LES SIMILITUDES PLANES Le plan est orienté et le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct ( O ; u, v ). I. TRANSFORMATIONS PLANES Définition 1 1 Lorsque dans un plan, à chaque point M on associe un unique point noté f (M), on dit que l on définit une application du plan dans lui-même. 2 Dire qu une application f du plan dans lui-même est bijective, ou que f est une bijection, signifie que tout point N est l image par f d un unique point M. Une application bijective du plan dans lui-même est une transformation plane. 3 Dire qu une transformation f est une isométrie signifie que f conserve les distances. Tout point a une unique image. Tout point a un unique antécédent. Définition 2 Lorsque T est une transformation plane, à chaque point N on peut associer le point M tel que N = T (M). On obtient ainsi une transformation appelée transformation réciproque et notée T 1. T 1 (N) = M N = T (M) T M T 1 N exemples : transformation T T 1 Isométrie translation de vecteur u r : t u rotation de centre Ω et d angle θ: r Ω, θ symétrie axiale (ou réflexion) d axe d : s d homothétie de centre Ω et de rapport k (k 0) : h Ω, k symétrie centrale de centre Ω : s Ω Une projection orthogonale sur une droite n est pas une transformation. Une symétrie centrale de centre Ω est aussi une rotation ou encore une L identité du plan p est la transformation qui à tout point M associe M. On la note : Id ou Id p. Id = t 0 r = r = h Propriété 1 La composée de deux transformations est une transformation. En général g f f g. T T 1 = T 1 T = ( s d r Ω, θ ) 1 = II. DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE D UNE SIMILITUDE PLANE f g M M M f 1 g 1 Définition 3 Soit k un réel strictement positif. Dire qu'une transformation plane S est une similitude plane de rapport k signifie que S multiplie toutes les distances par k. Autrement dit, quels que soient les points M et N d images respectives M et N, on a : M N = k MN. Les translations, les rotations, les symétries axiales et centrales, les isométries sont des similitudes de rapport Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport. Exercice 1 On considère la transformation plane T qui a tout point M d affixe z associe le point M d affixe z ' tel que z = (1 + i) z 2 + 3i. Démontrer que T est une similitude et préciser son rapport. 1/5
Propriété 2 Soit S une transformation plane. S est une similitude si, et seulement si, elle conserve les rapports de distances, c'est-à-dire que quels que soient les points M, N, P, Q, avec P Q, d images respectives M, N, P, Q on a M N P Q = MN PQ. III. PROPRIÉTÉS DES SIMILITUDES PLANES Si P Q alors P Q car S est une transformation. Propriété 3 1 La composée de deux similitudes de rapport k et k est une similitude de rapport kk'. 2 La transformation réciproque d'une similitude de rapport k est une similitude de rapport 1 k. Exercice 2 est une droite du plan et A un point de. A tout point M, on associe M 1 symétrique de M dans la réflexion d axe et à M 1 on associe le point M tel que AM 1 + 2 AM = 0. Démontrer que la transformation S qui à tout point M associe le point M est une similitude. Préciser son rapport. Exercice 3 Soient les tranformations s et s d écritures complexes respectives : z = 2 i z 3 et z = (1 + i) z 2 + 3i. Déterminer l écriture complexe de s s et de s 1 puis retrouver les résultats de la propriété 3. Exercice 4 Soit h l homothétie de centre O et de rapport 2 et t la translation de vecteur v r. En utilisant les écritures complexes de ces transformations, comparer ho t et t o h. Propriété 4 Toute similitude plane : 1 transforme un triangle en un triangle semblable. 2 conserve les angles géométriques. pas nécessairement les angles orientés Exercice 5 ABC est un triangle. A et C sont les images respectives des points A et C par la rotation de centre B et d angle π/4. A est le barycentre de (A ; 1,5) et (B ; 2) et C est le barycentre de (C ; 6) et (B ; 8) Démontrer que les triangles BAC et BA C sont semblables. IV. SIMILITUDES PLANES DIRECTES 1) Angle d une similitude directe Définition 4 1 Dire qu une similitude plane S est directe signifie que S conserve les angles orientés. 2 L image d un triangle par une similitude directe est un triangle directement semblable. 3 Un déplacement est une similitude directe de rapport 1. Propriété 5 Soit A et B deux points distincts d images respectives A et B par une similitude directe S. Pour tout point M d image M par S : ( AM ; L angle ( AB ; A M ) = ( AB ; A B ). A B ) s appelle l angle de la similitude directe. Une translation est une similitude directe de rapport et d angle Une rotation d angle θ est une similitude directe de rapport et d angle Une homothétie de rapport k est une similitude directe de rapport et d angle Une réflexion Exercice 6 ABCD est un carré direct de centre O. On admet qu il existe une unique similitude S qui transforme A en B et O en C (propriété 12). Déterminer le rapport et l angle de S. 2/5
2) Composée et réciproque de similitudes directes Propriété 6 S et S sont des similitudes directes de rapports respectifs k et k et d angles respectifs θ et θ. 1 S S est une similitude directe de rapport kk d angle θ + θ. 2 La réciproque de S est une similitude directe de rapport 1 et d angle θ. k Exercice 7 Dans l exercice 5 on a montré que le triangle BA C est l image du triangle BAC par une similitude S Justifier que S est une similitude directe. Préciser son rapport et son angle. 3) Écriture complexe d une similitude directe Propriété 7 Soit S une transformation plane S qui à tout point M (z) associe le point M (z ). S est une similitude directe si, et seulement si, il existe deux complexes a et b, avec a 0, tels que z = a z + b. Le rapport de S est a et son angle est arg a. Exercice 8 f est la transformation plane qui a tout point M de coordonnées ( x ; y ) associe le point M de coordonnées ( x ; y ) telles que x = x y + 2 et y = x + y 1. Démontrer que f est une similitude directe. Préciser son rapport et son angle. Propriété 8 Tout déplacement est soit une translation (angle nul), soit une rotation. 4) Forme réduite d une similitude directe Propriété 9 Une similitude directe qui n'est pas une translation a un unique point fixe (ou point invariant). Ce point est le centre de la similitude directe. Exercice 9 Soit f la transformation plane dont l écriture complexe est z = (1 + i) z + 2 3i. Justifier que f est une similitude directe et préciser ses éléments caractéristiques (son rapport, son angle et son centre). Propriété 10 Une similitude directe S de rapport k et d'angle θ est : soit une translation si k = 1 et θ = 0 ; soit la composée dans un ordre quelconque de l'homothétie h Ω, k, où Ω est l unique point invariant, et de la rotation r Ω, θ. Ω est le centre de la similitude S. L écriture complexe de S est alors z ω = k e i θ ( z ω ). Cas particulier : si k = 1 et θ 0 alors S On dit que h r ou r h est la forme réduite de S. si k 1 et θ = 0 [2π] alors S Exercice 10 Soit h l homothétie de centre Ω et de rapport k (k 1). Soit r la rotation de centre Ω et d angle θ. Montrer que la réciproque de r o h est la composée dans un ordre quelconque d une homothétie et d une rotation, dont on précisera les éléments caractéristiques. Exercice 11 Déterminer l écriture complexe de la similitude directe S de centre Ω (1 i), d angle π/4 et de rapport 2. 5) Déterminations d une similitude directe Propriété 11 S est une similitude directe de centre Ω, de rapport k et d angle θ. ΩM = k ΩM Alors S (Ω) = Ω et, pour tout point M Ω, M = S (M). ( ΩM, ΩM ) = θ 3/5
Exercice 12 ABCD est un carré direct et z A = 3 i. S est la similitude de centre A, de rapport 2 et d angle π /4. S est la similitude directe de centre A qui transforme B en C. 1) Construire l image B de B par S. 2) Déterminer le rapport et l angle de S puis donner son écriture complexe. Exercice 13 ABC est un triangle. S A est la similitude directe de centre A qui transforme B en C. S B est la similitude directe de centre B qui transforme C en A. S C est la similitude directe de centre C qui transforme A en B. On note σ = S C S B S A. Déterminer σ(b) et les éléments caractéristiques de σ. Propriété 12 A, B, A, B sont quatre points donnés tels que A B et A B. Il existe une unique similitude directe qui transforme A en A et B en B. Exercice 14 ABCD est un carré direct de centre O. Déterminer le rapport et l angle de la similitude directe S qui transforme B en O et A en D. Exercice 15 Les points A, B, A et B ont pour affixes respectives 1, 1 4 i, i et 4 i. Déterminer l écriture complexe de la similitude directe I qui transforme A en A et B en B. Préciser les éléments caractéristiques de S. Une similitude directe est déterminée par la donnée de différents éléments. 1 Son centre Ω, son rapport k et son angle θ, lorsque ce n est pas une translation ( prop 11 ex 12-1) On dit que Ω, k et θ sont les éléments caractéristiques de S. 2 Son centre, un point et son image. (prop.11 ex 12-2) 3 Deux points distincts et de leurs images. (prop.12 ex 13 et 14) V. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SIMILITUDES PLANES Propriété 13 1 Une similitude qui admet trois points fixes non alignés est l identité. 2 Une similitude qui admet deux points fixes distincts A et B est l identité ou la symétrie d axe (AB). Exercice 16 Soit s la similitude d écriture complexe z = 1 5 [ ( 4 3i) z + 6 + 2i ]. Déterminer les images par s de I (2i) et J (1 i). Que peut-on en déduire? Définition 5 Dire qu une similitude est indirecte signifie qu elle n est pas directe. Une symétrie axiale est une similitude indirecte. Propriété 14 Toute similitude indirecte peut s écrire sous la forme σ o s, où σ est une similitude directe et s une symétrie axiale. La décomposition n est pas unique. Exercice 17 Soit s et s les similitudes d écritures complexes respectives z = ( 3 + i ) z et z = i z 3. Écrire s et s comme composée d une réflexion suivie d une similitude directe, dont on donnera les éléments caractéristiques. Propriété 15 Soit f une similitude. f est une similitude indirecte si, et seulement si, elle transforme tout angle orienté en son opposé. Propriété 16 Une transformation plane est une similitude indirecte si, et seulement si, son écriture complexe est de la forme z = a z + b, avec a * et b. Toute similitude a une écriture complexe du type z = a z + b ou z = a z + b, avec a * et b. 4/5
Exercice 18 Soit f la transformation d écriture complexe z = 3 i z 1 + 2 i. Déterminer la nature de f et ses points invariants par f. Exercice 19 S est la transformation qui a tout point M ( x ; y ) associe le point M ( x ; y ) tel que x = y 2 y = x + 2 1) Démontrer que S est une similitude. Préciser son rapport et si elle est directe ou indirecte. 2) Déterminer l ensemble des points invariants par S. Que peut-on en déduire pour S? Exercice 20 Déterminer l écriture complexe de la réflexion d axe d d équation y = x + 2. Propriété 17 1 Tout similitude S transforme : une droite en une droite ; un segment en un segment ; un cercle de centre O et de rayon r en un cercle de centre S (O) et de rayon k r, avec k le rapport de la similitude. 2 Tout similitude S conserve l alignement, le parallélisme, l orthogonalité, le barycentre (en particulier les milieux), le contact. Exercice 21 Soit d une droite et A un point n appartenant pas à d. Soit M un point de la droite d. Soit N le point tel que le triangle AMN rectangle et isocèle en M et tel que ( MN, MA ) = π/2. Déterminer le lieu géométrique de N lorsque M décrit d. 5/5