T S Devoir Commun N 5 Lundi 9 Janvier 205 (Durée 2 h- Calculatrice autorisée) La présentation et la rigueur des résultats entreront pour une part non négligeable dans l évaluation de la copie. Une Annee pour l' Eercice est à rendre avec la copie. Eercice N : sur 9 points de α à près. d) Déduire des questions précédentes le tableau de signes de la fonction g sur [0 ; + [.. En utilisant la courbe Cf et la droite, placer sur l'ae des abscisses les 4 premiers termes de la suite ( un) laissant apparaitre les traits de construction. Quelle conjecture pouvez-vous faire quant au variations de la suite ( u n) et à sa convergence? 2. Placer le point I de la courbe Cf qui a pour abscisse. 3. a)montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : u n. b) Démontrer que la suite ( u n) est croissante. En déduire alors qu elle converge. c) On note l la limite de la suite ( ). Déterminer la valeur de l. en Eercice N 2 : sur 3 points Cet eercice est composé de 2 questions indépendantes. Soit la fonction f définie sur R par 3 f ( ) sin(3 ) e. Calculer lim f( ) 2 et interpréter graphiquement. 2. Résoudre dans l intervalle [-π ; π[, l inéquation sin () -. Page
Eercice N 3 : sur 8 points Nouvelle Calédonie Mars 202 Page 2
Nom : Annee (A rendre avec la copie) Eercice N Page 3
Correction : Eercice : Partie A : ) f() = ln (u()) avec u() = + 4 ; f est dérivable sur [0 ;+ [ et f () = =. Sur [0 ;+ [, f () > 0 car 2 > 0 et + 4 > 0 donc f est croissante sur [0 ;+ [. 2) a) Pour tout > 0, 2ln + ln( + ) = ln( ) + ln( + )= ln ( ( + ))= ln ( + 4 ). = = - Car = - et = + En effet, = 0 (limite usuelle), = 0 car = et = ln = 0 donc = 0 d ou le résultat par propriété sur la limite d un quotient. b) g est dérivable sur [0 ;+ [, et g () = f () = - =. Pour tout réel de [0 ; + [, > 0 donc le signe de g () dépend de celui de, trinôme du second degré de discriminant = -2. < 0 donc < 0 car toujours du signe du coefficient de ², "a" = -. Ainsi, g () < 0. La fonction g est strictement décroissante sur l intervalle [0 ;+ [. D où le tableau de variation de g sur [0 ;+ [ : 0 α + signe de g () variations de g ln4 0 - c) On peut justifier l'eistence et l'unicité de ainsi On complète avec soin le tableau en indiquant ln 4 et et entre les deu, 0 et donc alpha puis on écrit une phrase Comme ln4 > 0, du tableau de variation précédent, on peut déduire en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation g()= 0 a une solution unique dans l'intervalle [0 ; + [. ou bien (mais il faut être très attentif ; tous les mots ont leur importance..) Sur l intervalle [0 ;+ [, la fonction g est continue et strictement décroissante d intervalle image ]- ; ln4] contenant 0. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation g() = 0 admet une unique solution α sur [0 ;+ [. A l aide de la calculatrice on obtient l encadrement suivant de α à : 2,58 α 2,59. d) On déduit des questions précédentes le tableau de signes de g sur [0 ;+ [ : 0 α + Signe de g() + O Page 4
Partie B :. y I C f u 3 u 2 u u 0 0 u 0 u u 2 u 3 a On peut conjecturer que la suite ( est croissante et qu elle converge vers α. 2. On a placé I sur le graphique 3. a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, α : Initialisation :, donc α. Hérédité :On suppose qu il eiste un entier naturel n quelconque, n 0 tel que α. Montrons que sous cette hypothèse α. Par hypothèse de récurrence, α. Comme f est croissante sur [0 ; [, do c aussi sur [ ; α ] on a f() f f α. Or, et g(α) = 0 donc f(α) = α De plus, f()= ln 5, donc on a : ln 5 α. Comme ln 5 >, on déduit finalement que : α. Conclusion : La propriété étant vraie au rang n = 0 et étant héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n, d après le principe de récurrence. b) Etudions le signe de -, pour tout entier naturel n :, - = f( )- = g( ). Or, d après 3) a) [ ; α] et d après Partie A 2) d) la fonction g est positive sur l intervalle [0 ;α] donc sur [ ;α] Par conséquent, g( ) 0, donc - 0. La suite ( ) est donc croissante. La suite ( est croissante et majorée par α (d après 3) a) donc par théorème de convergence monotone, on déduit qu'elle converge. Notons l la limite de la suite. c)la suite ( ) est telle que = et converge vers l. f est continue sur [0 ;+ [( car dérivable sur [0 ;+ [) donc en l. Par conséquent, l est solution de l'équation l = f(l ) soit f(l ) l = 0 soit g(l ) = 0. Donc d après Partie A, Question 2) c) l = α. Ainsi, la suite ( converge vers α. Page 5
Eercice 2 :. ϵ R, - sin(3). Or, > 0, d où : - soit -. Comme 3 e lim 0 ( car = - et = 0) on a = = 0, et d après le théorème des gendarmes, on en déduit que lim f( ) 0. La droite d équation y=0 est asymptote horizontale à ( de +. au voisinage 2. Pour résoudre dans l intervalle [-π ; π[, l inéquation sin () -, on utilise le cercle trigonométrique. On déduit que S = Eercice 3 : 2 ; 3 3. a. On peut construire un arbre de probabilités traduisant l'epérience: La probabilité d'avoir obtenu le chiffre sachant que l'on a obtenu une boule noire est donc /9. b. La probabilité de gagner au moins une partie est p(x ). 0 0 0 0 3 5 5 p(x ) = p(x=0) = 0.9909 0 soit 0,99 au millième. 8 8 8 c. On cherche le plus petit entier N ( de à 0) tel que p(x N)< 0, soit encore tel que p(x<n) <0, ce qui équivaut à p(x<n)>0,9. D'après le tableau donné on en déduit que N=7. Page 6