Antilles Guyanes 14 On note! l ensemble des nombres complexes Le plan complexe est muni d un repère orthonormé O;u!,v! ( ) On prendra comme unité cm sur chaque axe Un graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe f ( z) = z + z + 9 1 Calculer l image de 1+ i 3 par la fonction f Résoudre dans! l équation f ( z) = 5 Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l affixe est solution de l équation (A étant le point dont l affixe a une partie imaginaire positive) On laissera les traits de construction apparents 3 Soit λ un nombre réel On considère l équation f ( z) = λ d inconnue z Déterminer l ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l équation f ( z) = λ admet deux solutions complexes conjuguées 4 Soit F ( ) l ensemble des points du plan complexe dont l affixe z vérifie f ( z) 8 = 3 ( ) est le cercle de centre Ω( 1;0 ) et de rayon 3 ( ) sur le graphique Prouver que F Tracer F 5 Soit z un nombre complexe, tel que z = x + iy où x et y sont des nombres réels a Montrer que la forme algébrique de f ( z) est x y + x + 9 + i( xy + y) b On note ( E) l ensemble des points du plan complexe dont l affixe z est telle que f ( z) soit un nombre réel Montrer que ( E) est la réunion de deux droites D 1 et D dont on précisera les équations Compléter le graphique en traçant ces droites 6 Déterminer les coordonnées des points d intersection des ensembles ( E) et ( F ) Centres étrangers 14 4 points On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z n par : z 0 = 16 z n+1 = 1+ i z, pour tout entier naturel n n 1 wwwelbazsebastienyolasitecom
On note r n le module du nombre complexe z n : r n = z n Dans le plan muni d un repère orthonormé direct d origine O, on considère les points A n d affixes z n 1 a Calculer z 1, z et z 3 b Placer les points A 1 et A sur le graphique de l annexe, à rendre avec la copie c Écrire le nombre complexe 1+ i sous forme trigonométrique d Démontrer que le triangle OA 0 A 1 est isocèle rectangle en A 1 Démontrer que la suite r n ( ) est géométrique, de raison La suite ( r n ) est-elle convergente? Interpréter géométriquement le résultat précédent On note L n la longueur de la ligne brisée qui relie le point A 0 au point A n en passant successivement par les points A 1, A, A 3, etc n 1 Ainsi L n = A i A i+1 = A 0 A 1 + A 1 A + + A n 1 A n i=0 3 a Démontrer que pour tout entier naturel n : A n A n+1 = r n+1 b Donner une expression de L n en fonction de n ( ) c Déterminer la limite éventuelle de la suite L n Métropole 14 On désigne par ( E) l équation z 4 + 4z +16 = 0 d inconnue complexe z 1 Résoudre dans! l équation Z + 4Z +16 = 0 Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle On désigne par α le nombre complexe dont le module est égal à et dont un argument est égal à π 3 Calculer α sous forme algébrique En déduire les solutions dans! de l équation z = + i 3 On écrira les solutions sous forme algébrique 3 Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x + iy où x! et y!, le conjugué de z est le nombre complexe z défini par z = x iy Démontrer que : wwwelbazsebastienyolasitecom
a Pour tous nombres complexes z 1 et z, z 1 z = z 1 z b Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, z n = z 4 Démontrer que si z est une solution de l équation E ( ) une solution de E En déduire les solutions dans! de l équation E quatre solutions ( ) n ( ) alors son conjugué z est également ( ) On admettra que ( E) admet au plus Liban 14 On considère la suite de nombres complexes ( z n ) définie par z 0 = 3 i et pour tout entier naturel n : z n+1 = ( 1+ i)z n Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante Partie A Pour tout entier naturel n, on pose u n = z n 1 Calculer u 0 Démontrer que u n ( ) est la suite géométrique de raison et de premier terme 3 Pour tout entier naturel n, exprimer u n en fonction de n 4 Déterminer la limite de la suite ( u n ) 5 Etant donné un réel positif p, on souhaite déterminer, à l aide d un algorithme, la plus petite valeur de l entier naturel n telle que u n > p Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l entier n Variables : u est un réel p est un réel n est un entier Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur Demander la valeur de p Traitement : Partie B Sortie : 1 Déterminer la forme algébrique z 1 3 wwwelbazsebastienyolasitecom
Déterminer la forme exponentielle de z 0 et 1+ i En déduire la forme exponentielle de z 1 π 3 Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos 1 Nouvelle Calédonie 14 4 points Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple) Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie Chaque réponse exacte rapporte un point Aucune justification n est demandée Aucun point n est enlevé en l absence de réponse ou en cas de réponse fausse Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O;u!,v! ) Soit z un nombre complexe de la forme x + iy, où x et y sont des réels 1 Soit z le nombre complexe d affixe 1+ i a e iπ b 4e iπ c e iπ 4 d 4e iπ 4 ( ) 4 L écriture exponentielle de z est : L ensemble des points M du plan d affixe z = x + iy tels que z 1+ i = 3 i a pour équation : ( ) + ( y +1) = ( ) + ( y 1) = ( ) + ( y +1) = 4 a x 1 b x +1 c x 1 d y = x + 3 1 3 On considère la suite de nombres complexes ( Z n ) définie pour tout entier naturel n par Z 0 = 1+ i Z n+1 = 1+ i Z n On note M n le point du plan d affixe Z n a Pour tout entier naturel n, le point M n appartient au cercle de centre O et de rayon b Pour tout entier naturel n, le triangle OM n M n+1 est équilatéral c La suite U n ( ) définie par U n = Z n est convergente d Pour tout entier naturel n, un argument de Z n+1 Z n Z n est π 4 wwwelbazsebastienyolasitecom
4 Soit A, B, C trois points du plan complexe d affixes respectives : Z A = 1 i ; Z B = i et Z C = 1+ 5i On pose Z = Z Z C A Z B Z A a Z est un nombre réel b Le triangle ABC est isocèle en A c Le triangle ABC est rectangle en A d Le point M d affixe Z appartient à la médiatrice du segment BC Pondichéry 14 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé ( O;u!,v! ) Pour tout entier naturel n, on note A n le point d affixe z n défini par : z 0 = 1 et z n+1 = 3 4 + 3 4 i z n On définit la suite ( r n ) par r n = z n pour tout entier naturel n 1 Donner la forme exponentielle du nombre 3 4 + 3 4 i a Montrer que la suite ( r n ) est géométrique de raison b En déduire l expression de r n en fonction de n c Que dire de la longueur OA n quand n tend vers +? 3 On considère l algorithme suivant : 3 Variables n entier R réel P réel strictement positif Entrée Demander la valeur de P Traitement R prend la valeur 1 n prend la valeur 0 Tant que R > P n prend la valeur n +1 Sortie Fin tant que Afficher n R prend la valeur 3 R a Quelle est la valeur affichée par l algorithme pour P = 0,5? b Pour P = 0,01, on obtient n = 33 Quel est le rôle de cet algorithme? 4 a Démontrer que le triangle OA n A n+1 est rectangle en A n+1 5 wwwelbazsebastienyolasitecom
b On admet que z n = r n e inπ 6 Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A n est un point de l axe des ordonnées Déterminer les valeurs de n pour lesquelles An est un point de l axe des ordonnées c Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, représentant les points A 6, A 7, A 8 et A 9 Les traits de construction seront apparents 6 wwwelbazsebastienyolasitecom