MÉCANIQUE DES STRUCTURES

MÉCANIQUE DES STRUCTURES

MÉCANIQUE DES STRUCTURES:INTRODUCTION Structure Déformable Complexe nécessite un /des modèles simplfiés/ MMC 3D

MÉCANIQUE DES STRUCTURES:INTRODUCTION U EST-CE QUE L ANALYSE MÉCANIQUE D UNE STRUCTURE UNE STRUCTURE EST UN ENSEMBLE SOUVENT OMPLEXE DE SOUS ENSEMBLES (plus ou moins) SIMPLES Sous structures Structures élémentaires (plaques - poutres)

MÉCANIQUE DES STRUCTURES:INTRODUCTION ANALYSER UNE STRUCTURE DU POINT DE VUE MÉCANIQUE C EST PRÉVOIR SA RÉSISTANCE / SES PERFORMANCES vis à vis de la SÉCURITÉ / des COÛTS D EXPLOITATION à des chargements «ponctuels» limite «résistance» (MMC) < attention aux phases de construction - mise en place à des chargements répétés limite de fatigue (MMC)

MÉCANIQUE DES STRUCTURES:INTRODUCTION ANALYSER UNE STRUCTURE DU POINT DE VUE MÉCANIQUE C EST PRÉVOIR SA RÉSISTANCE / SES PERFORMANCES vis à vis de la SÉCURITÉ / des COÛTS D EXPLOITATION à des instabilités charge critique de flambement (MdSMECA2) vis à vis de phénomènes vibratoires fréquences / modes propres (MdS-MECA -2)

MÉCANIQUE DES STRUCTURES:INTRODUCTION POUR ANALYSER IL FAUT : Des outils : Comprendre le fonctionnement mécanique de cas simples:poutres, plaques,coques Les assembler pour analyser une structure complexe Méthode des éléments finis

MÉCANIQUE DES STRUCTURES:INTRODUCTION POUR ANALYSER IL FAUT : 2 Des méthodes : / Définir le système / ses interfaces / on environnement modèle mécanique / Définir les cas de chargement - urant toute la vie du système / Calculer / Analyser : - bon sens -modèles simples -résultats d essai «optimiser» trains vent seismes

MÉCANIQUE DES STRUCTURES PLAN DU COURS-MECA STRUCTURES SIMPLES ELANCÉES / MINCES APPROXIMATIONS CINÉMATIQUES POUTRES (3D->D) (RDM) 2VIBRATIONS - PHÉNOMÈNES DYNAMIQUES MODES PROPRESexemple des poutres

MÉCANIQUE DES STRUCTURES: POUTRES(MI) ET PLAQUES(MII) STRUCTURES ÉLÉMENTAIRES DE BASE En construction 2 SIMPLIFICATION DE LA MMC TRIDIMENSIONNELLE Poutre mono-dim Plaque bi-dim(meca2

MÉCANIQUE DES STRUCTURES: POUTRES Amphi (7 avril.) : Amphi 2( avril): Amphi 3 (4 avril):.poutres:définition 2.Efforts intérieurs:éléments de réduction signification,lien avec s Calcul des efforts :méthode des coupures 3.Equations d équilibre 4.Poutres droites 5.Exemples de base 6.Poutres courbes Relations cinématiques Calcul de la flèche Applications -exemples Amphi 4-5 -6(8-2-25 avril):vibrations solides/poutres

.POUTRES :DEFINITION Qu est-ce qu une poutre?

.POUTRES :DEFINITION ne poutre est un solide prismatique engendré ar le déplacement d une section droite le long une ligne moyenne Applications : élément de construction modèle global de structure G(s) S VALIDITÉ. («plus grande dimension transversale»)/ longueur <<: 2. «Loin». des appuis: environ d >> h. des points d application des efforts. des variations brusques de forme r << h (congés de raccordement) h << L

2.POUTRES :EFFORTS INTERIEURS HYPOTHÈSE générale de la théorie des poutres: H:SECTIONS DROITES RESTENT INDÉFORMABLES Les efforts intérieurs sont représentables par un torseur (ses composantes «Eléments de réduction») G(s 0 ) DÉFINITION: le torseur des efforts intérieurs ( de cohésion) - en G(s 0 ) est le torseur des forces appliquées par la partie(s> s 0 ) sur S G(s 0 ) (forces en aval de G(s 0 ) )

2.POUTRES :EFFORTS INTERIEURS Calcul des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs /torseur de cohésion) CALCUL:méthode des coupures ON ISOLE LA PARTIE (s<=s 0 ), le torseur des efforts intérieurs : torseur des forces appliquées par la partie(s>s 0, ),(AVAL)sur S G(s0)

2.POUTRES :EFFORTS INTERIEURS Calcul des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs /torseur de cohésion) R A R B Ligne moyenne R A F T=R B i 2 M f =R B (L-s) i 3 R B Déformée s F L OU BIEN: EQUILIBRE DE LA PARTIE AMONT i 2 i 3 i

2.POUTRES :EFFORTS INTERIEURS M f x 2 G(s) S N M t s n s(p) x IGNIFICATION =R effort normal:traction-compression 2, R 3 effort tranchant:cisaillement T= R i + R i 2 2 3 3 moment de torsion 2, M 3 moments de flexion :M f = M 2 i 2 + M 3 i 3 x 3 T

2.POUTRES :EFFORTS INTERIEURS Lien avec le tenseur des contraintes: H2: le tenseur des contraintes est antiplan M f x 3 G(s) T x 2 s n S N t s(p) M x s = σ σ σ 2 3 σ 2 0 0 σ 3 0 0 s =σ ( + ) +σ ( + ) i i +σ i i i i i i i i 2 2 2 3 3 3

2.POUTRES :EFFORTS INTERIEURS Lien avec le tenseur des contraintes/mmc Problème de Saint Venant s = σ σ σ 2 3 σ 2 0 0 σ 3 0 0 Beltrami: s affine, s 2, s 3 paraboliques (R2,R3), en x 2.x 3 pour la torsion

2.POUTRES :EFFORTS INTERIEURS Lien avec le tenseur des contraintes s =σ ( + ) +σ ( + ) i i +σ i i i i i i i i 2 2 2 3 3 3 M f x 2 G(s) S N M Contrainte normale:s t s n s(p) x Contraintes tangentielles:s 2, s 3 x 3 T N = R2 σ Σ (P)( i R 3 )da(p) N = T = R σ 2 i 2 da + R 3 i 3 = σ 2 i 2 + σ 3 i 3 da

2.POUTRES :EFFORTS INTERIEURS M f x 2 S G(s) N s n M x Lien avec le tenseur des contraintes t s(p) s x 3 =σ T +σ ( i i + i i ) +σ ( i i + i ) i i 2 2 2 3 3 3 i M M M 2 3 = GP Σ ( s (P)( i ))da(p) ( x σ x σ )da M = 2 3 3 2 Σ ( x i x i ) σ da M f = M 2i 2 + M 3i 3 = 3 2 2 3 Σ

2.POUTRES :EFFORTS INTERIEURS M f x 2 S G(s) N s n M x Lien avec le tenseur des contraintes t s(p) s x 3 =σ T +σ ( ) ( ) + +σ i i 2 i i2 i2 i 3 i i3 i3 i + Solution MMC:s R,M En pratique,on cherche plutot l inverse! patience...

3.POUTRES :EQUATIONS DYNAMIQUES Global R/ ζ + f L = ρsü M/ ζ + x/ ζ R +c L = 0 R/ ζ = dr / ds + W R M/ ζ = dm /ds + W M W = t/r t + b/r c ATTENTION: Rotation du repère tangent dr/ ds +W R + f L = ρsü dm/ ds + W M + dx/ ζ R +c L = 0

3.POUTRES :EQUATIONS DYNAMIQUES Global dr/ ds +W R + f L = ρsü dm/ ds + W M + t R +c L = 0 Les 3 composantes de la résultante et du moment résultant sont couplées a priori: cas du ressort hélicoïdal

4.POUTRES DROITES dr/ dx + f L = ρsü dm/ d x + x R +c L = 0

4.POUTRES DROITES R A R B i 3 i2 i Flexion plane dans le plan Ox x 2, R 2 =T, M 3 =M, p=f 2 A dr/ dx + f L = ρsü dm/ d x + x R +c L = 0 Le moment de flexion dû à une charge répartie constante évolue suivant une parabole B dt dx dm dx d 2 M dx + + p ( T p x = = ) 0 0 = 0,

5.POUTRES :EXEMPLES DE BASE POUTRES EN CONSOLE:FORCE CONCENTREE s F 2 3 T=F M=F(l-s) dm dx + T = 0

5.POUTRES :EXEMPLES DE BASE OUTRES EN CONSOLE:force répartie constante V 0 C 0 f<0 s A 0 A 2 3 dt dx dm dx + + p ( T x = ) 0 = 0, T = f(l s) M= l s f(x s)dx= f (l s) 2 2

5.POUTRES :EXEMPLES DE BASE POUTRES SUR APPUIS SIMPLES

5.POUTRES :EXEMPLES DE BASE OUTRES SUR APPUIS SIMPLES R +R A B +F=0 xf+l.r =0 B <s<x: 2 = - R =F(l-x)/l A =-Ts= - Fs(l-x)/l <s<l: = R B =-Fx/l = R (l-s)= = B =-F(l-s)x/l 3 Supportant une force concentrée F x A -R A T F M R A B RB

5.POUTRES :EXEMPLES DE BASE OUTRES SUR APPUIS SIMPLES 2 3 R A Supportant une force concentrée F x RB A B

5.POUTRES :EXEMPLES DE BASE OUTRES SUR APPUIS SIMPLES A +R B +fl fl=0 l 2 /2+l.R =0 B 2 3 -R A T A R A Supportant une force répartie B RB d 2 M/ds 2 =f M=fs (s-l)/2 T= -dm/ds=f(l/2-s) M R B F=-p, p,mmax=pl 2 /8

5.POUTRES :EXEMPLES DE BASE OUTRES SUR APPUIS SIMPLES 2 3 R A Supportant une force répartie RB A B

6.POUTRES COURBES CAS DES POUTRES PLANES-COURBES dr/ ds +W R + f L = ρsü dm/ ds + W M + t R +c L = 0 W = b/r c dn ds dt ds dm ds ( s) ( s) + T rc N r c ( s) ( s) + + ( s) ( s) ( s) + T( s) + m( s) f f t n = = = 0 0 0

6.POUTRES COURBES

6.POUTRES COURBES rc parabolique «funiculaire» pour la charge v.répartie: ravaille en traction -compression uniquement

6.POUTRES COURBES x 2 C 3 F 2 ζ Z e 2 O e R θ Z 2 G V 2 C3 H x ( θ) N = F2 cos T = F ( θ) 2 sin M = C3 + F2 Rcos ( θ)

OUTRES :EFFORTS INTERIEURS-EQUILIBRE EQUILIBRE A RETENIR Poutre - Hypothèse Générale : Sections droites restent droites Éléments de réduction N, R 2, R 3, M, M 2, M 3 : SIGNIFICATION Équations d équilibre / dynamiques: dr/ ds +W R + f L = ρsü dm/ ds + W M + t R +c L = 0 Cas de la flexion plane dt + f ( x ) = dx 2 d 2 M f ( x ) dx 2 2 = dm 0, dx 0 + T = 0 EXEMPLES DE BASE:POUTRE CONSOLE ET SUR APPUIS SIMPLES

OUTRES :EFFORTS INTERIEURS-EQUILIBRE EQUILIBRE A RETENIR Équations d équilibre / dynamiques: dr/ ds +W R + f L = ρsü dm/ ds + W M + t R +c L = 0 ais il manque la loi de comportement qui lie R,M à u necessité d introduire des hypothèses inématiques pour les mouvements des sections à suivre.