Les branches infinies en Terminale S Fiche par Ismaila MBODJI Disponible sur http://www.senmathweb.e-monsite.com 2 mai 2015 1 Branche infinie à une courbe Soit f une fonction et C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On dit que C f admet une branche infinie dès que l une des coordonnées d un point de C f peut tendre vers l infini. 2 Cas des asymptotes Asymptote parallèle à l axe des ordonnées Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf en un réel a de I et C f sa courbe représentative dans un repère (O; i, j ). La droite D d équation : x = a est une asymptote (verticale) à la courbe C f si et seulement si = + ou = ou = + ou f (x) = + + C D = + + D = 2 Asymptote parallèle à l axe des abscisses La droite D d équation : y = L est une asymptote (horizontale) à la courbe C f en + si et seulement si =L (L réel) La droite D d équation : y = L est une asymptote (horizontale) à la courbe C f en si et seulement si =L (L réel) 1
D L C Soit f la fonction définie par = sinx x On a : x ]0, + [, 1 1 et x x = 0 donc = 0 d où la droite y = 0 est une asymptote à C f en +. 2 Asymptote non parallèle aux axes de coordonnées La droite D d équation : y = ax + b est une asymptote (oblique) à C f en + si et seulement si ( (ax + b)) = 0. La droite D d équation : y = ax + b est une asymptote (oblique) à C f en si et seulement si ( (ax + b)) = 0 D x (x 3)2 Soit f la fonction définie par = x 2 + 1 Montrons que la droite d équation y = x 6 est une asymptote à la courbe de f en +. x (x 3) 2 8x + 6 On a : x 2 (x 6) = + 1 x 2 = 0 d où la droite d équation y = x 6 + 1 est une asymptote à la courbe de f en +. Remarque : Si f s écrit sous la forme f (x) = ax +b +g(x) et si x g(x) = 0 alors la droite y = ax +b est une asymptote à C f en. x (x 3)2 Soit f la fonction définie par = x 2 + 1 Effectuons la division euclidienne de x 3 6x 2 + 9x par x 2 + 1 2
On obtient x 3 6x 2 + 9x = (x 2 + 1)(x 6) + 8x + 6 donc = x 6 + 8x + 6 x 2 + 1 8x + 6 Or x 2 = 0 d où la droite d équation y = x 6 est une asymptote à la courbe de f en + 1 +. Propriété La droite D d équation : y = ax + b est une asymptote à C f en + si et seulement si x = a (a R ) et ( ax) = b (b R) La droite D d équation : y = ax + b est une asymptote à C f en si et seulement si x = a (a R ) et ( ax) = b (b R) Application Soit f la fonction définie sur R par : = x 2 + x + 1. On désigne par C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Déterminons la branche infinie de C f au voisinage de +.. Solution Remarquons d abord Calculons x. = +. Pour tout réel strictement positif x, = x Donc x = 1 + 1 x + 1 x 2 = 1 1 + 1 x + 1 x 2 1 + 1 Pour tout réel strictement positif x, x = x. 1 + 1 x + 1 + 1 x 2 Donc x = 1 2. D où la droite d équation y = x + 1 2 est une asymptote oblique à C f. Autre application La courbe ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie sur ], 1[ ]1, + [. Les droites x = 1, x = 1, y = 0 et y = x 3 sont des asymptotes à cette courbe. Déterminons graphiquement sur les ites suivantes :, + x + 3, x ( 1), et. x 1 + 3
1-5 -1 0 1 2 En parcourant la courbe, le point d abscisse x en a son ordonnée qui tend vers + donc f (x) = +. La droite d équation y = x 3 étant une asymptote à la courbe de f en donc f (x) + x + 3 = 0. La droite x = 1 étant une asymptote à la courbe de f donc f (x) =. x ( 1 ) f (x) = + ( même raisonnement). x 1 + La droite d équation y = 0 étant une asymptote à la courbe de f en + donc 0. 2 Courbes asymptotes f (x) = Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle du type [A, + [ ; C f et C g leurs courbes représentatives respectives dans un repère (O; i, j ). On dit que C f et C g sont asymptotes en + si et seulement si : NB : analogue pour deux courbes asymptotes en. f (x) g(x) = 0. Les fonctions définies par = x 2 + 1 x et g (x) = x 2 ont leurs courbes qui sont asymptotes car 1 g(x) = x = 0. C g C f 3 Branches paraboliques Soit f une fonction telle que tend vers l infini lorsque x tend vers l infini. On désigne par C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i, j ). Alors la branche infinie de C f dépend de la ite x, lorsque x tend vers l infini. Nous donnons dans le tableau ci-dessous les définitions de branches paraboliques de C f dans le cas où est infinie. Les autres cas se déterminent de façons analogues. x 4
s On dit que C f admet une branche parabolique dans la direction de l axe (O, j ) au voisinage de +. si et seulement si est infinie. x On dit que C f admet une branche parabolique dans la direction de l axe (O, i ) au x = 0. voisinage de +. si et seulement si On dit que C f admet une branche parabolique dans la direction de la droite d équation y = ax au voisinage de +. si et seulement si x = a et ( ax) est infinie. Soit f la fonction définie sur [ 1, + [ par : = 2x + x + 1 et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i, j ). Déterminons la branche infinie de C f au voisinage de +.. On a : = 2x + x + 1 = + x + 1 Et x = 2 + = 2 ensuite ( 2x) = x + 1 = + x Donc C f admet une branche parabolique de direction la droite d équation y = 2x au voisinage de +.. Remarque 1 Si x = a R et ( ax) n existe pas alors C f n admet ni asymptote, ni branche parabolique. On dit que C f admet direction asymptotique, celle de la droite y = ax. Soit f la fonction définie par = x + sin x. On a : x R : x 1 x + 1 Ainsi : = + et x = 1 Or la fonction x sinx n a pas de ite en +. Donc C f admet direction asymptotique celle de la droite y = x. Remarque 2 Si x n a pas de ite alors C f n admet ni asymptote, ni branches parabolique, ni direction asymptotique. Soit f la fonction définie par = x ( 1 + sin 2 x ). On a x R : x donc = +. On a : x = ( 1 + sin 2 x ) et cette expression n a pas de ite en +. 5
Récapitulatif de la détermination de la nature d une branche infinie en + (même raisonnemnt en ). = b x = asymptote (horizontale) y = b 0 a 0 BP de direction (Ox) ax BP de direction (Oy) b n existe pas asymptote y = ax + b BP de direction y = ax direction asymptotique y = ax Cette fiche pourra être complétée ultérieurement en fonction des remarques que vous pourrez me faire par l intermédiaire du formulaire de contact de http://www.senmathweb.e-monsite.com 6