ÉTUDE DU MOUVEMENT D UN MÉTRONOME AVEC MAPLE

ÉTUDE DU MOUVEMENT D UN MÉTRONOME AVEC MAPLE DISCIPLINE : Mathématiques COURS : Calcul différentiel et intégral III (201-FEG-05) LOGICIEL UTILISÉ : Maple NATURE : Problème THÈME PRINCIPAL ABORDÉ : La modélisation du mouvement d un métronome OBJECTIF(S) PÉDAGOGIQUE(S) : Maîtriser la démarche de résolution de problème. Maîtriser les commandes propres aux résolutions d équations différentielles DURÉE APPROXIMATIVE : Au moins 2 heures AUTEUR : Philippe Etchecopar COURRIEL / TÉLÉPHONE : etchecop@globetrotter.qc.ca COLLÈGE OU UNIVERSITÉ D ORIGINE : Cégep de Rimouski

Énoncé du problème Soit un métronome composé d une tige de masse négligeable et de longueur l, d une sphère de rayon négligeable et de masse m et d un ressort circulaire de constante k. 1. Déterminez le modèle mathématique permettant de définir le mouvement de ce système lorsque le métronome est écarté de sa position d équilibre puis est relâché ; 2. Si m=0,2 kg, k=0,3 Nm et l=0,15 m, évaluez et représentez le modèle ; 3. Simulez le modèle selon un paramètre de votre choix. Commentez les résultats obtenus ; 4. Évaluez graphiquement les positions d équilibre, sachant que les positions d équilibre correspondent aux extrémas locaux de l énergie potentielle, les positions stables correspondant aux minimas locaux et les équilibres instables aux maximas locaux; 5. Commentez les résultats obtenus. Guide pédagogique du professeur Le problème est résolu selon la méthode de la modélisation. 1. Observation a) Variables et schéma Variables Schéma m: masse de la sphère ; L : longueur de la tige; k : constante du ressort ; θ : angle de la tige avec la verticale ; t : temps ; θ l m k

b) Problématique L équation du mouvement peut s établir par la deuxième loi de Newton ou par le théorème de la conservation de l énergie. Comme nous pouvons considérer le métronome comme un système isolé, nous utiliserons le théorème de la conservation de l énergie. 2. Mathématisation du problème a) Équations représentant le problème Il s agit d étudier l angle, variable dépendante, en fonction du temps, variable indépendante. La masse, la constante du ressort et la longueur de la tige sont des paramètres. L énergie totale est constituée de l énergie cinétique et de l énergie potentielle de la sphère, et de l énergie potentielle du ressort. La masse de la tige étant négligeable, son énergie cinétique et son énergie potentielle le seront également. Évaluons les énergies cinétiques et potentielles de la sphère et l énergie potentielle du ressort. Énergie cinétique de la sphère : ECS = 1 2 2 ml dθ 2 dt Énergie potentielle de la sphère : EPS = mgl cos() θ Énergie potentielle du ressort : EPR = 1 2 kθ 2 La conservation de l énergie permet d écrire : EM = ECS + EPS + EPR = K EM = 1 2 dθ 2 ml2 + mgl cos()+ θ 1 (1) dt 2 kθ2 = K Le comportement du métronome est défini par l équation différentielle ci-dessous : dem ( ) = 0 (2) dt Comme le mouvement est déclenché par un écart imposé à la tige, les conditions initiales consisteront en la valeur de l angle initial et la vitesse avec laquelle la tige est relâchée. Prenons ici : θ()=θ 0 0 = π 3 = 60 o (3) θ ()= 0 θ 0 = 0 Les équations (2) et (3) constituent le modèle du mouvement du métronome.

b) Protocole de laboratoire Calculs Nous devrons établir l équation différentielle (2), puis la résoudre. Graphique Nous représenterons le graphique de la fonction θ() t représentant les oscillations du métronome. En utilisant les graphiques des fonctions représentant l énergie potentielle en fonction de θ, sa dérivée première et sa dérivée seconde, nous identifierons les différentes positions d équilibre, stables ou instables. Simulations Nous simulerons selon la masse m de la sphère. 2. Expérimentation Cette section représente le rapport de laboratoire basé sur le protocole de la section précédente. a) Calculs Pour obtenir l équation différentielle

Avec Maple, nous obtenons : L équation différentielle est donc : ml 2 θ θ mgl θ sin()+ θ kθ θ = 0 Nous devons maintenant résoudre cette équation différentielle en prenant des valeurs particulières pour m=0,2 kg, k=0,3 et l=0,15 m : :

Nous obtenons : Maple donne une solution triviale et montre qu il n a pu calculer la solution par ses seuls algorithmes. Dans ce cas il faut lui demander de calculer une solution approximative avec l option series. On entre :

Nous obtenons : Nous avons ici pris pour solution approximative les huit premiers termes de la série. Cette solution est représentée par la fonction f. Il est clair que cette fonction ne donne une bonne approximation de la série que sur un intervalle restreint autour de 0. b) Graphique Représentation de la fonction θ t () Pour obtenir une meilleure approximation dans un intervalle plus large, nous résoudrons l équation différentielle avec l option numeric et nous représenterons cette solution avec la commande odeplot().

Entrons les instructions ci-dessous : Nous obtenons le graphique suivant : Selon les données du numériques de ce cas particulier, le métronome oscille avec une période approximative de 2 autour de l axe vertical. Évaluation graphique des positions d équilibre Selon l équation (1) du modèle, l énergie potentielle totales, EP, est donnée par : EP = mgl cos()+ θ 1 2 kθ 2 Pour faciliter l évaluation des positions d équilibre, prenons un ressort très souple avec : m=0,015 kg, k=0,002 et l=0,15 m Représentons graphiquement cette énergie.

Nous devons prendre l angle θ comme variable indépendante et l énergie potentielle EP comme variable dépendante. Entrons les instructions ci-dessous : Nous obtenons la figure suivante : Il semble exister sept extrema locaux, trois pour des valeurs négatives de θ, trois pour des valeurs positives et une pour θ = 0. Pour s assurer qu il existe bien sept (7) extrema locaux, représentons le graphique de la dérivée de l énergie EP par rapport à θ et évaluons le nombre d intersections entre cette courbe et l axe des θ. Entrons les instructions ci-dessous :

Nous obtenons le graphique ci-dessous : Il apparaît clairement qu il y a sept points d intersection donc 7 extremas. Pour distinguer les états d équilibre stable des états d équilibre instable, représentons le graphique de la dérivée seconde. Entrons :

Nous obtenons : Le signe de la dérivée seconde indique que pour θ < 0 la première position d équilibre est stable, la seconde instable et la troisième stable et que les résultats sont symétriques pour θ > 0. c) Simulations Simulations selon lamasse m de la sphère Représentons sur une même figure la fonction θ() t selon la masse m de la sphère. Prenons une série de valeurs listem, listem = { 0.10, 0.20, 0.50}, pour cette masse. Entrons les instructions ci-dessous :

Avec Maple, nous obtenons la famille de courbes suivantes : 3. Interprétation des résultats Au niveau des calculs, l'équation différentielle n'était pas de forme classique. Pour obtenir la solution nous avons donc utilisé l'option series, qui donne la solution sous la forme de son développement en série. Cette solution n'est utilisable que dans un bref intervalle autou de ). Pour une étude graphique plus large, nous avons utilisé l'option numerics et nous avons représenté cette solution avec la commande odeplot() La figure obtenue nous a permis de constater qu'avec les paramètres choisis et qu'avec les conditions initiales choisies, le mouvement était un mouvement périodique de période approximative 2. Nous avons simulé selon le poids de la sphère. Nous avons pris des poids de 100 g, 200 g et 500 g. Nous avons constaté que pour 100 g la période était de 0,8 environ, que pour 200 g la période était approximativement de 2 tandis que pour 500 g la période était de 1 mais que l'oscillation se faisait autour de l'angle 2 rad. Cela signifie que la masse est alors trop lourde pour la constante k du ressort et qu'à partir de l'angle initial, la masse retombe.

Pour les états d'équilibre, avec les nouvelles valeurs pour les paramètres basées sur un ressort très sensible, la courbe représentant l'énergie potentielle indique qu'il semble y avoir 7 extremas :3 pour des valeurs négatives de l'angle, trois pour des valeurs positives et une pour l'angle nul. Ce résultat est confirmé par la courbe représentant la dérivée. Les extremas sont symétriques et se situent approximativement à -9, -7, -4, 0, 4, 7 et 9. Le signe de la dérivée seconde indique que les positions stables, correspondant à des minimas locaux, c'est-à-dire où la dérivée seconde est positive, se trouvent à -9, -4, 4 et 9. Les positions instables, où la dérivée seconde est négative, correspondent aux points -7, 0 et 7. Par des simulations graphiques, il serait intéressant d'évaluer s'il y a un lien entre la valeur des paramètres et le nombre de points d'équilibre.