Troisième Le théorème de Thalès et sa réciproque sguhel Collège Grand Parc
... 0 1 Le théorème de Thalès : calculer une distance... 2 1.1 Conjecture... 2 1.2 Démonstration... 3 1.3 Théorème... 4 1.4 Application... 5 2 Le théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles... 6 3 La réciproque du théorème de Thalès : montrer que deux droites sont parallèles... 7 3.1 Théorème... 7 3.2 ATTENTION!!... 8 4 Agrandir ou réduire une figure... 9 5 Compétences... 11 6 Fiche programme... 12 6.1 Révisions... 12 6.2 Thalès «papillon»... 12 1
1 Le théorème de Thalès : calculer une distance 1.1 Conjecture Exemple : activité 1 p 185 Le théorème de Thalès : calculer une distance 2
1.2 Démonstration B C B C A B'C' BC B'C' BC B'C' BC B'C' DE BC B'C' DE ADE C AD B AE ED Le théorème de Thalès : calculer une distance 3
AC AC' AB AB' BC B'C' 1.3 Théorème Théorème : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en un point A. B et M deux points de (d) distincts de A, C et N deux points de (d') distincts de A, Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors : Le théorème de Thalès : calculer une distance 4
1.4 Application Sur la figure ci-dessous les droites (GV) et (FE) sont parallèles, TE = 1,8 cm TV = 6 cm TG = 4,8 cm GV = 8 cm. Calculer TF et FE. FV EG FE GV Le théorème de Thalès : calculer une distance 5
2 Le théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles Exemple: Les droites (FG) et (NM) sont-elles parallèles? EF = 2,5 cm, EM = 1,7 cm, EG = 1,6 cm, EN = 1,1 cm. FG FG MN FM GN E NM Le théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles 6
3 La réciproque du théorème de Thalès : montrer que deux droites sont parallèles 3.1 Théorème Théorème(admis) : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en un point A. B et M deux points de (d) distincts de A, C et N deux points de (d') distincts de A, Si les points A, B et M d'une part et A, C et N d'autre part, sont alignés dans le même ordre et si alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles Exemple: Démontrer que le quadrilatère LOUP est un trapèze (que (LO) et (UP) sont parallèles) OI = 6 cm ; IP = 10,5 ; IU = 7 cm ; IL = 4 cm. O, I, P LOUP L, I et U, UP LO La réciproque du théorème de Thalès : montrer que deux droites sont parallèles 7
3.2 ATTENTION!! U À vos ordres! Sur la figure ci-contre, G, P et L d'une part et G, N et U d'autre part sont alignés. On donne GP = 2,5 cm ; GU = 9 cm ; GN = 3 cm et GL = 7,5 cm. L P G N a. Calcule et Que constates-tu? b. Pourquoi ne peux-tu pas utiliser ici la réciproque du théorème de Thalès? La réciproque du théorème de Thalès : montrer que deux droites sont parallèles 8
4 Agrandir ou réduire une figure Définition : Lorsque deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles, on dit que l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre. Propriété : Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés. Remarques : Si est un agrandissement de ' alors ' est une réduction de. Le coefficient de proportionnalité k est le rapport d'agrandissement (k > 1) ou de réduction (0 < k < 1). Exemple : La pyramide SIJKL est une réduction de la pyramide SABCD. On donne AB = 6 cm ; SA = 15 cm et SI = 5 cm. Calcule IJ. I S L M K J A D O B C SIJKL SABCD. [SI] [SA], = = = [IJ] [AB]. IJ = AB = 6 = 2 Agrandir ou réduire une figure 9
Propriété : Lors d un agrandissement ou d une réduction d un objet à l échelle k : - Les longueurs sont multipliées par k, - Les aires sont multipliées par k², - Les volumes sont multipliés par k 3. Exemples : 1) Sur la figure ci-contre, la pyramide FGHIJS est une réduction de la pyramide ABCDES de rapport k. On donne : SA = 7 cm, SF = 5 cm, ABCDES = 686 cm 3. Calculer FGHIJS. 2) Sur la figure ci-contre, le triangle AB C est un agrandissement du triangle ABC : On donne : AC = 4 cm, AC = 5 cm, ABC = 7 cm 2. Calculer AB C. Agrandir ou réduire une figure 1 0
5 Compétences Ce que je dois connaître : - Les constructions de base en géométrie ; - La structure d'une démonstration en géométrie ; - Les propriétés vues en géométrie les années précédentes (Pythagore et sa réciproque, triangle rectangle, les angles, la symétrie axiale et la symétrie centrale,...) ; - Tout particulièrement les théorèmes liés aux milieux de deux côtés d'un triangle ainsi que le théorème de Pythagore et sa réciproque ; - Le théorème de Thalès ; - La réciproque du théorème de Thalès ; Ce que je dois savoir faire : - Utiliser les propriétés vues les années précédentes pour résoudre des problèmes de géométrie ; - Utiliser le théorème de Thalès pour calculer une distance ; - Utiliser le théorème de Thalès pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles ; - Utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour montrer que deux droites sont parallèles ; - Construire des points définis par des rapports de longueurs ; - Calculer le rapport d'une réduction/d'un agrandissement de figure/solide; - Calculer l'aire de l'agrandissement/la réduction d'une figure de rapport k donné; - Calculer le volume de l'agrandissement/la réduction d'une figure de rapport k donné; - Utiliser ses connaissances pour résoudre des problèmes plus complexes Compétences 1 1
6 Fiche programme 6.1 Révisions Exercices d'application L : 2-3-4 p 184 : «Révision de la démonstration/ des propriétés vues en 5ème et 4ème» 6.2 Thalès «papillon» Point cours 1. Le théorème de Thalès : calculer une distance Exercices d'application L : 10-11-15-16-18-21-24-49 p 192 à 195 : «Application du théorème de Thalès» TD : 1-2-3-4-5-6-9 p G1S1 : «Application du théorème de Thalès, calculs de distances» Point cours 2. Le théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles Exercices d'application L : 28-29-30 p 195 : «Application» TD : 7-8 p G1S1 : «Montrer que deux droites ne sont pas parallèles» Point cours 3. La réciproque du théorème de Thalès : montrer que deux droites sont parallèles Exercices d'application L : 35-37-38 p 196 : «Application» TD : 1 p G1S2 : «Quotients égaux» TD : 2-3-4-5-6-7-8-9-10 p G1S2 : «Montrer que deux droites sont parallèles» Exercices de synthèse et exercices annale 2009 L : 72 p 201 : «Théorème de Thalès et constructions» Annale : «Petits problèmes de géométrie» Annale : «Problèmes fonctions/géométrie» TD : 1-2-3-4-5-6-7 p G1S4 : «Problèmes» Fiche programme 1 2