I - Préliminaire On considère deux lentilles minces de distances focales image respectives f 1 et f 2, de même axe optique principal, et dont les centres optiques O 1 et O 2 sont distants de d = O 1 O 2. On suppose O 1 situé avant O 2 selon le sens de propagation de la lumière : O 1 O 2 (sens de propagation de la lumière) Remarque : le cas étudié est général, c est pourquoi les symboles des lentilles sur le schéma ne correspondent ni à des lentilles convergentes, ni à des lentilles divergentes. 1. Déterminer, en fonction de d, f 1 et f 2, la position par rapport à O 2 de l image A d un point lumineux A situé à l infini sur l axe optique principal. 2. Dans le cas particulier d un objet réel situé à l infini, en déduire que deux lentilles minces accolées (pour d = 0) peuvent être remplacées par une lentille mince unique de centre optique confondu avec les centres optiques (communs) des deux lentilles, et dont la distance focale image f 12 est telle que : 1 = 1 + 1 f 12 f 1 f 2 (ce résultat est supposé valable généralement pour la suite du problème). II - Étude simplifiée d un objectif photographique bifocal ( zoom ). On étudie, de manière simplifiée, le principe d un objectif photographique présentant deux distances focales image possibles (pour deux positions des lentilles). 3. On considère un système optique comprenant, sur un même axe optique principal, trois lentilles minces L 1, L 2 et L 3, de centres optiques respectifs O 1, O 2 et O 3, et de foyers principaux image respectifs F 1, F 2 et F 3. L 1 et L 3 sont des lentilles divergentes identiques, de distance focale image : f 1 = O 1 F 1 = f 3 = O 3 F 3 = -60 mm. L 2 est une lentille convergente, de distance focale image : f 2 = O 2 F 2 = 35 mm. Dans la première position (notée position 1 ), les lentilles L 1 et L 2 sont accolées ( O 1 O 2 = 0). a) Déterminer, en fonction de f 1 et f 2, la position par rapport à O 1 du foyer image F 12 de la lentille mince équivalente à l ensemble des deux lentilles L 1 et L 2. Effectuer l application numérique. b) En déduire, en fonction de f 1 et f 2, la distance e = O 1 O 3 entre les lentilles L 1 et L 3 pour qu un rayon incident parallèle à l axe optique principal ressorte du système parallèle à cet axe (on dit dans ce cas que le système est afocal ). Effectuer l application numérique. c) Déterminer, en fonction de f 1 et f 2, le rapport γ 1 = D D (appelé élargissement ) entre le diamètre D du faisceau émergent et le diamètre D du faisceau incident correspondant (parallèle à l axe optique principal). Effectuer l application numérique. 4. a) Montrer que si l on déplace, suivant la direction de l axe optique, la lentille L 2 jusqu à la lentille L 3 (L 1 et L 3 restant fixes) alors on obtient également un système afocal. Cette seconde position ( O 2 O 3 = 0) est notée position 2.
b) Déterminer dans ce cas ( O 2 O 3 = 0), en fonction de f 1 et f 2, le rapport γ 2 = faisceau émergent du faisceau incident. Effectuer l application numérique. D D entre les diamètres du 5. a) Construire le tracé, à travers le système dans la position 1, d un faisceau lumineux incident de rayons parallèles (entre eux), incliné d un angle α par rapport à l axe optique principal. α b) En déduire, en fonction de f 1 et f 2, le rapport G 1 = α l angle d entrée du faisceau. Effectuer l application numérique. (appelé grossissement ) entre l angle de sortie et c) Quelle est la relation entre G 1 et γ 1? d) En déduire la valeur, en fonction de f 1 et f 2, du grossissement G 2 du système dans la position 2. Effectuer l application numérique. 6. On dispose ensuite, derrière la lentille L 3, une lentille mince convergente L 4 de distance focale image : f 4 = O 4 F 4 = 50 mm. a) Où doit-on placer le film photographique pour obtenir une image nette d un objet à l infini (à travers l ensemble du dispositif)? La distance entre L 3 et L 4 a-t-elle de l importance? Justifier. b) Où doit-on placer la lentille L 4 pour que l encombrement du système lentilles-film soit le plus faible possible? Quelle est alors la distance entre L 1 et le film photographique? c) Quelle est, sur le film, la dimension de l image A B d un objet AB situé à l infini, et caractérisé par son diamètre apparent α, dans chacune des deux positions (précédemment nommées 1 et 2, pour L 2 confondue avec L 1 ou L 3 )? Effectuer les deux applications numériques pour α = 5. d) On appelle distance focale f de l objectif (composé des lentilles L 1, L 2, L 3 et L 4 ) la longueur égale au quotient entre la taille de l image A B et l angle α : f = dans les positions 1 et 2. A B. Déterminer les valeurs numériques de cette distance focale α
Corrigé 1. La position, par rapport à O 1, de l image A de A par L 1 correspond à : 1/ O 1 A = 1/ O 1 A + 1/f 1 = 1/f 1 c est-àdire O 1 A = f 1 (un point à l infini donne une image dans le plan focal image). La position de A par rapport à O 2 correspond à : O 2 A = O 2 O 1 + O 1 A = f 1 - d. La position, par rapport à O 2, de l image A de A correspond à : 1/ O 2 A = 1/ O 2 A + 1/f 2 c est-à-dire : O 2 A = (f 1 - d) f 2 /(f 2 + f 1 - d). 2. En particulier pour d = 0 : O 2 A = f 1 f 2 /(f 1 + f 2 ). Ceci montre que, si une lentille mince équivalente existe, sa distance focale image est : f 12 = f 1 f 2 /(f 1 + f 2 ), ce qui correspond à : 1/f 12 = 1/f 1 + 1/f 2. remarque : cette condition nécessaire, étudiée dans le cas particulier d un objet à l infini, n est pas forcément suffisante ; plus précisément, l image, par la première lentille, d un point A quelconque est un point A tel que : 1/OA = 1/OA + 1/f 1 (pour O 1 et O 2 confondus en O) ; son image par la seconde lentille est telle que : 1/OA = 1/OA + 1/f 2 = 1/OA + 1/f 1 + 1/f 2 ; ceci peut s écrire : 1/OA = 1/OA + 1/f 12, si on pose ici encore : 1/f 12 = 1/f 1 + 1/f 2, ce qui est bien en accord avec le calcul précédent. 3.a. D après la relation précédente : O 1 F 12 = f 12 = f 1 f 2 /(f 1 + f 2 ) = 84 mm (l ensemble est convergent). 3.b. Pour qu un rayon incident (quelconque) parallèle à l axe optique ressorte parallèle à l axe optique, il faut et il suffit que l image d un point à l infini (faisceau incident parallèle) soit une image à l infini (faisceau sortant parallèle). Cela correspond à dire que l image par L 3 du foyer image de {L 1 +L 2 } est à l infini, et donc que le foyer image de {L 1 +L 2 } est confondu avec le foyer objet de L 3. O 1 O 2 O 3 F' 12 F 3 Ceci donne : e = O 1 O 3 = O 1 F 12 + F 3 O 3 = f 1 f 2 /(f 1 + f 2 ) + f 3 = f 1 (f 1 +2 f 2 )/(f 1 + f 2 ) = 24 mm. 3.c. D après le théorème de Thalès : γ 1 = D /D = f 3 /f 12 = -(f 1 + f 2 )/f 2 = 0,71. 4.a. Par symétrie, le dispositif est aussi afocal : F' 1 F 23 O 1 O 2 O 3 4.b. D après le théorème de Thalès : γ 2 = D /D = f 23 /f 1 = -f 2 /(f 1 + f 2 ) = 1,4. 5.a. On obtient le tracé suivant :
O 1 O 2 O 3 F' 12 F 3 les rayons incidents parallèles ressortent de {L 1 +L 2 } en se recoupant (virtuellement, à cause de la présence de L 3 ) dans le pan focal image de {L 1 +L 2 } (également plan focal objet de L 3 ) ; cette intersection est sur le rayon incident passant par le centre optique commun à {L 1 +L 2 } (rayon non dévié lors de la traversée de {L 1 +L 2 }). celui, parmi les rayons ainsi convergents, qui passe par O 3 n est pas dévié ; il donne donc la direction (angle α ) des rayons sortants (parallèles entre eux). 5.b. D après le théorème de Thalès : tan(α )/tan(α) = f 12 /f 3 = -f 2 /(f 1 + f 2 ) = 1,4. Pour des petits angles (conditions de Gauss), on obtient donc : G 1 = α /α -f 2 /(f 1 + f 2 ) = 1,4. 5.c. On déduit de ce qui précède : G 1 1/γ 1. 5.d. D une façon analogue (par symétrie) : G 2 = α /α f 1 /f 23 = -(f 1 + f 2 )/f 2 = 0,71 = 1/γ 2. 6.a. Le dispositif donne, sur la plaque photographique, une image (d un point à l infini) dans le plan focal image de L 4. Pour une lentille L 4 donnée, la position de l image ne dépend que de l angle α (elle correspond au rayon d angle α et passant par O 4, qui n est pas dévié par L 4 ). Or, α ne dépend que de l angle α ; par conséquent, il semble que l image obtenue soit indépendante de la position de L 4. Le schéma précédent montre toutefois que, plus la lentille L 4 est éloignée de L 3, plus le faisceau sortant s écarte de l axe optique et tend à passer au bord de L 4 (voire même à côté, au moins en partie) : les points aux bords des limites du champ de vision correspondent à des rayons passant près des bords de L 4 et donnent des images floues et déformées (les conditions de Gauss sont mal respectées) ; un éloignement trop grand diminue d autant la luminosité des point à la périphérie de l image (voire même : les rend non visibles). Le mieux est donc de placer L 4 immédiatement accolée derrière L 3. 6.b. Pour que l encombrement du système soit le plus faible, il faut de même placer L 4 immédiatement accolée derrière L 3. La distance entre L 1 et le film photographique est alors : O 1 O 3 + f 4 = e + f 4 = 74 mm. 6.c. Un objet de diamètre apparent α correspond à des points extrêmes donnant des faisceaux parallèles d angles respectifs α/2 (pour les rayons incidents parallèles provenant du bord supérieur de l objet ; cas du schéma suivant) et -α/2 (pour les rayons incidents parallèles provenant du bord inférieur de l objet ; cas symétrique du schéma suivant, correspondant au point image B ). Les points images correspondants sont de part et d autre de l axe optique principal à une distance : A B /2 = -f 4 tan(α /2) ; ceci donne donc une image de dimension : A B -f 4 α.
B' O 4 F' 4 A' laçant l œil derrière le dispositif, à la place de l ensemble {L 4 + film} ; ceci provient uniquement du fait que l œil qui regarde utilise une convention d orientation opposée au sens de l axe optique principal. 6.d. Dans la mesure où, pour une lentille simple, l obtention d une image dans le plan focal correspond à : A B -f α, on peut inversement définir la distance focale équivalente de l objectif par : f = -A B /α. Ceci donne respectivement : dans la première position : f f 4 G 1 = 70 mm ; dans la seconde position : f f 4 G 2 = 35,7 mm.