L2-S4 : 2014-2015 Suort de cours Statistique & Probabilités Chaitre 1 : Analyse combinatoire R. Abdesselam UFR de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière Lyon 2, Camus Berges du Rhône Rafik.abdesselam@univ-lyon2.fr htt://eric.univ-lyon2.fr/~rabdesselam/documents/
Chaitre 1 : Analyse combinatoire & Dénombrement L analyse combinatoire ou théorie mathématique du dénombrement étudie comment comter des objets. Elle fournit des méthodes efficaces et utiles en robabilité, our dénombrer les différentes situations ouvant se résenter lors d une exérience. En effet, bien des roblèmes en théorie des robabilités euvent être résolus simlement en comtant le nombre de manières différentes selon lesquelles un certain événement eut se réaliser. Par exemle, la formule du binôme de Newton. Les notions de dénombrement constituent la base de l aroche dite «fréquentiste» des robabilités ; elles ermettent, ar exemle dans les jeux de hasard, de calculer les robabilités d occurrence des différents événements d une exérience. 2
Chaitre 1 : Analyse combinatoire & Dénombrement Soit l ensemble = { 1, 2,, n } ; card( ) = n éléments distincts, n N* Dans le cas où il y a équirobabilité sur l ensemble fini, d éléments ou d événements élémentaires, le calcul des robabilités se ramène à un roblème de dénombrement. La notion d analyse combinatoire ermet d exrimer ar une formule le nombre de configurations ossibles - Arrangements Avec réétition d éléments On distingue 3 tyes de disositions - Permutations ou - Combinaisons Sans réétition d éléments Ces disositions interviennent dans de nombreux roblèmes concrets, qu il s agisse de définir le bureau d une association, de lister le nombre de laques d immatriculation ou de numéros de téléhone, d établir les règles d un jeu ublicitaire ou encore d établir, arès les rolongations d un match de football, le nombre de façons de choisir les 5 tireurs de énalties armi les onze joueurs et l'ordre de assage. 3
Chaitre 1 : Analyse combinatoire & Dénombrement Teminologie : Disosition sans réétition : -ule d éléments de où, chaque élément eut aaraître au lus une fois. Disosition avec réétition : -ule d éléments de où, chaque élément eut aaraître lus d une fois. Disosition ordonnée : l ordre des éléments du -ule est imortant dans sa caractérisation. Disosition non ordonnée : l ordre des éléments du -ule n est as imortant Notations : dans sa caractérisation. Soit l ensemble = { 1, 2,, n } ; card( ) = n éléments distincts ; n et N* n N ; n! = 1 2... (n 1) n = n i "factorielle n", n! = n(n 1)! = n(n 1)(n 2)! = etc. "définition récursive du n!", n! 2πn (n / e) n lorsque n + "formule de Stirling", 0! = 1 "ar convention". 4
1 Disositions sans réétition = { 1, 2,, n } ; card( ) = n éléments tous distincts, n et N avec n 1.1 ARRANGEMENT (ASR) : Un arrangement sans réétition de éléments est une suite ordonnée de éléments choisis armi les n éléments distincts de, et qui ne euvent as se rééter. A n = Exemle d alication : = { a, b, c } ; card( ) = n = 3 n! «Le nombre total d arrangements sans (n )! réétition de éléments armi n». Les arrangements ossibles sans réétition de = 2 éléments armi les n = 3 éléments de sont : Diagramme arborescent a b c b (a, b) c (a, c) a (b, a) c (b, c) a (c, a) b (c, b) 6 coules au total Suites ordonnées, on tient bien comte de l ordre des éléments : (a, b) (b, a), (a, c) (c, a) et (b, c) (c, b) Pas de réétition d élément : (a, a), (b, b), (c, c) A 3 2 = 3! / 1! = 3! = 1x2x3 = 6 arrangements sans réétition 5
ASR : Exemles d alication 1) Quel est le nombre de quintés ossibles dans une course hiique où, 8 chevaux sont au déart? Card( ) = n = 8 ; = 5 chevaux A 85 = 8! / (8 5)! = 8! / 3! = 4 5 6 7 8 = 6720 quintés ou arrivées ossibles. 2) De combien de façons différentes une assemblée de 12 ersonnes eut-elle désigner un bureau comrenant : un résident, un trésorier et un secrétaire? Card( ) = n = 12 ; = 3 ersonnes A 12 3 = 12! / (12 3)! = 12! / 9! = 10 11 12 = A 121 A 11 1 A 101 = 1320 assemblées ossibles. 3) Dix étudiants sont candidats our être délégué ou délégué suléant d un groue de TD. La liste des élus est affichée suivant le nombre de voix obtenues. - Quel est le nombre de listes ossibles? Card( ) = n = 10 ; = 2 ersonnes A 10 2 = 10! / (10 2)! = 10! / 8! = 9 10 = A 101 A 9 1 = 90 listes ossibles. - Déterminer le nombre de candidats our qu on ait à afficher que 30 listes. A n 2 = n! / (n 2)! = n (n 1) = 30 n = 6 ersonnes. 4) Combien eut-on former de nombres avec 3 chiffres distincts et différents de zéro? Card( ) = n = 3 chiffres ; Nombres à 1 chiffre ou à 2 chiffres ou à 3 chiffres A 3 1 + A 32 + A 3 3 = 3 + 6 + 6 = 15 nombres ossibles. 6
1 Disositions sans réétition = { 1, 2,, n } ; card( ) = n éléments distincts, n et N avec n 1.2 PERMUTATION (PSR) : Une ermutation sans réétition est une suite ordonnée de la totalité des n éléments distincts de Ω, et qui ne euvent as se rééter. P n = n! «Le nombre total de ermutations sans réétition d éléments». Remarque : Une PSR d un ensemble Ω de cardinal n 1 est un ASR, lorsque = n. Exemle d alication : = { a, b, c } ; card( ) = n = 3 Les ermutations ossibles sans réétition de = 3 éléments armi les n = 3 éléments de sont : Diagramme arborescent a b c b c (a, b, c) c b (a, c, b) a c (b, a, c) c a (b, c, a) a b (c, a, b) b a (c, b, a) 6 trilets au total Suites ordonnées, on tient bien comte de l ordre des éléments : (a, b, c) (b, a, c), (a, c, b) (c, a, b) etc. Pas de réétition d éléments : (a, a, a), (b, b, b, (c, c, c) (a, a, b), (a, a, c), etc. P 3 = 3! = 1x2x3 = 6 ermutations sans réétition 7
PSR : Exemles d alication 1) De combien de façons différentes eut-on asseoir 5 ersonnes : - sur un banc? - autour d une table? Card( ) = n = 5 ; = n «toutes les 5 ersonnes sont à lacer» Sur un banc : P 5 = 5! = 1 2 3 4 5 = 120 ossibiltés. Card( ) = n = 5 ; «1 ersonne s installe uis les 4 autres viennent se lacer autour» Autour d une table : P 4 = 4! = 1 2 3 4 = 24 lans de table. 8
1 Disositions sans réétition = { 1, 2,, n } ; card( ) = n éléments distincts, n et N avec n 1.3 COMBINAISON (CSR) : Une combinaison sans réétition est un sous-ensemble non ordonné de choisis armi les n éléments distincts de, et qui ne euvent as se rééter. A n n! C n = = «Le nombre total de combinaisons sans! (n )!! réétition de éléments armi n». Exemle d alication : = { a, b, c } ; card( ) = n = 3 Les arrangements ossibles sans réétition de = 2 éléments armi les n = 3 éléments de sont : Diagramme arborescent a b c b {a, b} c {a, c} a {b, a} c {b, c} a {c, a} b {c, b} Sous-ensembles non ordonnés, on ne tient as comte de l ordre des éléments : {a, b} = {b, a}, {a, c} = {c, a} et {b, c} = {c, b} Pas de réétition d élément : (a, a), (b, b), (c, c) C 3 2 = 3! / 1! 2! = 3 combinaisons sans réétition 3 sous-ensembles au total 9
CSR : Exemles d alication 1) Combien de arties d échecs distinctes eut-on organiser dans un groue de 6 ersonnes? Card( ) = n = 6 ; = 2 ersonnes C 6 2 = 6! / (6 2)! 2! = 6! / 4! 2! = 5 6 / 2 = 15 arties. 2) Soit l ensemble Ω = {a, b, c} ; card(ω) = n = 3. a) Combien existe-t-il de arties de Ω ossédant 2 éléments? b) Combien existe-t-il de arties de Ω ossédant k éléments (k 3)? c) Combien existe-t-il de arties de Ω ossédant un nombre quelconque d éléments? Retrouver l écriture de toutes les arties de Ω. a) Card( ) = n = 3 ; = 2 lettres C 3 2 = 3! / (3 2)! 2! = 3! / 1! 2! = 3 : {a, b} ; {a, c} ; {b, c} b) Card( ) = n = 3 ; = k 3 lettres C 3 k = 3! / (3 k)! k! c) Card( ) = n = 3 ; arties vide ou à 1 lettre ou à 2 lettres ou à 3 lettres 3 C 3 k = C 30 + C 31 + C 32 + C 33 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 3 k=0 ; {a } ; {b} ; {c} ; {a, b} ; {a, c} ; {b, c} ; {a, b, c } = Ensemble vide ; singletons ; aires ; Ensemble fondamental 10
CSR : Proriétés 1) C n = C n n- (Comlémentaire - Symétrie) 2) C n = C n-1 + C n-1-1 (Triangle de Pascal) n 3) (a + b) n = C n a b n- (Formule du binôme de Newton) 4) 2 n = C n =0 =0 n 5) C n a b n- = 1 (roriété de la loi de robabilité binomiale) =0 Triangle de Pascal - Coefficients binomiaux : C n C n = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5-1 n = 0 1 n = 1 1 1 + = n = 2 1 2 1 n =3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 : 1 6 15 20 15 6 1 n-1 C n-1 0 = 1 C n-1-1 C n-1 Symétrie n C n 0 = 1 C n n + = 11
CSR : Proriétés Triangle de Pascal - Coefficients binomiaux : C n C n = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5-1 n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n =3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 : 1 n-1 C n-1 0 = 1 C n-1-1 C n-1 n C n 0 = 1 C n n 3) (a + b) n = C n a b n- (Formule du binôme de Newton) =0 3) Démonstration : raisonnement ar récurrence en utilisant la roriété 2). Décomosition à artir du triangle de Pascal our n = 5 : (a + b) 5 = C 5 0 a 0 b 5 + C 5 1 a 1 b 4 + C 5 2 a 2 b 3 + C 5 3 a 3 b 2 + C 5 4 a 4 b 1 + C 5 5 a 5 b 0 = 1 b 5 + 5 a 1 b 4 + 10 a 2 b 3 + 10 a 3 b 2 + 5 a 4 b 1 + 1 a 5 12
CSR : Proriétés n 4) 2 n = C n =0 (roriété du cardinal de l ensemble des arties d un ensemble) 4) On ose a = b = 1 : (a + b) n = C nk a k b n-k 2 n = C n k k=0 k=0 n Cette roriété ermet de déterminer le cardinal de l ensemble des arties d un ensemble. Si le card( ) = n alors le card(ƥ( )) = 2 n Exemle d alication : = { a, b, c } ; card( ) = n = 3 L ensemble des arties de : Ƥ( ) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, { a, b, c } = } n Ensemble vide, Singletons, aires, trilets = card(ƥ( )) = 2 3 = 8 n 5) C n a b n- = 1 (roriété de la loi de robabilité binomiale) =0 5) Pour [0, 1], on ose a = et b = (1 ) Le déveloement donne : n 1 = C nk k (1 ) n-k k=0 Ce cas articulier ermettra de définir la loi de robabilité binomiale. 13
2 Disositions avec réétition = { 1, 2,, n } ; card( ) = n éléments tous distincts, n et N avec quelconque ( n ou > n ) 2.1 ARRANGEMENT (AAR) : Un arrangement avec réétition de éléments est une suite ordonnée de éléments choisis armi les n éléments distincts de, et qui euvent se rééter. Ⱥ n = n Exemle d alication : = { a, b, c } ; card( ) = n = 3 «Le nombre total d arrangements avec réétition de éléments armi n». Les arrangements avec réétition de = 2 éléments armi les n = 3 éléments de sont : Diagramme arborescent x = 2 ; card( ) = ( card( ) ) = n b (a, b) a a (a, a) c (a, c) a (b, a) b b (b, b) c (b, c) a (c, a) c c (c, c) b (c, b) 9 coules au total Suites ordonnées, on tient bien comte de l ordre des éléments : (a, b) (b, a), (a, c) (c, a) et (b, c) (c, b) Réétition d éléments : (a, a), (b, b), (c, c) Ⱥ 3 2 = 3 2 = 9 arrangements avec réétition 14
AAR : Exemles d alication 1) Combien eut-on former d octets (mot de 8 éléments binaires)? = {0, 1} ; Card( ) = n = 2 ; = 8 > n = 8 = {a, b, c,, z} ; Card( ) = n = 26 ; Sigle : = 2 ou 3 lettres Ⱥ 262 0 1 1 0 1 0 0 1 + Ⱥ 263 = 26 2 + 26 3 = 676 + 17 576 = 18 252 sigles ossibles. Ⱥ 28 = 2 8 = 256 octets ossibles. 2a) Combien y-a-t-il d initiales ossibles (2 lettres) our un étudiant? = {a, b, c,, z} ; Card( ) = n = 26 ; = 2 lettres ; Ⱥ 262 = 26 2 = 676 initiales ossibles. 2b) Combien faut-il d étudiants dans une romotion our qu il soit certain que 2 étudiants au moins aient les mêmes initiales? Il faut au moins 677 étudiants dans la romotion. 3) Dénombrer le nombre de codes ossibles d une carte bancaire = {0, 1, 2,.., 9} ; Card( ) = n = 10 ; Code : = 4 chiffres 5 0 7 9 Ⱥ 104 = 10 4 = 10 000 codes ossibles. 4) Combien eut-on former de sigles d entrerises de lus d une lettre et au lus 3 lettres à artir des 26 lettres de l alhabet latin? 5) Une laque minéralogique ou d immatriculation d un véhicule est comosée de 2 lettres latines, suivies de 3 chiffres uis de 2 lettres latines. Combien de laques différentes eut-on lister? Lettres : Card( 1 ) = n 1 = 26 ; = 2 ; Chiffres : Card( 2 ) = n 2 = 10 ; = 3 Ⱥ 262 Ⱥ 3 10 Ⱥ 262 = 676 x 1000 x 676 = 456 976 000 laques ossibles. S A R T U A B - 5 7 1 - R F 15
2 Disositions avec réétition = { 1, 2,, n } ; card( ) = n éléments tous distincts, n et N avec quelconque ( n ou > n ) 2.2 PERMUTATION (PAR) : Une ermutation avec réétition de éléments de Ω, our la réartition ( 1 ; 2 ;... n ), est une suite ordonnée de éléments qui euvent se rééter, où, le remier élément Ω figure 1 fois, le second 2 fois, etc., tel 1 + 2 +... + n =. Le nombre de ermutations avec réétition est : Ƥ ; (1, 2,..., n ) = Exemle d alication : = { a, b, c } ; card( ) = n = 3! «Le nombre total de ermutations avec réétition d éléments selon 1! 2!... P n! une réartition donnée». Les ermutations avec réétition de = 4 éléments armi les n = 3 éléments distincts de, selon la réartition (3, 1, 0) sont : Suites ordonnées, on tient bien comte de l ordre des éléments : Diagramme arborescent (a, a, a, b) (b, a, a, a) (a, b, a, a) (b, a, a, a). 1 = 3 fois a (a, a, a, b) 2 = 1 fois b (a, a, b, a) 3 = 0 fois c (a, b, a, a) i = 4 = (b, a, a, a) 4 quadrulets au total Réétition d élément : selon la réartition Ƥ 4, (3, 1, 0) = 4! / 3! 1! 0! = 4 ermutations avec réétition 16
PAR : Exemles d alication 1) Combien eut-on former d anagrammes du mot «ECONOMIE»? = {E, C, O, N, M, I } ; card( ) = n = 6 ; E:2, C:1, O:2, N:1, M:1, I:1 = 8 > n ; réartition : (2, 1, 2, 1, 1, 1) = 8 E C O N O M I E Ƥ 8, (2,1,2,1,1,1) = 8! / 2! 1! 2! 1! 1! 1! = 10 080 anagrammes ossibles. 2) A artir du mot «ECONOMIE», combien eut-on former de mots de 6 lettres selon la réartition (1,1,1,1,1,1)? = {E, C, O, N, M, I } ; Card( ) = n = 6 ; = 6 selon la réartition : (1, 1, 1, 1, 1, 1) Ƥ 6, (1,1,1,1,1,1) = 6! / 1! 1! 1! 1! 1! 1! = 6! = 720 = P 6 : PSR. 3) Une chaîne de montage de véhicules identiques assure la sortie de 12 véhicules ar jour dont 6 sont de couleur Gris métallisé, 3 de couleur Noir, 2 Rouge et 1 en Blanc. Les véhicules d une même couleur sont indiscernables. Ces véhicules sont ensuite garés les uns à côté des autres sur un arking de 12 laces numérotées. De combien de manières visuellement différentes eut-on ranger ces véhicules sur le arking à la fin de la journée de travail? = {Gris, Noir, Rouge, Blanc } ; Card( ) = n = 4 couleurs ; G:6, N:3, R:2, B:1 = 12 laces ; réartition : (6, 3, 2, 1) Ƥ 12, (6,3,2,1) = 12! / 6! 3! 2! 1! = 55 440 stationnements ossibles. 17
2 Disositions avec réétition = { 1, 2,, n } ; card( ) = n éléments tous distincts, n et N avec quelconque ( n ou > n ) 2.3 COMBINAISON (CAR) : Une combinaison avec réétition est un sous-ensemble non ordonné de éléments choisis armi les n éléments distincts de, et qui euvent se rééter. (n + 1)! Ȼ n = C n+-1 = «Le nombre total de combinaisons avec (n 1)!! réétition de éléments armi n». Exemle d alication : = { a, b, c } ; card( ) = n = 3 Les arrangements ossibles sans réétition de = 2 éléments armi les n = 3 éléments de sont : Diagramme arborescent b {a, b} a a {a, a} c {a, c} a {b, a} b b {b, b} c {b, c} a {c, a} c c {c, c} b {c, b} 6 sous-ensembles au total Sous-ensembles non ordonnés, on ne tient as comte de l ordre des éléments : {a, b} = {b, a}, {a, c} = {c, a} et {b, c} = {c, b} Réétition d élément : {a, a}, {b, b}, {c, c} Ȼ 3 2 = C 4 2 = 4! / 2! 2! = 6 combinaisons sans réétition 18
CAR : Exemles d alication 1) Combien y-a-t-il de ièces dans un jeu de domino? = {Blanc; 1; 2; 3; 4; 5; 6} ; card( ) = n = 7 ; = 2 < n Ȼ 7 2 = C 8 2 = 8! / 6! 2! = 28 ièces. 2) Jeu du "Mexico" : on lance deux dès. Avec les deux chiffres obtenus, on forme un nombre dont le chiffre des dizaines est le lus grand des deux chiffres obtenus. Combien de nombres eut former? = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; Card( ) = 6 ; = 2 chiffres ; Ȼ 6 2 = C 7 2 = 7! / 5! 2! = 21 nombres ossibles. A savoir : 11 ; 21 ; 22 ; 31 ; 32 ; 33 ; 41 ; 42 ; 43 ; 44 ; 51 ; 52 ; 53 ; 54 ; 55 ; 61 ; 62 ; 63 ; 64 ; 65 ; 66 3) De combien de façons différentes eut-on ranger 9 dossiers dans les 5 étagères d une armoire? Card( ) = 5 étagères ; = 9 dossiers ; Ȼ 5 9 = C 13 9 = 13! / 4! 9! = 715 rangements ossibles. 19
Analyse combinatoire & Dénombrement Sans remise Avec remise Avec ordre ASR AAR Avec ordre (totalité : = n) PSR PAR Sans ordre CSR CAR Résumé des disositions 20