fonction exponentielle de base e Table des matières 1 fonction exponentielle de base e 2 1.1 définition.................................................. 2 1.1.1 activité............................................... 2 1.1.2 à retenir.............................................. 2 1.2 valeurs remarquables et propriétés algébriques.............................. 2 1.2.1 activité............................................... 2 1.2.2 à retenir.............................................. 2 1.2.3 exercices :............................................. 3 1.3 dérivation.................................................. 4 1.3.1 activité............................................... 4 1.3.2 à retenir............................................... 4 1.3.3 exercices.............................................. 4 1.3.4 corrigés exercices.......................................... 5 1.4 limites.................................................... 7 1.4.1 activité............................................... 7 1.4.2 à retenir............................................... 7 1.4.3 exercices.............................................. 7 1.5 équations et inéquations avec exponentiels................................. 8 1.5.1 activité............................................... 8 1.5.2 à retenir.............................................. 8 1.5.3 exercices.............................................. 8 2 fonctions avec e u 9 2.1 activité................................................... 9 2.2 à retenir................................................... 9 2.3 exercices................................................... 10 2.4 liste des exercices.............................................. 11 3 corrigé devoir maison 12 3.1 corrigé devoir maison 1........................................... 12 4 évaluation 12 5 corrigé évaluation 13
1 fonction exponentielle de base e 1.1 définition 1.1.1 activité 1. résoudre chacune des équations en valeur exacte puis en valeur décimale à 0,1 près, puis, compléter chacune des phrases. (a) lny = 2 y =...... est le seul et unique nombre dont le... est égal à 2 soit ln(e... ) =... 1.1.2 à retenir (b) lny = 0 y =...... est le seul et unique nombre dont le logarithme est égal à... soit ln(e... ) =... (c) lny = 2 y =...... est le seul et unique nombre dont le logarithme est égal à... (d) lny = x où x R y =...... est le seul et unique nombre dont le logarithme est égal à... soit... propriété 1 : (fonction exponentielle) la fonction exponentielle associe à tout nombre réel x le nombre noté exp(x) = e x appelé "l exponentiel de x" tel que : e x est égal à l unique nombre y tel que lny = x autrement dit : quel que soit x R, e x = y où lny = x Remarques : (a) e x est l unique nombre dont le... (b) e x existe... (c) quel que soit x R, ln(e... ) =... (d) quel que soit x R, e x est toujours un nombre de signe... 1.2 valeurs remarquables et propriétés algébriques 1.2.1 activité 1. retrouver logiquement les valeurs de e 0 et e 1 (a) ln1 =... e 0 =... (b) lne =... e 1 =...... 2. compléter les démonstrations suivantes où a et b sont des réels quelconques. ln(e (a) a+b } ) =... ln(e a e b =... =... =... =... ) =... =... (b) (c) ln(e a b ) =... ln( ea eb) =... =... } ln[(e a ) b ] =... =... =... ln(e ab ) =... =... =... =... =... } =... =... =... =... 1.2.2 à retenir (d) Soit x > 0 : y = e lnx = lny =... = lny =... = y =... = x =... propriété 2 : (fonction exponentielle) Quels que soient les nombres réels x et y on a : e 1 = e 2,718 e 0 = 1 e xy = (e x ) y e x e y = e x+y e x e y = 1 ex y e x = e x e lnx = x (x>0) ln(e x ) = x e x > 0
1.2.3 exercices : exercice 1 : : simplifier les expressions suivantes : 1. A = e 8 e 2 +e ln2 +ln1+ e8 e 2 ln(e2 )+(e 2 ) 3 3 e 6 2. B = 7e 6 e 6a 6 ( 1 e 6)a +6 3. C = 4ln(e a )+9(lne) a +6lne+7a lne 4e lna 9e ln1 7a où a > 0 4. D = (e x +1)(e x 1) (e x+1 )(e x 1 ) exercice 2 : : 1 e0,26x 1. A(x) = et B(x) = 1+99e 0,26x e 0,26x +99 Montrer que A(x) = B(x) pour tout x puis calculer A(0) 3 2. A = 1+125504e 1,9x et B = 3e 1,9x e 1,9x +125504 Montrer que A(x) = B(x) pour tout x puis calculer A(1)
1.3 dérivation 1.3.1 activité A. compléter les démonstrations suivantes qui utilisent le fait que : (lnu) = u u 1. ln(e x ) = x = (ln(e x )) = (x) = ( ) e x =... = (e x ) =... 2. ln(e u ) = u = (ln(e u )) = (u) = e u =... = (eu ) =... B. en déduire. 1. f(x) = 4x 3 6x 2 10x+2+ 1 x +5lnx+2ex = f (x) =... 2. f(x) = e 10x+2 = f (x) =... 3. f(x) = e 5x2 2x+2 = f (x) =... 1.3.2 à retenir propriété 3 : (dérivation et fonction exponentielle) f(x) f (x) e x e x e ax ae ax où a R e ax+b ae ax+b où a R et b R e u u e u où u est une fonction dérivable 1.3.3 exercices exercice 3 : calculer les dérivées des fonctions suivantes 1. f(x) = x+3 e x 2. f(x) = x 2 2x+10e x 3. f(x) = xe x 4. f(x) = (2x+1)e x 5. f(x) = ex 1 e x +1 6. f(x) = 2e 0,5x+3 e x exercice 4 : (exercice 143 page 77) soit la fonction f définie par : f(x) = 10 sur [ 10 ; 10 ] 1+e x 1. a. démontrer que f (x) = 10e x (1+e x ) 2 b. en déduire le sens de variation de f 2. a. donner un tableau de valeurs de f arrondies à 0,1 près pour les valeurs entières de x de 0 à 5. b. I(0,5) est centre de symétrie de la courbe C f, construire la courbe de f. 3. a. résoudre algébriquement l équation f(x) = 9 b. donner une valeur approchée à 10 2 près de la valeur α obtenue en a. c. placer sur la courbe, le point A d abscisse α 4. on admet que f(x) est le nombre de millions de foyers équipés d un bien ménager B à la fin de l année (1980 + x) a. déterminer le nombre de foyers équipés en 1978 b. en quelle année le nombre de foyers équipés sera de 9 millions?
1.3.4 corrigés exercices corrigé exercice 143 page 77 soit la fonction f définie par : f(x) = 10 sur [ 10 ; 10 ] 1+e x 1. a. f = u v donc f = u v uv v 2 avec u = 10 = u = 0 v = 1+e x = v = e x d où f (x) = 0(1+e x ) 10 ( e x ) (1+e x ) 2 = 10e x (1+e x ) 2 b. pour l annulation et le signe de f (x) : 10 > 0 e x > 0 en tant qu exponentiel (1+e x ) 2 > 0 en tant que carré d où le tableau de variations donc f (x) > 0 sur [ 10 ; 10 ] x -10 10 f (x) + 9,99 f(x) ր f( 10) = 0 10 1+e ( 10) 4,5 10 4 0 et f(10) 9,99 2. a. tableu de valeurs à 0,1 près x 0 1 2 3 4 5 f(x) 5 7,3 8,8 9,5 9,8 9,9 b. I(0,5) est centre de symétrie de la courbe C f, construire la courbe de f. y C f 9 A 8 7 6 5 I(0, 5) 4 3 2 1 x 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3. a. résoudre algébriquement l équation f(x) = 9 f(x) = 9 10 1+e x = 9 1 10 1 = (1+e x ) 9 10 = 9+9e x 1 9 = e x ln( 1 9 ) = x x = ln( 1 ) = ln9 2,20 9 b. une valeur approchée à 10 2 près de la valeur α obtenue en a est 2,20. c. placer sur la courbe, le point A d abscisse α 4. on admet que f(x) est le nombre de millions de foyers équipés d un bien ménager B à la fin de l année (1980 + x) a. nombre de foyers équipés en 1978 : x = 1978 1980 = 2 f( 2) = 10 0,192 millions de foyers 1+e ( 2) b. en quelle année le nombre de foyers équipés sera de 9 millions? c est durant l année 1980 + 2 = 1982 que le nombre de foyers équipés dépasse 9 millions.
1.4 limites 1.4.1 activité A. 1. compléter le tableau de valeurs suivant x -100-10 -1 0 1 10 100 e x 2. conjecturer la valeur des limites suivantes : a. lim x + ex =... B. 1. compléter le tableau de valeurs suivant lim x ex =... x 1 10 50 100 e x x e x 2. conjecturer la valeur de la limite suivante : lim x + x =... C. 1. compléter le tableau de valeurs suivant x -100-50 -10 1 xe x 2. conjecturer la valeur de la limite suivante : lim x xex =... 1.4.2 à retenir propriété 4 : (limites) lim x + ex = + lim x ex = 0 e x lim x + x = + lim x xex = 0 e x lim x + x n = + lim x xn e x = 0 où n N Remarque : En et +, e x l emporte sur toute puissance de x. 1.4.3 exercices exercice 5 : déterminer les limites suivantes et en déduire une caractéristique de la courbe de la fonction 1. lim x + 100 5+e x 2. lim x + 1+ 3 e x +10 3. lim x + 4 5+e x 4. lim x + 4 e x (x+2) 2 sachant que lim x + e x (x+2) 2 = 0 5. lim x + 3 1+125504e 1,9x sachant que lim x + 125504e 1,9x = 0 6. lim t + 1 1+4,9e 0,125t sachant que lim t + e 0,125t = 0
1.5 équations et inéquations avec exponentiels. 1.5.1 activité A. résoudre les équations suivantes. 1. e x = 2...... 2. e x = 0... 3. e x = 2... 4. e x = e 2...... B. résoudre les inéquations suivantes. 1. e x < 2...... 2. e x > 0... 3. e x > 2... 1.5.2 à retenir 4. e x < e 2...... propriété 5 : (équations et inéquations) e x = e y x = y pour tout x et y dans R e x > e y x > y pour tout x et y dans R e x = a x = lna pour tout nombre réel a > 0 e x = 0 n a pas de solution dans R car un exponentiel est positif strict e x = a où a < 0 n a pas de solution dans R car un exponentiel est positif strict e x > a x > lna pour tout nombre réel a > 0 e x < a x < lna pour tout nombre réel a > 0 1.5.3 exercices Remarque : cette propriété permet de résoudre des (in)équations où apparaît l exponentiel. exercice 6 : résoudre les équations ou inéquations suivantes 1. 5e 0,02t = 9 2. 1 = 0,5 1+4,9e 0,125t 3. 4. 3 = 2,5 1+125504e 1,9x 1 > 0,8 1+99e 0,26t
2 fonctions avec e u 2.1 activité 1. 5. On sort un thermomètre d un congélateur à la date x = 0, congélateur réglé sur 10 C On le laisse posé sur une table à la température ambiante de 20 C La température T indiquée par le thermomètre est donnée en fonction de x par une fonction exponentielle de la forme T(x) = 20 30e 0,1x (a) calculer T (x) (b) en déduire le sens de variation de T (c) donner le tableau de variation de T sur [0;+ [ en conjecturant la valeur de lim T(x) à la calculatrice x + 2. Après administration d un médicament par injection intraveineuse, la concentration de la substance médicamenteuse dans le sang C évolue en fonction du temps et peut-être décrite par une fonction du type C(t) = C 0 e Kt dans laquelle C(t) représente la concentration t secondes après l injection, C 0 > 0 la concentration initiale et K > 0, la constante d élimination (a) calculer C (t) en fonction de C 0 et K (b) en déduire le sens de variation de C (c) donner le tableau de variation de C sur [0;+ [ et essayer de justifier la valeur de lim x + C(t) 2.2 à retenir propriété 6 : (dérivation et sens de variation) quelle que soit la fonction u définie et dérivable sur l intervalle I (1) la fonction e u : x e u(x) est définie pour tout x I (2) (e u ) = u e u (3) u et e u ont le même sens de variation sur I exemples : i. f(x) = e 3x+2 est définie pour... f (x) =... le sens de variation de f est... ii. f(x) = e x est définie pour... f (x) =... le sens de variation de f est...
2.3 exercices exercice 7 : 1. rappeler la dérivée de e u où u est une fonction dérivable définie sur un intervalle I 2. dans chaque cas (a) préciser le domaine de définition de f (b) calculer f (x) (c) en déduire le sens de variation de f sur le domaine de définition i. f(x) = e 3x+4 ii. f(x) = e 8+2x iii. f(x) = e 3x2 3x+12 iv. f(t) = e 4t3 3t+2 v. f(x) = 10e 3x+4 vi. f(x) = 5e 3x2 4x+12 vii. f(x) = 8e x 3e 4x +5e 4x viii. f(x) = 3xe 4x ix. f(x) = (4x 1)e 2x x. f(x) = x2 4x+3 e 0,5x xi. f(x) = 3 e 5x +4 xii. f(x) = e 0,5x+2 2x exercice 8 : 1. soit la fonction définie par f(x) = 5e 0,5x2 +6x 18 pour x [0;12] (a) calculer f (x) et en déduire le tableau de variation de f pour x [0;12] (b) quelle est la valeur du maximum de f pour x [0;12] et pour quelle valeur de x est-il atteint? (c) i. combien de solutions l équation f(x) = 4 admet-elle? ii. déterminer à la calculatrice une valeur approchée de la (des) solution(s) éventuelle(s) à 0,1 près 2. Pour un certain hôtel qui ouvre ses portes le premier Janvier 2013, le nombre de centaines de réservations est estimé en fonction du nombre x de mois passés à compter du premier janvier 2013 par la fonction f ci dessus (a) estimer le nombre de réservations 6 mois après l ouverture des portes (b) quel nombre maximal de réservations devrait-il faire et à quelle date? (c) après combien de temps atteint-il les 400 réservations? (d) que se passe t-il pour le nombre de réservations à long terme?
2.4 liste des exercices 1. écritures : 47p57 + exercice 3 du site 2. équations : 51 et 52 p57 3. inéquations et signe : 57, 58 et 59 p58 4. dérivées : 93p61 sauf f) 5. limites : 74 à 76 p59
3 corrigé devoir maison 3.1 corrigé devoir maison 1 corrigé devoir maison 4 évaluation
5 corrigé évaluation