Université Denis Diderot - Paris 7 Année 8-9 Mathématiques Master M1, M44 M.Brancovan, F.Comets, D.Prochasson Examen du 8 janvier 9 PROBABILITES Durée 3 heures. Les documents, téléphones ou calculatrices ne sont pas autorisés. Exercice I (barême approximatif: 5 points Soit (X, Y un couple de variables aléatoires réelles, de densité avec D = {(x, y : < x < y, y > }. p(x, y = 1 x exp{ y} 1 D(x, y 1. On pose U = X, V = Y X. Calculer la densité du couple (U, V.. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Les variables U et V sont-elles indépendantes? 3. Quelles sont les lois des variables X, Y, U, V? Exercice II (7 points Soient X 1, X, X 3, X 4 des variables gaussiennes centrées réduites indépendantes. On pose Y = X 1 X X 3 X 4, Z = X 1X X 3 X 4 X X 4 1. Calculer E(f(Z X, X 4 pour f borélienne positive. En déduire la loi conditionnelle de Z sachant (X, X 4, puis la loi de Z.. Calculer E(exp{itX 1 X } X. En déduire la fonction caractéristique de la variable X 1 X. 3. Vérifier que la fonction caractéristique de Y = X 1 X X 3 X 4 est Φ Y (t = (1 t 1 = 1 ((1 it 1 (1 it 1 4. Calculer la fonction caractéristique de la loi exponentielle de densité f(x = e x 1 R (x. En déduire la densité de Y. 1
Problème (1 points Soit > un paramètre. Des individus numérotés 1,,... arrivent successivement à la cantine, qui abrite une infinité de tables infiniment longues. Le premier individu s assied à une table. Puis, lorsque le k 1-ème individu se présente (k 1, il choisit au hasard l un des k individus déjà attablés avec la probabilité 1/(k et s assied à la même table, ou occupe une nouvelle table avec la probabilité /(k, indépendamment de ce qui s est passé avant. On note K n la variable aléatoire égale au nombre de tables occupées lorsque n individus ont pris place, et p n,i = P(K n = i, 1 i n. Partie A: 1. Montrer que p n1,1 = n! (n(n 1...(1. Trouver une relation entre p n1,i, p n,i et p n,i 1, pour i n.. En déduire une relation de récurrence satisfaite par le polynôme P n P n (x = p n,i x i, x R. En conclure que P n (x = R n 1 n(x R n (, R n(x = (x i. Quelle est la fonction génératrice de la variable K n? 3. Calculer E(K n et Var(K n à l aide de cette formule. (Laisser le résultat sous la forme d une somme. Partie B: 1. Montrer, à partir de sa définition, que K n s écrit K n = X i (1 avec X 1,...,X n des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes dont on précisera les paramètres.. Retrouver, à l aide de (1, les expressions obtenues précédemment pour E(K n et Var(K n. 3. Montrer que n x dx E(K n 1 et en déduire un équivalent de E(K n. i= n 1 x dx, 4. Montrer que Var(K n E(K n. En déduire que Kn lnn converge dans L et en probabilité vers quand n. 5. Calculer la fonction caractéristique Φ Kn de K n. Trouver une suite c n telle que lim n log Φ Kn EK n (t/c n = t /. En déduire la limite en loi de (K n EK n / log n.
Corrigé Succint Exercice I 1. En suivant l énoncé, on considère l application Φ : (x, y (u, v, avec u = x et v = y x, définie sur D et à valeurs dans ], [. Cette application est bijective, d inverse Φ 1 (u, v = (x, y donnée par x = u, y = v u. On constate que Φ est indéfiniment différentiable ainsi que Φ 1, et on calcule le déterminant jacobien ( u Jac(Φ 1 (u, v = det = u > 1 1 D après la formule de changement de variables différentiable, le couple (U.V a pour densité p U,V (u, v = p X,Y (Φ 1 (u, v Jac(Φ 1 (u, v 1 ], [ (u, v = e u 1 ], [ (u e v 1 ], [ (v On reconnait le produit de deux densités exponentielles de paramètre 1.. Les variables U et V sont donc indépendantes (et de loi exponentielle. Par contre, les variables X et Y ne sont pas indépendantes car la fonction indicatrice de D ne peut pas se mettre sous forme produit. (On a X < Y. 3. On a déjà remarqué que U et V suivent la loi exponentielle de paramètre 1. On calcule la densité de Y par la formule des marginales, p Y (y = p X,Y (x, ydx = e y 1 y> y 1 [ x ] x dx = y e y 1 y> = ye y 1 y>, c est-à-dire une loi gamma γ(s =, = 1. De même, la densité de X est p X (x = p X,Y (x, ydy = 1 [ ] x 1 x> e y = 1 x x x e 1 x> Remarque: X a même loi que le carré d une variable de loi exponentielle (puisque l on a X = U. Exercice II 1. Par indépendance de (X 1, X 3 et (X, X 4, et par la méthode de calcul vue en cours, l espérance conditionnelle est donnée par E(f(Z X, X 4 = Ψ(X, X 4, avec Ψ(x, x 4 = Ef ( x X 1 x 4 X 3 x x 4 3
pour (x, x 4 R \ {(, }. Puisque (X 1, X 3 est un vecteur gaussien, la variable (x X 1 x 4 X 3 /( x x 4 est gaussienne; on voit que cette variable est centrée réduite. Donc, E(f(Z X, X 4 = (π 1/ f(x exp{ x /}dx pour toute f borélienne positive, et la loi conditionnelle de Z sachant (X, X 4 est gaussienne centrée réduite. Il en est de même pour la loi (non conditionnelle de Z.. En utilisant cette fois l indépendance de X 1 et X ainsi que la valeur de la fonction caractéristique de la loi gaussienne centrée réduite, on calcule de même puis, par conditionnement, d après la normalisation gaussienne. E(exp{itX 1 X } X = exp{ t X /}, Φ X1 X (t = E(exp{itX 1 X } = E ( E(exp{itX 1 X } X R = E exp{ t X /} = (π 1/ exp{ (1 t x /}dx R = (1 t 1/, 3. Par indépendance de (X 1, X et (X 3, X 4, on a par calcul direct. 4. On calcule facilement e itx e x 1 R (x dx = On remarque alors que (1 it 1 = Φ X1 X X 3 X 4 (t = Φ X1 X (tφ X3 X 4 (t = ( (1 t 1/ = (1 t 1 = 1 ((1 it 1 (1 it 1 [ e e (1 itx (1 itx dx = (1 it e itx e x 1 R (x dx = ] = (1 it 1 e itx e x 1 R (x dx, et ainsi, 1 e itx e x dx = 1 ((1 it 1 (1 it 1 = Φ Y (t R pour tout t R. Par injectivité de la transformation de Fourier, cela implique que Y suit la loi de densité q(x = 1 e x sur R, qu on appelle loi exponentielle symétrique. 4
Problème Partie A: 1. Puisque la probabilité pour que le k 1-ème individu s asseille à une table déjà occupée vaut k/(k, on a p n1,1 = 1 1... n n. De même, p n1,i = P(K n1 = i = P(K n1 = i K n = ip(k n = i P(K n1 = i K n = i 1P(K n = i 1 n = n p n,i n p n,i 1. On a n1 P n1 (x = p n1,i x i = p n1,1 x p n1,i x i p n1,n1 x n1 i= On applique alors la formule de récurrence de la question 1, et on utilise l égalité p n1,n1 = n /((1...(n, pour obtenir P n1 (x = n x n P n(x. Puisque P 1 (x = x, on en déduit que P n (x = R n (x/r n (. Par ailleurs, la fonction génératrice de K n est Ex Kn = P(K n = ix i = P n (x, x [, 1]. 3. Puisque P n est la fonction génératrice de K n et que P n (1 = 1, on a EK n = P n (1 = P n (1 = (ln P n (1 = ( n 1 P n i= ln(x i (1 = n 1 i= i ( Semblablement, Var(K n = P n(1 P n(1 P n(1, et en utilisant les dérivées logarithmiques, donc P ( n 1 P n (x = n 1 n(1 = i= i= P n (x, x i ( ( n 1 i i= 5, i
et finalement Var(K n = n 1 i= ( 1 n 1 = i i i ( i (3 Partie B: 1. Au convive numéro i on associe une variable X i valant 1 ou selon que i choisit une nouvelle table ou non. Ainsi, X i est une variable de Bernoulli de paramètre q i := i 1. On a K n = X 1... X n, et les X i sont indépendantes par hypothèse.. On a EK n = n EX i, et Var(K n = n Var(X i par indépendance. Avec EX i = q i et Var(X i = q i (1 q i, on retrouve les résultats de ( et (3. 3. Par monotonie de x /( x, on a i i i 1 ce qui donne l encadrement voulu. Puisque n quand n, on en déduit que x dx i 1, x dx = [ ln( x ] n = ln(1 n/ ln n EK n ln n, n. 4. Puisque Var(X i = q i (1 q i q i = EX i, on a Var(K n EK n. Ainsi, K n ln n ( Kn = E ln n = Var(K ( n ln n EKn ln n = O(1/ lnn o(1 tend vers quand n tend vers l infini. Par conséquent, K n /ln n dans L et donc aussi en probabilité. 5. Par indépendance des sommants dans la formule K n = n X i et puisque les X i sont de loi de Bernoulli, la fonction caractéristique de K n est donnée par Φ Kn (t = n Φ Xi (t = n [ 1 qi (e it 1 ]. 6
Puisque c n, on a les développements limités pour tout t R, ( 1 q i (e it/cn 1 = 1 q i i t t O(c 3 c n c n, n log [ 1 q i (e it/cn 1 ] ( = q i i t t (1 q i O(c 3 n c n log Φ Kn EK n (t/c n = t c n On est conduit à poser c n = n q i (1 q i = n 1 i ( i. c n q i (1 q i O(c 3 n q i. (4 Puisque n q i ln n et i 1 q i <, cette suite c n convient. De plus, on a encore quand n. D après (4 et (eq:333, il vient c n ln n, (5 lim n Φ Kn EKn log n (t = exp t /. Comme la convergence des fonctions caractéristiques entraîne la convergence en loi des variables aléatoires, on obtient que K n EK n log n Z en loi,, avec Z une variable gaussienne N(,. Commentaire: Ce modèle n est pas seulement la description de l occupation des tables à la cantine. En écologie et ou génétique, on s interesse au nombre et à l abondance des espèces; la variable K n apparait naturellement pour le nombre d espèces dans un échantillon de n individus. 7