Les Similitudes planes. Les transformations du plan : Déf : T est une transformation du plan si tout point admet une unique image et si quelque soit de P, il existe un unique antécédent X ( T ( X ) = ) c est-à-dire qu une transformation du plan P est une bijection de P dans lui-même. Remarque : Les translations, les homothéties, les réflexions sont des transformations. Les projections ne sont pas des transformations. Conséquence : Une transformation T du plan admet une transformation réciproque T -1. La composée de deux transformations du plan T 1 suivie de T 2 est une transformation du plan notée T 2 o T 1. Exemple : 1. Dans un repère orthonormal direct, les transformations T 1 et T 2 ont respectivement pour écriture complexe z = iz + 2 i et z = 2z + i. Quelle est l écriture de T 2 T 1? 2. Dans un repère orthonormal direct, la transfortion T 1 a pour écriture complexe z = 2(1 i)z + i. Quelle est l écriture de T 1-1? Solution : f 1 f 2 1. z z 1 = iz + 2 i z 2 = 2z 1 + i donc z 2 = 2[ iz + 2 i ] + i = 2iz + 4 i 2. z = 2(1 i)z + i z = z i 2(1 i) = 1 4 (1 + i) z + 1 (1 i). 4 Déf : Un point est invariant par f si et seulement si f( ) =.
. Rappel sur les transformations vu en collège et au lycée : 1. Les symétries axiales et centrales : f Symétrie d axe d ou réflexion d axe d d est donné est l image de ssi d est la médiatrice de [ ]. Symétrie centrale de centre est donné est l image de ssi est le milieu de [ ]. ' ' Ensemble L des points invariants L ensemble des points invariants est la droite d. L ensemble des points invariants est le point. Transformation réciproque d f -1 = s d f -1 = s mages de deux points. ' ' ' Vecteurs associés ' = Distances =. Les distances sont conservées. f est une isométrie. mages d une droite Parallélisme Orthogonalité L image d une droite est une droite parallèle si elle est parallèle ou perpendiculaire à d. l y a conservation du parallélisme l y a conservation de l orthogonalité L image d une droite est une droite parallèle. Aires mages d un cercle Figures invariantes par une transformation Les aires sont conservées. L image d un cercle de centre O et de rayon R est un cercle de centre O image de O et de même rayon. Un triangle équilatéral admet 3 axes de Les parallélogrammes ont un symétrie. Un carré admet 4 axes de centre de symétrie symétrie. (intersection des diagonales)
2. Les translations et homothéties : f Translation de vecteur u r. u = AB est donné est l image de ssi A = u. B ' Homothétie de centre et de rapport k. et k sont donnés. est l image de ssi = k ( k = 2 ) ' Ensemble L des points invariants L ensemble des points invariants est vide sauf si u r est le vecteur nul dans ce cas le plan tout entier est invariant. L ensemble des points invariants est le point sauf si k=1 dans ce cas le plan tout entier est invariant. Transformation réciproque f -1 est la translation de vecteur u r f -1 est l homothétie de centre et de rapport 1. k mages de deux points. A B ' ' ' Vecteurs associés ' ' ' = ' ' =k Distances mages d une droite Parallélisme Orthogonalité =. Les distances sont conservées f est une isométrie. L image d une droite est une droite parallèle. l y a conservation du parallélisme l y a conservation de l orthogonalité = k. Les distances sont multipliés par k Aires Les aires sont conservées. Les aires sont multipliées par mages d un cercle Figures invariantes par une transformation L image d un cercle de centre O et de rayon R est un cercle de centre O image de O et de même rayon. k 2 L image d un cercle de centre O et de rayon R est un cercle de centre O image de O et de rayon k R. Une homothéties de rapport k est un agrandissement ou une réduction d échelle k.
3. les rotations f Rotation de centre et d angle a. et a sont donnés. est l image de ' = ssi ( ; ') = a Ensemble L des points invariants L ensemble des points invariants est le point sauf si a = 0 [ 2 π ] dans ce cas le plan tout entier est invariant. ' Transformation réciproque f -1 est la rotation de centre et d angle a mages de deux points. ' ' Distances mages d une droite Parallélisme Orthogonalité Aires =. Les distances sont conservées f est une isométrie. L image d une droite est une droite parallèle si a = 0 [π ]. π L image d une droite est une droite perpendiculaire si a = [π ]. 2 l y a conservation du parallélisme l y a conservation de l orthogonalité Les aires sont conservées. mages d un cercle L image d un cercle de centre O et de rayon R est un cercle de centre O image de O et de même rayon. Figures invariantes par une transformation l existe trois rotations qui laissent invariantes un triangle équilatéral, elles ont pour centre le centre de gravité et pour angle respectif 0 ou ou 4π. 3 2π 3
. Déf : Une similitude est une transformation qui conserve le rapport des distances : pour tous points,, P, Q tel que et P Q, d images respectives,, P, Q : P Q = PQ. l est équivalent de dire qu il existe un réel k > 0, appelé le rapport de la similitude, tel que pour tous points et d images respectives et : = k Conséquences : La composée de deux similitudes de rapports k et k est une similitude de rapport kk. La réciproque d une similitude de rapport k est une similitude de rapport 1 k. V. Caractérisation complexe d une similitude Th : Dire que la transformation s est une similitude équivaut à dire que, dans tout repère orthonormal direct, s a pour une écriture complexe de la forme z = az + b ou z = a z + b avec a et b des complexes fixés et a 0. Dém : Corollaire : une similitude s qui a deux points invariants distincts est l identité ou la réflexion d axe la droite passant par les deux points. Dém : Soient A et B les deux points invariants. On choisit un repère orthonormal direct d origine A dont l axe des abscisses est la droite (AB) donc z A = 0 et z B 0. Si l écriture complexe de s est z = az + b alors s(a) = A b = 0 s(b) = B a = 1 donc s est l identité Si l écriture complexe de s est z = a z + b alors on a z = z donc s est la symétrie par rapport à l axe des abscisses donc par rapport à la droite (AB). Rem : Une similitude s qui admet trois points invariants non alignés est l identité. Exemple : Dans le plan complexe, T est la transformation z = 2i z 3. Vérifier que T est une similitude qui admet un unique point invariant. Solution : z = az + b où a = 2i et a = 2 donc T est une similitude de rapport 2. Résolvons z = f(z) z = 2i z 3. Prenons le conjugué de cette expression on a z = - 2iz 3. On remplace et on obtient z = 2i( - 2i z 3) 3 = 4z 6i 3 d où z = 1 + 2i. Ce nombre est bien solution de l équation Donc T a un unique point invariant d affixe 1 + 2i. V. Les similitudes directes. Déf : Dire qu une similitude est directe signifie qu elle conserve les angles orientés Exemple : translation, rotations, homothéties et leurs composées conservent les angles orientés. Ces transformations sont des similitudes directes.
Th : Dire que la transformation s est une similitude directe signifie que son écriture complexe dans un repère orthonormal direct est de la forme : z = az + b, a et b complexes et a 0. Dém : Une similitude a deux écritures complexes z = az + b ou z = a z + b. Soient, et P trois points distincts et leurs images respectives par s,, et P. Si z = az + b alors mes(, P ) = arg z P z z z = arg az p + b az b az n + b az b = arg z p z z = mes(, P) z elle conserve les angles orientés donc c est une similitude directe. Si z = a z + b alors mes(, P ) = arg z P z z z arg z p z z z = mes(, P). Cette similitude ne conserve pas les angles orientés donc elle n est pas directe. Th : Soient A, B, A, B quatre points tels que A B et A B. l existe une unique similitude directe s telle que s(a) = A et s(b) = B. Dém : A, B, A, B ont pour affixes respectives z A, z B, z A et z B dans le plan complexe. Prouver l existence et l unicité de cette similitude revient à prouver l existence et l unicité de deux complexes a et b avec a 0 tel que az A + b = z A par substitution on obtient a(z az B + b = z A - z B ) = z A z B. B Or A B et A B donc z A - z B 0 et z A z B 0. Donc un seule valeur de a non nul. On remplace et on trouve une seule valeur de b. Exemple : Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct (O ; u, v). Les points A, B, A, B ont pour affixes respectives i ; 1 2i ; - 2 ; 1 i. Déterminer l unique similitude directe s telle s(a) = A et s(b) = B. Solution : A B et A B donc il existe bien une unique similitude directe correspondant au pb dont l écriture complexe est : z = az + b. D où 2 = ai + b 1 i = a(1 2i) + b donc 3 + i = a(1 + 3i) b = 2 ai Donc s a pour écriture complexe z = iz 1. d où a = 3 + i 1 + 3i ( 3 + i)(1 3i) = = i donc b = -1 10