HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT
Table analytique des matières 1. La structure d'espace vectoriel 1. Espaces vectoriels 1 2. Combinaisons linéaires 7 3. Sous-espaces vectoriels 9 4. Sous-espaces affines 17 Annexe. Propriétés de l'opérateur Z 21 Exercices 23 2. Relations linéaires 1. Proportionnalité et colinéarité 29 2. Dépendance et indépendance linéaire 30 3. Base d'un espace vectoriel 34 Annexe, la règle du déterminant 2-2 37 Exercices 39 3. Opérations élémentaires 1. Description 43 2. Propriétés 44 Exercices 48 4. Applications linéaires 1. Définition et propriétés immédiates 51 2. Composition des applications linéaires 55 3. Image et noyau 56 4. Isomorphismes 60 Exercices 63 5. Le concept de dimension 1. Isomorphisme attaché à une base 70 2. Espaces vectoriels de dimension finie 72 3. Rang d'une famille de vecteurs 78 4. Matrices triangulaires de M n (K) et drapeaux 81 Annexe. Rang d'une matrice 84 Exercices 90 6. Calcul matriciel 1. Définitions et vocabulaire 97 2. Produit matriciel 100 3. Matrices carrées. Calculs dans SM n (K)\05 4. Matrices inversibles 107 5. Système linéaire 111 Annexe 1. Produit par blocs 115 Annexe 2 (*). Matrices blocs triangulaires inversibles 117 Exercices 119
XII 7. K-algèbres 1. La structure de K-algèbre 130 2. Exemples 132 3. Calculs dans une K-algèbre 133 4. (*) Polynôme minimal ~ 136 5. Éléments inversibles 137 6. Retour sur l'algèbre M n (K) 139 7. L'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel 141 Annexe 1. Algèbre des polynômes à une indéterminée 144 Annexe 2. Calcul de Ç" 154 Exercices 155 8. L'algorithme du pivot 1. Matrices élémentaires 163 2. Invariants matriciels 166 3. Le principe du pivot de Gauss 170 4. Conséquences 177 5. (*) Décomposition de Gauss-Jordan 182 6. Une interprétation des opérations élémentaires. 187 Annexe 1. Algorithmes 190 Annexe 2. Matrices de permutations 192 Exercices 195 9. Résolution des systèmes linéaires 1. Rang d'un système linéaire 208 2. Résolution d'une équation linéaire 212 3. Résolution d'un système linéaire par l'algorithme du pivot 214 Annexe 1. Exemples traditionnels de système linéaires 220 Annexe 2. Équation d'un hyperplan 226 Annexe 3. Illustrations géométriques 232 Exercices 239 10. Application linéaire en dimension finie 1. Matrice d'une application linéaire 248 2. Premiers exemples 251 3. Image et Noyau 252 4. Composition et produit matriciel 255 5. L'isomorphisme entre End E et M n (K) où n = dim E 256 6. Le cas des formes linéaires 257 7. Image d'un sous-espace vectoriel 258 8. Application linéaire et inversibilité d'une matrice 260 Annexe 1. Détermination pratique du rang, de l'image et du noyau d'une application linéaire en dimension finie 264 Annexe 2. Matrices triangulaires 267 Exercices 269
XIII 11. Changements de base 1. Matrice de passage 277 2. Applications linéaires et changement de base 280 3. Le problème de la réduction des endomorphismes 283 Exercices " 285 12. Une synthèse 1. Matrices inversibles. Interprétations 292 2. Une vision d'ensemble 293 Exercices 297 13. Sous-espaces supplémentaires 1. Somme de deux sous-espaces vectoriels 300 2. La situation en dimension finie 301 3. Projecteurs et symétries 304 4. Du côté des applications linéaires 308 Annexe 1. Somme directe d'un hyperplan et d'une droite 310 Annexe 2. Caractérisations des projecteurs 312 Annexe 3. Somme de plusieurs sous-espaces vectoriels ' 313 Exercices 316 14. (*) Théorie du rang 1. Rang d'une famille de vecteurs 322 2. Rang d'une matrice 322 3. Rang d'une application linéaire 323 Exercices 329 15. (*) Dualité en dimension finie 1. Formes linéaires et hyperplans 335 2. Bases duales 337 3. Équations linéaires définissant un sous-espace vectoriel 338 Exercices 343 16. Multilinéarité 1. Applications bilinéaires 348 2. Formes bilinéaires 350 3. Application multilinéaires 352 17. Déterminants 1. Formes bilinéaires alternées d'un espace vectoriel de dimension 2 357 2. Formes 3-linéaires alternées d'un espace vectoriel de dimension 3 359 3. (*) Formes «-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension ri 363 4. Relation de Chasles 366 5. Déterminant d'un endomorphisme 347 6. Calcul des déterminants 369 7. De l'utilisation des déterminants 373 8. Orientation d'un espace vectoriel réel 376 Annexe. Géométrie élémentaire, systèmes linéaires et déterminants 378 Exercices 380
XIV 18. Introduction à la réduction des endomorphismes 1. Spectre d'un endomorphisme 393 2. Polynôme caractéristique 394 3. Diagonalisation en dimension finie 398 4. Trigonalisation en dimension finie 401 Annexe 1 (*) Les projections sur les sous-espaces propres d'un endomorphisme diagonalisable 404 Annexe 2. Sous-espaces vectoriels stables 406 Exercices 407 19. Réduction des endomorphismes et polynôme minimal 1. Polynôme minimal d'un endomorphisme 416 2. Décomposition des noyaux 420 3. Application à la théorie de la réduction 422 4. Sous-espaces stables et endomorphismes semi-simples 423 Exercices 426 20. Endomorphismes nilpotents 1. Définitions et premières propriétés 436 2. Réduction : résultats élémentaires 437 3. (*) Réduction de Jordan 439 Exercices 444 21. Espaces vectoriels euclidiens 1. Produit scalaire 448 2. Premiers exemples 451 3. Orthogonalité 452 4. Bases orthonormées (ou orthonormales) 454 5. Orthogonal d'un sous-espace vectoriel 457 6. Orientation d'un espace vectoriel euclidien 459 7. Dualité dans un espace euclidien ; 460 8. (*) Adjoint d'un endomorphisme 461 Annexe. Algorithme de Gram-Schmidt 464 Exercices 466 22. Projections et symétries orthogonales 1. Données générales 473 2. Calculs dans une base orthonormée 475 3. Caractérisations 478 4. Projection et symétrie orthogonales sur un sous-espace affine 481 Annexe. Illustrations géométriques 485 Exercices 487 23. Transformations et matrices orthogonales 1. Le groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien 495 2. Classification des transformations orthogonales en'dimension 2 et 3 500 Exercices 507
24. Transformations orthogonales en dimension 2. Angle orienté 1. Matrices orthogonales de O 2 (K) 511 2. Dimension 2 : le concept d'angle orienté 514 Annexe. Un formulaire classique 518 Exercices 519 25. Produit vectoriel et rotation de l'espace 1. Produit vectoriel 521 2. Propriétés immédiates 522 3. L'endomorphisme a> A 525 4. Description des rotations d'un espace euclidien orienté de dimension 3 526 Exercices 530 26. Formes bilinéaires 1. Formes bilinéaires symétriques ou antisymétriques 538 2. Formes quadratiques 540 3. Formes bilinéaires symétriques et dualité 542 4. Formes bilinéaires symétriques : orthogonal 543 5. Formes bilinéaires symétriques : bases orthogonales 545 6. Formes bilinéaires dans le cadre euclidien 549 Annexe 1. Caractérisation des formes bilinéaires (anti-)symétriques 554 Annexe 2. Algorithme d'orthogonalisation 555 Exercices 558 Études Etude n l Familles libres 566 Étude n 2 Bases de K n [x] 568 Étude n 3 Suites récurrentes linéaires 577 Étude n 4 Équations différentielles linéaires à coefficients constants 585 Étude n 5 Une matrice incontournable 594 Étude n 6 Matrices magiques 600 Étude n 7 Homothéties vectorielles 606 Étude n 8 Réduction en dimension 2 608 Étude n 9 Réduction en dimension 3 611 Étude n 10 Exemples de calcul des puissances d'une matrice carrée 617 Étude n ll Endomorphismes de rang 1 620 Étude n 12 Théorèmes de Cayley-Hamilton- Frobenius 622 Étude n 13 Sous-espaces caractéristiques 627 Étude n 14 Commutant 631 Etude n 15 Factorisation LU 633 Étude n" 16 Méthode de Householder et factorisation QR 642 Étude n 17 Endomorphismes symétriques : d'un espace vectoriel euclidien 647 Étude n 18 Endomorphismes antisymétriques d'un espace vectoriel euclidien 652 Étude n 19 Champ des vitesses d'un solide en mouvement 658 Étude n 20 Réduction d'un automorphisme orthogonal 660 Étude n 21 Endomorphismes normaux d'un espace vectoriel euclidien 667 Étude n 22 Matrices symétriques définies positives. Algorithme de Choleski 673 Étude n 23 Quaternions de Hamilton 677