SOLIDES TD N 11 - CORRIGE Exercice 1 (Lille, 1992) 1) Dans le triangle AFD, S est le milieu de [AF] et M le milieu de [AD]. Le théorème de la droite des milieux permet d écrire QM = 2 1 FD. Dans le triangle ADB, R est le milieu de [AB] et M le milieu de [AD]. Le théorème de la droite des milieux permet d écrire MR = 2 1 BD. Dans le triangle ABF, R est le milieu de [AB] et Q le milieu de [FA]. Le théorème de la droite des milieux permet d écrire QR = 2 1 FB. FD, BD et FB sont les diagonales des carrés ADEF, ABCD et ABGF. On en déduit FD = BD = FB d où QM = MR = QR. QMR est donc un triangle équilatéral. 2) P est le milieu de [GB] et N est le milieu de [BC]. Donc PB = BN = 4 cm. De plus l angle PBˆ N est droit. Le triangle PBN est un triangle rectangle isocèle en B. 3) Ce polyèdre est constitué de 5 faces : PBN est un triangle rectangle isocèle en B. PQMN est un rectangle de longueur 8 cm et de largeur égale à PN. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle PBN permet d écrire : PN² = PB² + BN² = 4² + 4² = 32 donc PN = 4 2. BNMR et PQRB sont des trapèzes rectangles tels que BR = 4 cm et MN = PQ = 8 cm. QRM est un triangle équilatéral. Solides TD n 11 - Corrigé 1 / 8
Exercice 2 (Grenoble, 1994) 1) DHCG est une face du cube donc DHCG est un carré. ADH et ADC sont des triangles rectangles isocèles. ACG est un triangle rectangle en C car (CG) est perpendiculaire au plan ABCD, donc à toute droite de ce plan, donc à (AC). AHG est un triangle rectangle en H car (HG) est perpendiculaire au plan ADHE, donc à toute droite de ce plan, donc à (AH). 2) DC = CG = GH = DH = AD = 4 cm (arêtes du cube). AC et AH sont les diagonales d un carré de 4 cm de côté. Solides TD n 11 - Corrigé 2 / 8
Donc AC = AH = 4 2 5,6 cm. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle AGC rectangle en C permet d écrire : AG² = AC² + CG² = 32 + 12 = 48. D où AG = 4 3 6,9 cm. 3) Exercice 3 (Toulouse, 1993) 1) AS² + AB² = a² + a² = 2a² SB² = (a 2 )² = 2a² Donc AS² + AB² = SB². D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ASB est rectangle en A. AS² + AD² = a² + a² = 2a² SD² = (a 2 )² = 2a² Donc AS² + AD² = SD². D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ASD est rectangle en A. (SA) est perpendiculaire à (AB) car ASB est un triangle rectangle en A. (SA) est perpendiculaire à (AD) car ASD est un triangle rectangle en A. Solides TD n 11 - Corrigé 3 / 8
(SA) est donc perpendiculaire à deux droites sécantes du plan. Elle est donc perpendiculaire au plan ABCD. 2) Il faut démontrer que le triangle SAC est rectangle en A. (SA) est perpendiculaire au plan ABCD. Elle est donc perpendiculaire à toute droite du plan et en particulier à (AC). Le triangle SAC est donc rectangle en A. Dans ce triangle, le théorème de Pythagore permet d écrire : SC² = SA² + AC² Or AC est la diagonale du carré ABCD, SC = a 2. On a donc : SC² = SA² + AC² = a² + (a 2 )² = 3a², d où SC = a 3 SB² + BC² = 2a² + a² = 3a² SC² = 3a². Donc SB² + BC² = SC². D après la réciproque du Théorème de Pythagore, le triangle SBC est rectangle en B. SD² + DC² = 2a² + a² = 3a² SC² = 3a². Donc SD² + DC² = SD². D après la réciproque du Théorème de Pythagore, le triangle SDC est rectangle en D. 3) a) (a = 3 cm) Solides TD n 11 - Corrigé 4 / 8
b) A partir du carré ABCD, tracer le point S 1, symétrique de D par rapport à A. Tracer le point S 2, symétrique de B par rapport à A. Sur la demi-droite d origine A passant par B, tracer le point S 3 tel que BS 1 = BS 3. Sur la demi-droite d origine A passant par D, tracer le point S 4 tel que BS 2 = BS 4. Exercice 4 (Toulouse, 1994) 1) (OS) est perpendiculaire au plan du disque donc elle est perpendiculaire à toute droite de ce plan. Donc (OS) est perpendiculaire à (AB) et (OM). 2) Le triangle OSA est rectangle en O. Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle permet d écrire : SA² = OA² + OS² OS² = SA² - OA² = 10² - 5² = 100 25 = 75 OS = 75 = 5 3 cm. 3) Le triangle OSM est rectangle en O. Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle permet d écrire : SM² = OM² + SO² SM² = 5² + (5 3 )² = 25 + 75 = 100 SM = 10 cm. Solides TD n 11 - Corrigé 5 / 8
Exercice 5 (Rouen, 1994) 1) La base du prisme est un polygone a 6 côtés. Ce prisme a donc 8 faces, 12 sommets et 18 arêtes. 2) On peut commencer par tracer les trois carrés et tracer la droite (BB ). 3) A ÂF = FDˆ C = 60 (angles correspondants en considérant les parallèles (A B) et (DC) et la sécante (AD)). On peut donc tracer [AF] en traçant le triangle équilatéral AA F. Puis on place le point D intersection de (AF) et de l arc de cercle de centre F et de rayon 3 cm. On place ensuite le point E tel que EFD soit un triangle équilatéral Il y a trois positions possibles pour le carré manquant. Solides TD n 11 - Corrigé 6 / 8
Exercice 6 (Corse, 1998) 1) Le triangle HBC est rectangle en C car BC est perpendiculaire à HDCG donc perpendiculaire à toutes les droites de cette face donc (BC) est perpendiculaire à (HC). 2) a) DB est la diagonale du carré ABCD donc DB = 6 2 Le triangle HDB est rectangle en D. D après Pythagore : HB² = HD² + DB² HB² = 6² + ( 6 2 )² = 36 + 72 = 108 HB = 108 = 36 3 = 6 3 b) Réciproque du théorème de Thalès : DB DH HB K milieu de [DH] et I milieu de [BD] donc [KI] // [HB] et = = = 2 DI DK KI HB KI = = 2 6 3 2 KI = 3 3 c) Solides TD n 11 - Corrigé 7 / 8
3) a) 1 b) V = b h 3 1 V = BC Aire(HDC) = 3 1 3 36 6 = 36 cm³ 2 Solides TD n 11 - Corrigé 8 / 8