ( 5 ( x ) ) = 0 On développe la ème parenthèse, attention au ( x ) ( 5x + 10 ) = 0 ( x ) ( 5x + 8 ) = 0 On a un produit nul. x = 0 ou 5x + 8 = 0 x = x = 8 5 s= ; 8 5
4. Equations quotients Une équation quotient est lorsque l inconnue se trouve au dénominateur, par ex : 5x + x + 5 = 0 Théorème : règle du quotient nul Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. A = 0 équivaut à A = 0 et B 0 B Point-méthode 9 : Résoudre une équation quotient Résoudre les équations suivantes : 7 x a. x + 4 = 0 b. 1 x = ( + x ) ( 5x + ) c. x + 6x + 4 = 0 d. x² 9 = 1 x + Pour résoudre une équation avec une inconnue au dénominateur, il faut : - Tout mettre à gauche et avoir 0 à droite - Mettre tout sur le même dénominateur (sans jamais simplifier par une expression avec du x) - Faire colonnes o Une pour résoudre le numérateur égal à 0 (équation du 1 er degré ou produit) o Une pour résoudre le dénominateur différent de 0 (ce sont les valeurs interdites) - Conclure en confrontant les solutions de la 1 ère colonne avec les valeurs interdites de la ème. a. 7 x x + 4 = 0 c est un quotient nul 7 x = 0 et x + 4 0 7 = x x 4 Ici les solutions potentielles sont différentes des valeurs interdites donc toutes les solutions potentielles sont bien solutions. s={7} Attention, on ne met JAMAIS les valeurs interdites dans l ensemble solutions b. 1 x = x + On passe tout à gauche (attention au ) 1 x x + = 0 On met tout sur le même dénominateur (c est toujours par une multiplication) x + x ( x + ) x x ( x + ) = 0 On écrit une seule fraction, attention au à distribuer sur la ème x + x x ( x + ) = 0 x + x ( x + ) = 0 comme si c était une parenthèse. On ne développe JAMAIS le dénominateur On a un quotient nul x + = 0 et x ( x + ) 0 = x x 0 x + 0 x s = {} (solution potentielle) n est pas une valeur interdite (qui sont 0 et )
c. ( + x ) ( 5x + ) = 0 6x + 4 C est un quotient nul (Il ne faut jamais développer un numérateur qui est bien factorisé) ( + x ) ( 5x + ) = 0 et 6x + 4 0 + x = 0 ou 5x + = 0 6x 4 x = x = 5 x Penser à simplifier! Solutions s = potentielles 5 solution. d. x² 9 = 1 x + x² 9 1 x + = 0 ( x ) ( x + ) 1 x + = 0 valeurs interdites la solution potentielle On met tout à gauche est aussi une valeur interdite, donc elle n est pas dans l ensemble On trouve le dénominateur en modifiant l écriture du 1 er quotient ( x ) ( x + ) 1 ( x ) ( x ) ( x + ) = 0 On fait très attention au moins devant le ème quotient x + ( x ) ( x + ) = 0 x + 6 = 0 On a un quotient nul ( x ) ( x + ) x + 6 = 0 et ( x ) ( x + ) 0 x = 6 x x donc s={6} A M B Point-méthode 10 : résoudre un problème conduisant à une équation ABCD est un carré de côté 0cm. AMNP est un carré. Où placer le point M sur le segment [AB] pour que l aire de la partie hachurée soit égale à 51 cm²? D Pour résoudre un problème conduisant à une équation, il faut respecter les quatre étapes suivantes : Choix de l inconnue Mise en équation Résolution de l équation Conclusion valeurs interdites Solutions potentielles Choix de l inconnue : Comme on cherche la place du point M, on devra choisir une longueur inconnue avec le point M. Par exemple, soit x la longueur AM en cm (Ne pas oublier de préciser les unités). P N C Mise en équation : L aire de ABCD est 0 0 = 400cm² et l aire de AMNP est x² donc l aire de la partie hachurée est : a( x ) = a ( ABCD ) a ( AMNP ) a ( x ) = 400 x² L équation à résoudre est donc : a ( x ) = 51 400 x² = 51 Résolution de l équation : 400 x² = 51 pas du 1 er degré donc on passe tout à gauche
49 x² = 0 On factorise grâce à la ème I R : a² b² = ( a b ) ( a + b ) ( 7 x ) ( 7 + x ) = 0 Equation produit nul 7 x = 0 ou 7 + x = 0 7 = x x = 7 donc s = { 7 ;7} Conclusion : Seule la solution positive convient car AM est une longueur. M doit donc être situé à 7cm de A.