S FONTION RAINE ARREE Ecrire les expressions suivantes sans racines carrées au dénominateur : + x x + x + x x x + x x + x x² 7 x + x Equations : x x 7 x x x x 7 7 x + 0 8 x + x 0.x. 0 x x + Inéquations : x > 8 x x x 7 8 Donner l ensemble de définition des fonctions suivantes : x + x g(x) x² + + x² x² + x x x + Dresser le tableau de signes des fonctions suivantes : x x + g(x) x g(x) x 7 f (x) x + f (x) x + f (x) x + g(x) x + Soit f la fonction f (x) x + ) Donner l ensemble de définition de f. ) Donner le sens de variation de la fonction f. Dresser le tableau de variations de f. ) Résoudre l équation Soit f la fonction x ) Donner l ensemble de définition de f. ) Donner le sens de variation de la fonction f. Dresser le tableau de variations de f. ) Résoudre l équation Soit f la fonction x ) Donner l ensemble de définition de f. ) Donner le sens de variations de f. ) Résoudre l équation - Soit f la fonction x + + x x ) Donner l ensemble de définition de f. ) Donner le sens de variations de f. Dresser le tableau de variations de f. ) Résoudre l équation -. ) Résoudre l équation 7. On considère la fonction f définie sur l intervalle [- ; + [ par a x + où a est un réel donné non nul. ) Déterminer le sens de variation de f suivant les valeurs de a. ) On donne f(8) -. Etablir le tableau de variation de f. FRLT Page //07
S FONTION RAINE ARREE 0 On considère la fonction f définie sur l intervalle [ 0 ; + [ par On donne f() 0 et f(). ) Déterminer les valeurs de a et b. ) Déterminer le sens de variation de f. a x + b où a et b sont des réels fixés. On considère la fonction f définie par f (x) a x + b où a et b sont des réels fixés. On donne f(0) et f(). ) Déterminer les valeurs de a et b. ) Déterminer le sens de variation de f. On considère la fonction f définie par x². On note sa courbe représentative. ) Donner l ensemble de définition de f. ) Préciser les coordonnées d un point M de. ) Démontrer que la courbe est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. On considère la fonction f définie sur R par f (x) + x². On note sa courbe représentative. ) Démontrer que f est décroissante sur ] - ; 0] et croissante sur [0 ; + [. ) En déduire que f admet un minimum que l on précisera. ) Résoudre les équations et. On veut résoudre l équation E : x x. ) Grace à la calculatrice, émettre une conjecture sur le nombre de solutions de l équation E. Donner une valeur approchée de chaque solution. ) Déterminer l ensemble de définition D de E. ) Montrer que l équation E est équivalente à x² - x + 0 pour tout x de D. ) Résoudre cette dernière équation et en déduire l ensemble des solutions de E. omparaison de x et de x : Soit d la droite d équation y x et la représentation graphique de la fonction racine carrée. Soit d la fonction définie sur [0 ; + [ par d(x) x x. ) Justifier que d(x) x( x ) ) Etudier le signe de d(x) suivant les valeurs de x. ) En déduire les positions relatives de D et. ) omparer sans calculatrice : a). et. b) 0 et 0 c) 0.8 et 0. 8 FRLT Page //07
S FONTION RAINE ARREE On considère les trois fonctions f, g et h définies sur [0; + [ par f (x) x ; g(x) x² ; h(x) x dont les courbes représentatives sont données dans le repère orthonormé ci-dessous : ) Graphiquement, déterminer l ensemble des solutions de l équation g(x). ) Retrouver le résultat précédent par le calcul. ) Graphiquement, déterminer l ensemble des solutions de l équation h(x). ) Retrouver le résultat précédent par le calcul. ) Graphiquement, déterminer la position relative des cours f et h. ) Graphiquement, déterminer l ensemble des solutions de l équation g(x) h(x). 7) Retrouver le résultat précédent par le calcul. 7 On considère la fonction f définie par. On note sa courbe représentative. x ) Donner l ensemble de définition de f. ) Démontrer que f est décroissante sur D. ) Résoudre les équations f (x) x. 8 On considère la fonction f définie par x + x ) Déterminer l ensemble de définition D de f. ) Tracer la fonction f sur la calculatrice et conjecturer le sens de variation de f sur D. ) Démontrer que pour tout x de D, x + + x ) Démontrer que f est décroissante sur D. On considère la fonction f définie sur l intervalle [0; + [, par x x. ) Soit a et b deux réels tels que 0 a b. Justifier les inégalités suivantes : a a b a ; a b ; b a b b ) En déduire que la fonction f est croissante sur [0 ; + [. ) alculer f() ) Démontrer que l équation 0 a pour unique solution le réel. 0 On considère la fonction f définie par. x + ) Donner l ensemble de définition de f. ) Démontrer que f est croissante sur D. Soit f et g deux fonctions définies sur ]- ; ] par x etg(x) x. ) Résoudre l équation ( x )² x +. Vérifier que les solutions trouvées sont solutions de l équation g(x) ) Sur ]- ; ], établir que la fonction f est décroissante. ) Justifier que la fonction g est décroissante. ) En déduire la position relative des courbes f et g. FRLT Page //07
S FONTION RAINE ARREE ORRIGE : Equations : x Impossible x 7 7 x 7 x + 0 8 x x + x x 0.x. D [; + [ S { } 0 x x x + D ] ;] S { } Inéquations : x > 8 > x ;x x x x 8 Donner l ensemble de définition des fonctions suivantes : x + x g(x) x² + + x² x² + x D [; + [ x x + D ]- ;-] [; + [ x x + D ]- ;-] [; + [ x g(x) x D [; + [ D ]- ;-] [; + [ Dresser le tableau de signes des fonctions suivantes : D ]0 ; ] x x 0 + Signe - 0 + f (x) x + x 0 + Signe + Soit f la fonction x + g(x) x 7 x 0 + Signe - 0 + f (x) x + x 0 + Signe + 0 - f (x) x + x 0 + Signe + g(x) x + x 0 + Signe - 0 + ) Donner l ensemble de définition de f. D ] ; ] ) Donner le sens de variation de la fonction g définie par g(x) - x +. La fonction g est décroissante sur R. ) En déduire le sens de variations de f. La fonction f est décroissante sur ] ; ] ) Résoudre l équation : f (x) x + 7 Soit f la fonction x ) Donner l ensemble de définition de f. définie x ; Donc f est définie sur[; + [ ) Donner le sens de variation de la fonction g définie par g(x) x -. La fonction g est une fonction affine de coefficient directeur positif. Elle est donc croissante sur R. ) En déduire le sens de variations de f. La fonction f est donc croissante sur [ ; + [ ) Résoudre l équation. f (x) x x x Soit f la fonction x ) Donner l ensemble de définition de f. D [ ; + [ ) Donner le sens de variations de f. la fonction f est décroissante sur D ) Résoudre l équation - ; f (x) x 7 8 FRLT Page //07
S FONTION RAINE ARREE 8 Soit f la fonction x + + ) Donner l ensemble de définition de f. D [-; + [ ) Donner le sens de variations de f. Dresser le tableau de variations de f. Soient aetbdans[ ; + [ tels que a < b f(a) f(b) a + + _( b + + ) a + + b + ( a + b + )( a + + ( a + b + ) a + + b + a < b donc (a b) > 0 donc f(a) f(b) > 0 Donc f est décroissante surd. ) Résoudre l équation -. f (x) x + + ) Résoudre l équation 7. 7 x + impossible; L'équation n'a pas de solution. b + ) (a b) a + + b + On considère la fonction f définie sur l intervalle [- ; + [ par a x + où a est un réel donné non nul. ) Déterminer le sens de variation de f suivant les valeurs de a. Pour a > 0, la fonction f est croissante. Pour a < 0, la fonction f est décroissante ) On donne f(8) -. Etablir le tableau de variation de f. f(8) a 8 + a a donc x + Tableau de variations : x - + f (x) - 0 On considère la fonction f définie sur l intervalle [ 0 ; + [ par a x + b où a et b sont des réels fixés. On donne f() 0 et f(). ) Déterminer les valeurs de a et b. f() 0 a + b 0 a x + f() a + b b ) Déterminer le sens de variation de f. Tableau de variations : x 0 + f (x) On considère la fonction f définie par f (x) a x + b où a et b sont des réels fixés. On donne f(0) et f(). ) Déterminer les valeurs de a et b. a b f(0) a b a b a b a f() + b a b b b + b b b + + b x + ) Déterminer le sens de variation de f. x - + f (x) 0 On considère la fonction f définie par x². On note sa courbe représentative. ) Donner l ensemble de définition de f. existe x² [ ;] ) Préciser les coordonnées d un point M de. FRLT Page //07
S FONTION RAINE ARREE x M x² ) Démontrer que la courbe est un arc de cercle dont on précisera le centre et le rayon. est un demi cercle de centre O et de rayon. En effet : OM (x 0)² + ( x² 0)² x² + x² On considère la fonction f définie sur R par f (x) + x². On note sa courbe représentative. ) Démontrer que f est décroissante sur ]- ; 0] et croissante sur [0; + [. soient a < b < 0 soient 0 < a < b < b² < a² < + b² < + a² < + b² < < f(b) < f(a) + a² donc f est décroissante sur ] ;0] < a² < b² < + a² < + b² de même : < + a² < + b² < f(a) < f(b) donc f est croissante sur[0; + [ ) En déduire que f admet un minimum que l on précisera. La fonction f admet donc un minium en 0 ; ce minimum vaut. ) Résoudre les équations et. L équation n admet pas de solution car le minimum de f est. f (x) + x² + x² + x² ² ± On veut résoudre l équation E : x x. ) Grace à la calculatrice, émettre une conjecture sur le nombre de solutions de l équation E. Donner une valeur approchée de chaque solution. L équation semble avoir une seule solution ; grâce à un tableau de valeur, une valeur approchée de la solution est. ) Déterminer l ensemble de définition D de E. donc D [; + [ etx ) Montrer que l équation E est équivalente à x² - x + 0 pour tout x de D. x x x (x )² x x² x + x² x + 0 ) Résoudre cette dernière équation et en déduire l ensemble des solutions de E. + + donc S x² x + 0 x < oux omparaison de x et de x. Soit d la droite d équation y x et la représentation graphique de la fonction racine carrée. Soit d la fonction définie sur [0 ; + [ par d(x) x - x. ) Justifier que d(x) x( x ) d(x) x x x x x x( x ) ) Etudier le signe de d(x) suivant les valeurs de x. d(x) 0 x Donc d(x) 0 si 0 x et d(x) 0 si x. ) En déduire les positions relatives de D et. D est en dessous de sur [0 ; ] et D est au dessus de sur [ ; + [. ) omparer sans calculatrice : d). et. :. >. e) 0 et 0 : 0 > 0 f) 0.8 et 0. 8 : 0.8 < 0. 8 FRLT Page //07
S FONTION RAINE ARREE 7 On considère la fonction f définie par. On note sa courbe représentative. x ) Donner l ensemble de définition de f. donc D ]; + [ etx ) Démontrer que f est décroissante sur D. La fonction x-> x- est croissante sur R. La fonction x -> x est croissante sur R + donc la fonction x-> x est croissante sur [; + [ Or la fonction inverse est décroissante sur R * donc la fonction f est décroissante sur D. ) Résoudre les équations x. x x x (x ) ² x 0 + Doux + S FRLT Page 7 //07