Exercice : facile et rapide) ABC est un triangle. Les points D, E, F sont tels que AD = AC, Montrer que D, E, F sont alignés. AE = AB, 4 BF = BC. Exercice : classique) ABC est un triangle avec P et R tels que AP = AC et AR = AB. On note {Q} = P R) BC). I, J, K sont les milieux respectifs de [P B], [AQ] et [RC]. Montrer que les points I, J et K sont alignés. Exercice : difficile) Reprendre l exercice précedent avec P et R définis par AP = a AC et AR = b AB avec a, b IR. Montrer que I, J, K sont encore alignés avec une contrainte à déterminer) portant sur a et b. Exercice 4 : classique) Montrer que les médianes d un triangles son concourantes. Exercice 5 : classique, similaire à celui du DS de 05) ABCD est un parallélogramme avec I milieu de [AB] et H symétrique de D par rapport à C. Les droites IC) et DB) se coupent en G. Montrer que A, G et H sont alignés. Exercice 6 : classique et facile, attention aux coordonnées) ABC est un triangle, P est le symétrique de C par rapport à B. R et Q sont définis par AR = 4 AB et AQ = AC. A, B et C sont les points tels que AQA R, BRB P et CP C Q sont des parallélogrammes. Montrer que A, B et C sont alignés. Exercice 7 : difficile) Montrer la propriété suivante : Dans un trapèze, la droite qui joint les milieux des côtés parallèles passe par le point d intersection des côtés non parallèles et des diagonales. Exercice 8 : difficile et long) ABC est un triangle et O un point intérieur à ce triangle. On note {D} = OA) BC), {E} = OB) AC) et {F } = OC) AB). La parallèle à CF ) passant par D coupe AB) en I. Enfin, M est le symétrique de D par rapport à I. Montrer que M EF ). Exercice 9 : difficile) OIJK est un parallélogramme. M est un point de la diagonale ]OK[. On trace ensuite les parallèles aux côtés du parallélogramme passant par M. Ces paralèlles coupent les côtés en A [OI], B [IK], C [KJ], D [JO]. Lorsqu il existe, L est le point d intersection de CD) et AB). Montrer alors L OK). Exercice 0 : difficile) Pour tout nombre réel m, on considère les droites D m : mx y+m = 0 et m : mx y + m = 0. M m est le point d intersection de D m et m. Quelle est la courbe décrite par M m lorsque m IR?
Exercice : classique et long) ABCD est un quadriltère quelconque, M et N sont les milieux respectifs de [AB] et [DC]. L est le point d intersection des diagonales DB) et AC). K est le point d intersection de la parallèle à BC) passant par A et de la parallèle à AD) passant par B. Montrer que MN)//LK).
Problème A ; i, j ) est un repère orthonormal du plan. ABC est un triangle tel que AB = i. Les coordonnées de C seront notées α ; β). Faire un dessin que vous compléterez au fur et à mesure de l exercice. On admettra le résultat suivant : Dans un repère orthonormal, étant donnée une droite d d équation cartésienne ax+by+c = 0, une droite d perpendiculaire à d a pour équation cartésienne bx ay + c = 0 où c IR). Partie A : préliminaires Les questions sont indépendantes. ) A quelle condition sur les coordonnées de C le triangle ABC existe-t-il? ) Quelles sont les coordonnées possibles de C pour que ABC soit un triangle rectangle? isocèle? équilatéral? ) Rappeler les définitions du centre G de gravité, du centre O du cercle circonscrit, de l orthocentre H. 4) Soit d : x 5y + 0 = 0, donner une équation cartésienne de la droite d perpendiculaire à d et passant par D ; ). 5) Soient d et d deux droites non verticales d équations réduites respectives y = mx + p et y = m x + p.montrer que d d ssi mm =. Partie B : un cas particulier Dans cette partie, on suppose α = 4 et β =. On notera A, B, C les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB] ) Donner les coordonnées de tous les points en jeu. ) Trouver une équation cartésienne de AB) puis de AC). ) Déterminer une équation cartésienne de CC ) et AA ). En déduire les coordonnées de G. 4) Calculer une équation cartésienne des médiatrices de [AB] et [AC]. En déduire les coordonnées de O. 5) Déterminer les coordonnées de H. 6) Montrer que G, H, O sont alignés. Que pouvez-vous dire de plus? Partie C : le cas général ) Reprendre les questions de la partie B mais avec α et β quelconques. ) Montrer que G, H, O sont alignés quelles que soient les valeurs de α et β. ) Vérifier que les formules des coordonnées de G, H, O dans les cas particuliers où ABC est un triangle rectangle, puis isocèle et enfin équilatéral.
Solutions Faire un dessin à main levée pour chaque recherche et ensuite, si nécessaire, à la règle et au compas. Exercice : Méthode : ) Choisir un repère. ) Donner les coordonnées de E, F, G. ) Montrer que EF et ED sont colinéaires. Exercice : Méthode : ) Dans le repère A; AB, AC), donner les coordonnées de P et R. ) Trouver des équations cartésiennes de BC) et P R). ) Trouver les coordonnées de Q en résolvant un système. 4) Trouver les coordonnées des milieux. 5) Vérifier que IJ et IK sont colinéaires. Résultats des calculs : ) P 0 ; /) et R/ ; 0). ) BC) : x + y = 0 et P R) : x y + = 0 soit P R) : 4x 9y + 6 = 0 ) Q 5 ; ) 5 4) I ; ), J 0 ; ) et K 5 4 ; ). 5) IJ 5 et IK 4 sont colinéaires. Vous pourrez montrer en supplément que Q 5 6 est aussi aligné avec I et J car IQ 0. Ce qui ne sera plus vrai dans le cas général à 5 l exercice. A est aussi aligné avec tous ces points puisque A JQ). Méthode élémentaire : suggérée par Mathis et Alexandre en utilisant la géométrie élémentaire). ) Montrer que les droites P B) et CR) sont parallèles. ) On note I le point d intersection de P B) et KA). Montrer que I est le milieu de [P B]. En déduire que A, I, K sont alignés. ) Pourquoi A, J, Q sont-ils alignés? 4
4) Montrer enfin que I, Q, K sont alignés. Inspirez-vous de la question ) en définissant I comme le point d intersection de P B) et QK) et montrant que I = I. 5) Conclure Exercice : Même méthode mais avec a et b à la place de et. Les résultats des calculs sont les suivants : ) P 0 ; a) et Qb ; 0) ) BC) : x + y = 0 et P R) : ax + by ab = 0. ) b a ) a b ) ) Q ; avec a b. Effectivement si a = b alors les droites sont parallèles et Q n existe pas. a b a b 4) I ; a ) ) b a ), J a b ; a b ) b et K a + b ; ) avec a b. b a ) 5) IJ a b b a a b ) et IK + a a + b + sont colinéaires sachant a b. En effet, la condition de colinéarité donne a + ) b a ) a b ) a ) a b ) b + a + b ) qui est bien égal à 0 après développement et ajout des fractions... b a ) Contrairement à un résultat de l exercice, b IQ a b a a b ) et IK + a a + b + ne sont pas colinéaires en général. Cette fois, la condition de colinéarité est a + ) b a ) ) a ) a b ) b + a b a + b ) = ab 4 + 4. En général, ce nombre est non nul. Cette condition est nulle quand a et b sont inverses l un de l autre : ab 4 + 4 = 0 ab + = 0 ab = a = b Cela signifie que I, J, K et Q sont tous les quatre alignés quand a =. Ce qui est le cas b dans l exercice. 5
Toujours dans l exercice précédent, nous avions P B) et CR) parallèles. Déterminons une condition portant sur a et b pour que ce soit le cas. On a ) P B et ) b CR. Les droites sont donc parallèles si et seulement si + ab = 0. a Soit à nouveau a = b. Conclusion : quand a et b sont inverses l un de l autre, on a P B)//CR) et les points A, Q, I, J, K alignés. Exercice 4 : Méthode : ) Dans le repère A; AB, AC), donner les coordonnées de A, B, C milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB]. ) Trouver les équations des droites AA ), BB ) et CC ). ) On résout un système pour trouver les coordonnées de G. 4) On vérifie que G est sur la troisième droite. Résultats des calculs : ) A ; ), B 0 ; ) et C ). ; 0 ) AA ) : x y = 0 soit x y = 0. BB ) : x + y = 0 soit x + y = 0. CC ) : x y + = 0 soit x y + = 0. ) G ; ) prendre AA ) et BB ) par exemple). 4) Remplacer x et y par / dans l équation de CC ) : + est bien égale à 0. Il existe de nombreuses autres méthodes pour établir ce résultat. Exercice 5 : Méthode : ) Dans le repère A ; AB, AD ), donner les coordonnées de I et H. ) Déterminer des équations de DB) et CI). ) Résoudre un système pour trouver les coordonnées de G. 4) Montrer que AG et AH sont colinéaires. Résultats des calculs : ) ) I ; 0 et H ; 0). ) CI) : x + y + = 0 soit CI) : x + y + = 0., et, DB) : x y + = 0. { x + y + = 0 ) On résout. D où G x y + = 0 ; ). 6
4) AG et AH ) sont colinéaires. Exercice 6 : Méthode : ) Dans le repère A ; AB, AC) donner les coordonnées de R et Q. ) Trouver les coordonnées de A, B et C. ) Montrer que les vecteurs A B et A C sont colinéaires. C A B R P B Q A C Résultats des calculs : ) R4 ; 0) et Q0 ; ). Pour P, décomposer AP avec AB et AC : P ; ). ) A 4 ; ) car AA = AR + AQ = 4 AB AC. Puis B 5 ; ) et C ; 4). 7
C A B R P B Q A C ) ) A B et ) A C sont bien colinéaires. Exercice 7 : C est l exercice avec un repère bien choisi. Exercice 0 : M m m ; m ) est le point d intersection de D m et m si m 0. Si m = 0 alors les droites sont parallèles et le point M m n existe pas. Il reste à trouver un lien entre x = m et y = m pour avoir le lieu des points M m quand m décrit IR. Or y = m = x = + x x = fx) Donc les points M m sont sur la courbe de la fonction f la réciproque est-elle vraie?) 8
/ D / j ı D 9