Plan de cours : PHYSIQUE MP

Plan de cours : PHYSIQUE MP I Filtrage en électrocinétique I Fonction de transfert complexe en sortie ouverte......................... 3 I. Expression.......................................... 3 I.2 Principales relations utiles : rappels............................. 4 a - Relation du diviseur de tension.......................... 4 b - Théorème de Millman............................... 4 I.3 Le problème de la stabilité.................................. 5 a - Généralités et cas des systèmes d ordre et 2.................. 5 b - Complément hors programme : stabilité des systèmes d ordre n > 2..... 8 I.4 Réponse en gain - réponse en phase : diagramme de Bode................ 9 I.5 Bande passante........................................ 0 II Filtre passe-bas............................................ 0 II. Ordre............................................ 0 II.2 Ordre 2............................................ 2 a - Analyse de la fonction de transfert et diagramme de Bode........... 2 b - Cas particuliers : résonance et filtre de Butterworth.............. 6 III Filtres passe-haut.......................................... 7 III. Ordre............................................ 7 III.2 Ordre 2............................................ 9 IV Filtres passe-bande (ordre 2).................................... 2 IV. Fonction de transfert et diagramme de Bode........................ 2 IV.2 Bande passante........................................ 22 V Filtre coupe-bande (réjecteur).................................... 25 V. Diagramme de Bode..................................... 25 V.2 Bande «rejetée»....................................... 27

PLAN DE COURS : PHYSIQUE MP 2 CPGE MP3...

Chapitre I Filtrage en électrocinétique I Fonction de transfert complexe en sortie ouverte I. Expression Les cours d électrocinétique de première année ont permis de dégager une modélisation linéaire du comportement des circuits électriques courants, comportant résistances, bobines, et capacités. Les grandeurs observables courants et tensions étaient alors régies par des équations différentielles linéaires, et dans l étude des filtres, le circuit étudié est un quadripôle comportant grandeurs d entrée indicées «e» et grandeurs de sortie indicées «s». Les grandeurs d intérêt sont en général les tensions Figure I. Schéma d un quadripôle type filtre en d entrée e(t) et de sortie s(t), avec la sortie en boucle boucle ouverte ouverte, c est à dire avec i s (t) = 0. L équation différentielle régissant les variations de telles grandeurs s écrit, sous sa forme la plus générale : D 0 s(t) + D ds(t) dt d n s(t) de(t) d m e(t) +... + D n = N dt n 0 e(t) + N +... + N m dt dt m (I.) avec D 0, D,... D n et N 0, N,... N m coefficients constants. La réponse du système linéaire (cf équa.diff en maths) est : s(t) = s H (t) }{{} solution ESSM + s P (t) }{{} solution particuliere Hypothèses : On suppose une excitation e(t) sinusoïdale On suppose le système stable i.e. s H (t) évanescent. (cf.stabilité des systèmes plus bas) e(t) = E cos(ωt) e = E e jωt = On recherche le régime sinusoïdal forcé (RSF) : s(t) = S(ω) cos(ωt + ϕ) s(t) = S(ω) e j(ωt+ϕ L équation différentielle ci-dessus devient alors en formalisme complexe i.e. en espace des pulsations pour lesquelles d jω : dt 3

[D 0 + (jω)d +... + (jω) n D n ] s = [N 0 + (jω)n +... + (jω) m N m ] e (I.2) Définition - (I.) - : On appelle fonction de transfert complexe, le rapport H(jω) défini par : H(jω) = s e = N 0 + (jω)n + (jω) 2 N 2 +... + (jω) m N m D 0 + (jω)d + (jω) 2 D 2 +... + (jω) n D n (I.3) Remarque - (I.) - : L établissement de la fonction de transfert permet de retrouver facilement l équation différentielle régissant le système et ce plus facilement que par l emploi direct des lois électrocinétiques habituelles, en particulier pour les systèmes d ordre > 2. jω d dt I.2 Principales relations utiles : rappels a - Relation du diviseur de tension Principe : On recherche la tension complexe V B aux bornes du dipôle d impédance Z 2. V B = Z 2 i = Z 2 Z + Z 2 V A Exemple d exploitation : Filtre de Wien à faire en "live"!!! b - Théorème de Millman On considère le réseau linéaire ci-contre pour lequel on recherche l expression du potentiel V M en fonction des potentiels [V, V 2,..., V N ] et des courants [i, i 2,...i P ]. Figure I.2 Diviseur de tension La loi des noeuds permet d écrire en M : N P N i j + i k = 0 donc j= k= j= V j V M Z j + P i k = 0 k= Figure I.3 Théorème de Millman 4 CPGE MP3...

soit : N V M j= et enfin le théorème de Millman généralisé : V M = Z j = N j= N j= V j Z j + N V j Z j + Z j= j Exemple d exploitation : Filtre à trois cellules RC On considère le circuit «tri-rc» suivant : P k= P k= i k i k Fig. : Circuit «trirc» Exercice de cours: (I.2) - n Montrer que la fonction de transfert complexe de ce filtre s écrit : H(jω) = + 6(jω)RC + 5(jω) 2 (RC) 2 + (jω) 3 (RC) 3 En déduire l équation différentielle régissant l évolution de e(t) et s(t). I.3 Le problème de la stabilité a - Généralités et cas des systèmes d ordre et 2 On suppose un système linéaire, donc d évolution régie par une équation différentielle du type précité. Le système est dit stable, si la solution de l équation homogène, soit l équation différentielle sans second membre, est un régime transitoire évanescent. Seul le régime permanent demeure au bout d un temps caractéristique des composants du filtre. Dans le cas contraire, la tension de sortie est divergente ce qui conduit à l instabilité du filtre. On propose ici de dégager les critères de stabilité des filtres du premier et second ordre. Propriété - (I.3) - : Un circuit linéaire soumis à un signal d entrée e(t) est dit stable si la partie transitoire s H (t) de sa réponse s(t) est évanescente : lim s H(t) = 0 t. (RC) 3 d 3 s dt + d 2 s ds 3 5(RC)2 + 6RC dt2 dt + s = e... Jean-Laurent GRAYE 5

Cas d un système du premier ordre : L équation différentielle sans second membre à laquelle obéit le signal de sortie s(t) (en l absence de signal d entrée) s écrit : D 0 s H (t) + D ds H (t) dt = 0 = ds H(t) dt + α s H (t) = 0 (ESSM) avec α = D 0 D Les solutions sont du type : s H (t) = K e αt Ainsi : Si α < 0 on a s H (t) est divergente système non stable. D après la relation entre l équation différentielle et la fonction de transfert, on a en posant ω c = α > 0 : H(jω) = N(jω) D α + jω = N (jω) ω c + jω = N (jω) [ ω c j ω ] ω c Si α > 0 on a s H (t) est convergente (évanescente) système stable. De même, la fonction de transfert est déduite immédiatement : H(jω) = N (jω) α + jω = N (jω) ω c + jω = N (jω) ω c [ + j ω ω c ] Conclusion : système du er ordre stable si α > 0 soit D 0 et D de même signe. Cas d un système du second ordre : L équation différentielle homogène régissant l évolution de s H (t) s écrit maintenant : 6 CPGE MP3...

D 0 s H (t) + D ds H (t) dt d 2 s H (t) + D 2 dt 2 = 0 = d2 s H (t) dt 2 + β ds H(t) + γ s H (t) = 0 avec dt Le polynôme caractéristique d une telle équation est : β = D D 2 γ = D 0 D 2 r 2 + β r + γ = 0 avec le discriminant = β 2 4γ Le système est stable si : Pour > 0 les solutions sont exponentielles réelles : s H (t) = A e r t + B e r 2t La stabilité impose r < 0 et r 2 < 0, soit : { r + r 2 = β < 0 r r 2 = γ > 0 = { β > 0 γ > 0 Pour = 0, on a nécessairement γ = β2 4 > 0 et les solutions sont de la forme : s H (t) = e β 2 t (At + B) Il faut donc assurer : β > 0 Enfin, pour < 0, on a nécessairement γ > 0, et les solutions sont pseudo-sinusoïdales : s H (t) = e β 2 t [ A sin(ω 0t) + B cos(ω 0t) ] avec ω 0 = 2 4γ β ; pour assurer la convergence vers 0 de ces solutions, il faut donc avoir : β > 0 Ainsi, la condition de stabilité d un système du second ordre s écrit : { β > 0 γ > 0 soit D 0, D, D 2 de même signe Par conséquent, les systèmes stables d ordre 2 possèdent une fonction de transfert dont le dénominateur est un polynôme du second ordre en jω et dont les coefficients sont tous de même signe : H(jω) = N(jω) D 0 + D jω + D 2 (jω) 2 = N(jω) ] D 0 [ + D D 0 jω + D 2 D 0 (jω) 2... Jean-Laurent GRAYE 7

Remarque - (I.3) - 2: ➊ Un tel dénominateur de fonction de transfert peut toujours s écrire : avec : ou encore : ( + 2m j ω ) ( + j ω ) 2 ω 0 ω 0 + Q avec m coefficient d amortissement réduit D0 D0 ω 0 = ω 0 = D 2 2m = D soit : D 2 2m = D D0 = D ω 0 D 0 D 0 D 2 D0 D 2 ) ( (j ωω0 + j ω ) 2 avec Q = ω 0 2m facteur de qualité du filtre ➋ Seuls les filtres actifs peuvent présenter un problème d instabilité, car le coefficient m ne peut être négatif dans le cas d un filtre passif (cf TD). b - Complément hors programme : stabilité des systèmes d ordre n > 2 On suppose toujours un système dont l évolution temporelle est régie par une fonction de transfert de type : (e) D 0 s(t) + D ds(t) dt d n s(t) de(t) d m e(t) +... + D n dt n = N 0 e(t) + N +... + N m dt dt m Hypothèse :on soumet le circuit à une impulsion brève appelée "pic de Dirac" (impulsion test) dans laquelle ϵ 0 : Figure I.4 Impulsion test en entrée L[s(t)] = S(p) [ ] Rappel : transformée de Laplace d un signal s(t) et ses dérivées : d k L dt k s(t) = p k S(p) 8 CPGE MP3...

En outre, on montre que L[δ] = et donc L[e(t)] = E. Calculons la transformée de Laplace de l équation (e) : L[(e)] S[D 0 + pd + p 2 D 2 +... + p n D n ] = [N 0 + pn +... + p m N m ] E On en déduit la fonction de transfert opérationnelle en réponse à un pic de Dirac : H δ (p) = S(p) E = N 0 +... + p m N m D 0 + pd +... + p n D }{{ n } =D(p) = N(p) D(p) Le dénominteur D(p) = D n p n +... + D 0 polynome en p peut être factorisable sous la forme : D(p) = D n (p p )(p p 2 )... (p p n ) les p i i..n sont appelés pôles de H(p) Ainsi, le signal en espace de Laplace peut être réécrit par décomposition en éléments simples : S(p) = A p p + A 2 p p 2 +... + A n p p n Enfin, on effectue le retour à s(t) par transformée de Laplace inverse, sachant que l "originale" (TL inverse) s écrit pour un élément simple de ce type : [ ] L Ak = A k e p kt p p k Chaque originale converge (i.e. stabilité du système) si R (p k ) < 0. On en déduit la propriété suivante : Bilan : un système d ordre n est stable si tous les pôles p de H(p), donc les "0" de D(p) sont à partie réelle < 0. I.4 Réponse en gain - réponse en phase : diagramme de Bode Par définition, la fonction de transfert est le rapport complexe : H(jω) = s e = S(ω) ej(ωt+φ(ω)) E e jωt = S(ω) E ejφ(ω) soit : H(jω) = G(ω) = H(jω ) = S(ω) Ainsi, on pose : E φ(ω) = arg[h(jω)] la phase H(jω) e jφ(ω) = G(ω) e jφ(ω) }{{} S(ω) =G(ω)= E le gain On caractérise enfin le système en donnant le diagramme de Bode qui réunit les courbes de réponse en gain (en db) et en phase (en rad) avec :... Jean-Laurent GRAYE 9

G db = 20 log 0 G(ω) = fct(log 0 ω) φ = fct(log 0 ω) I.5 Bande passante Définition - (I.5) - 2: La bande passante d un filtre est, par définition, le domaine de fréquence pour lequel le gain de ce dernier vérifie la relation suivante : (ω) G max 2 = G db (ω) G dbmax 20 log 2 }{{} 3dB II Filtre passe-bas II. Ordre La forme canonique générale de la fonction de transfert est : H(jω) = H 0 + j ω ω 0 On propose l étude particulière du circuit RC cicontre : Fig.2 : Filtre RC passe-bas On établit sans aucune difficulté la fonction de transfert, par exemple à l aide du théorème du diviseur de tension : H(jω) = + j ω avec ω 0 = ω 0 RC ➊ Courbe de réponse en gain : Le gain en décibel donne de la fonction de transfert donne : G db (x) = 20 log = 0 log( + + x 2 x2 ) en posant x = ω ω 0 On résume souvent le comportement en fréquence du gain par une courbe asymptotique, afin de donner de manière plus rapide et synthétique de comportement global du filtre. On calcule simplement pour cela les limites du gain en haute et basse fréquence : 0 CPGE MP3...

pour les très basses fréquences x 0 c est à dire pour des abscisses X = log(x) : lim G db(x) = 0 log() x 0 pour les très hautes fréquences x + c est à dire pour des abscisses X = log(x) + : lim G db(x) = 0 log(x) = 20 X x + La pente de l asymptote vaut 20 db/décade. Le comportement d un filtre est également caractérisé par la donnée de la bande de fréquence dans laquelle le signal de sortie possède une valeur significative. Cette bande de fréquence porte le nom de bande passante. On retiendra comme critère pour la bande passante, les fréquences donnant un gain compris entre G db MAX et G db (max) 20log 2, soit G db (max) 3dB. Pour ce filtre passe-bas d ordre, on a typiquement : G db > G db (max) 3dB pour ω [0, ω 0 ]. ➋ Courbe de réponse en phase : L argument de la fonction de transfert s écrit : ( ) φ(x) = arg = arg( + jx) = arctan(x) + jx... Jean-Laurent GRAYE

II.2 Ordre 2 a - Analyse de la fonction de transfert et diagramme de Bode La forme canonique générale de la fonction de transfert est : H(jω) = H 0 ) 2 + 2jm ω ω 0 + (j ωω0 On propose l étude au travers du cas particulier du circuit RLC ci-contre : Fig.3 : Filtre RLC passe-bas Exercice de cours: (II.2) - n 2 Montrer que la fonction de transfert d un tel circuit s écrit : H(jω) = ( ) ) 2 avec + 2jm ω + (j ω ω0 ω0 ω 0 = (LC) 2 m = R 2 Le dénominateur de cette fonction de transfert peut être vu comme un polynôme d ordre 2 en Y = j ω ω 0, soit : H(Y ) = + 2mY + Y 2 C L 2 CPGE MP3...

ce qui conduit naturellement à considérer trois cas de figure suivant le signe du discriminant réduit du polynôme du dénominateur : = m 2 Premier cas avec > 0 soit m > : Dans ce cas de figure, le dénominateur est factorisable. En appelant : Y = m m 2 et Y 2 = m + m 2 les racines réelles du dénominateur qui factorisé s écrit donc : soit : H(Y ) = (Y Y )(Y Y 2 ) H(jω) = (j ω ω 0 + m + m 2 )(j ω ω 0 + m m 2 ) On peut ensuite factoriser chaque terme du dénominateur D comme suit : ( D = m + ) ( m 2 m ) m 2 ω + j }{{} ω 0 (m + ) ω + j m 2 ω 0 (m ) m 2 = ω = ω 0 (m ) m 2 soit en posant : et ω 2 = ω 0 (m + ) m 2 la fonction de transfert s écrit finalement : H(jω) = ( + j ω ω ) ( + j ω ω2 ) = H (jω) H 2 (jω) Remarque - (II.2) - 3: On constate que la fonction de transfert peut s interpréter comme le produit de deux fonctions de transfert de permier ordre. Cette étude préliminaire va permettre une analyse plus fine du comportement asymptotique de la courbe de réponse en gain, en particulier, la mise en évidence de spécificités assez marquées, liées à la valeur de la constante m.... Jean-Laurent GRAYE 3

➊ Courbe de réponse en gain : Calculons le gain en db à partir de la forme factorisée : ( ( ) ) ( ω 2 ( ) ) ω 2 G db = 20 log G (ω) + 20 log G 2 (ω) = 0 log + 0 log + Comportement asymptotique : On pose que ω << ω 2 i.e. m >> : Pour ω << ω : ω ω 2 Pour ω << ω << ω 2 : lim G db(ω) = 0 ω 0 G(ω) 20 log ω ω la pente est de 20dB/décade Enfin, pour ω >> ω 2 >> ω : G(ω) 20 log ω ω 20 log ω ω 2 la pente est de 40dB/décade ➋ Courbe de réponse en phase : La réponse en phase est également facilitée par la factorisation : ) ) ( ) ( ) φ(ω) = arg (H(jω)) = arg ( + j ωω arg ( + j ωω2 ω ω = arctan arctan ω ω 2 4 CPGE MP3...

Second cas avec = 0 soit m = : Le traitement est similaire au cas précédent avec la possibilité de factoriser la fonction de transfert puisqu il apparaît une racine double : ➊ Courbe de réponse en gain : La fonction de transfert s écrit alors : Y /2 = m = H(jω) = ( + j ω ω0 ) 2 c est à dire comme le carré d une fonction de transfert d ordre. Le comportement asymptotique fait donc apparaître une pente de 40db/décade (cf graphes ci-dessus). ➋ Courbe de réponse en phase : La réponse en phase se calcule naturellement : φ(x) = arg (H(jx)) = arg( + jx) 2 = 2arg ( + jx) = 2arctan(x) Troisième cas avec < 0 soit m < : Dans ce cas de figure, la fonction de transfert n est plus factorisable. ➊ Courbe de réponse en gain : H(jx) = + 2mjx + (jx) 2 = ( x 2 ) + j2mx... Jean-Laurent GRAYE 5

d où : G db = 0 log ( x 2 ) 2 + 4m 2 x 2 Exercice de cours: (II.2) - n 3 Montrer que l asymptote en hautes fréquences fait apparaître une pente de 40dB/décade. Remarque - (II.2) - 4: Ce cas de figure (m < ) correspond aux conditions de la résonance de tension. En effet, on peut montrer que le module de la fonction de transfert admet un maximum pour la pulsation de résonance, c est à dire que son dénominateur admet un minimum (cf plus bas). D(x) = ( x 2 ) 2 + 4m 2 x 2 ➋ Courbe de réponse en phase : Comme précédemment l argument de H(jx) varie entre 0 et π : φ(x) = arg [ ( x 2 ) + 2jmx ] = artan 2mx ( x 2 ) b - Cas particuliers : résonance et filtre de Butterworth Dans le cas m <, on peut observer une résonance de tension. Exercice de cours: (II.2) - n 4 Montrer que la pulsation de résonance est : ω r = ω 0 2m 2 En déduire une condition sur m pour que la résonance soit observable. Cas particulier : La résonance disparaît pour m = 2, et la fonction de transfert s écrit alors : Le gain s écrit donc : G(ω) = H(jω) = + j 2jx + (jx) 2 ( x 2 ) 2 + 2x = 2 ( x 2 ) 2 + 2x = 2 + x 4 6 CPGE MP3...

Remarque - (II.2) - 5: On parle de filtre type Butterworth lorsque le gain peut se mettre sous la forme : G(x) = + x 2p avec p Z III Filtres passe-haut III. Ordre La forme canonique générale de la fonction de transfert est : H(jω) = H 0 j ω ω 0 + j ω ω 0 On propose l étude du circuit passe-haut du premier ordre suivant : Fig.4 : Filtre RC passe-haut La fonction de transfert d un tel circuit s écrit : H(jω) = jx + jx ➊ Courbe de réponse en gain : Le gain est silplement : x G db (x) = 20 log + x 2... Jean-Laurent GRAYE 7

Remarque - (III.) - 6: Utilisation des symétries Il est possible de tracer la courbe de réponse en gain d un tel filtre à partir de celle d un filtre passe-bas d ordre. En effet, on peut réécrire le gain ainsi : En posant x = x, le gain G(x ) s écrit : x G db (x) = 20 log = 20 log + x 2 + ( x G db (x ) = 20 log + x 2 Selon la variable x, on obtient le gain d un filtre passe-bas d ordre. En outre en observant que X = log(x ) = log(x), on constate que le sens de variation de l abscisse est inversé en variable X. La courbe de réponse en gain de ce filtre passe-haut est donc simplement le symétrique par rapport à l axe des ordonnées de la courbe de réponse en gain d un filtre passe-bas d ordre. ) 2 ➋ Courbe de réponse en phase : La fonction de transfert peut s analyser comme le produit de deux fonctions de transfert d ordre : H(jx) = jx + jx le premier terme étant simplement la fonction de transfert d un système d argument constant π 2, et le second celle d un filtre passe-bas d ordre dont l étude de l argument a été détaillée plus haut. On peut donc écrire : φ(x) = π 2 artan(x) = π 2 + φ P B(x) La courbe de réponse en phase se déduit donc de celle d un filtre passe-bas d ordre par translation de π 2 : 8 CPGE MP3...

III.2 Ordre 2 La forme canonique générale de la fonction de transfert est : H(jω) = ( ) H 0 j ω ω 0 ) 2 + 2jm ω ω 0 + (j ω ω0 On considère le circuit représenté sur le schéma ci-contre : Fig.5 : Filtre RLC passe-haut Exercice de cours: (III.2) - n 5 Montrer que la fonction de transfert d un tel filtre est : H(jx) = (jx) 2 + 2jmx + (jx) 2 ➊ Courbe de réponse en gain :... Jean-Laurent GRAYE 9

Remarque - (III.2) - 7: Comme pour le cas du filtre passe haut d ordre, la courbe de réponse en gain se déduit de celle du filtre passe-bas du même ordre par symétrie par rapport à l axe des gains. En effet : x 2 G db (x) = 20 log ( x2 ) 2 + 4m 2 x = 20 log 2 ( x ) 2 + 4m 2 2 x 2 soit en posant comme précédemment x = x : G db (x ) = 20 log ( x 2 ) 2 + 4m 2 x 2 qui correspond aux gain d un circuit pass-bas d ordre 2. ➋ Courbe de réponse en phase : Il est encore une fois possible ici de relier l étude de la phase aux travaux sur les filtres passe-bas. En effet, le fonction de transfert peut s écrire ici comme le produit de deux fonctions de transfert : H(jx) = (jx) 2 + 2jmx + (jx) 2 On reconnait le premier terme comme la fonction de transfert d un double dérivateur d argument π, et le second comme celle d un filtre passe-bas d odre 2 déjà étudié, donc : φ(x) = π arctan 2mx x 2 20 CPGE MP3...

IV Filtres passe-bande (ordre 2) IV. Fonction de transfert et diagramme de Bode La première forme canonique générale de la fonction de transfert est : H(jω) = La seconde forme canonique générale de la fonction de transfert est : H(jω) = H 0 2jm ω ω 0 ( ) ) 2 + 2jm ω + (j ω ω0 ω0 H 0 ( ) + jq ω ω ω 0 0 ω Exercice de cours: le lien entre m et Q. (IV.) - n 6 Passer de la première à la seconde forme canonique et retrouver On considère le circuit RLC passif suivant : La fonction de transfert s établit sans peine : ➊ Courbe de réponse en gain : Le gain se calcule sans peine : H(jx) = 2jmx + 2jmx + (jx) 2 2mx G db (x) = 20 log ( x 2 ) 2 + 4m 2 x 2... Jean-Laurent GRAYE 2

soit en divisant numérateur et dénominateur par 2mx : Remarque - (IV.) - 8: G db (x) = 20 log + ( 4m 2 x x) 2 En observant l expression du gain, on peut faire les commentaires suivants : la courbe de réponse en gain passe par un maximum pour x = soit log(x) = 0. Le gain vaut alors : G db (x = 0) = 0 le changement de x en x (soit X = log(x) en X = log(x) = X) conserve la valeur du gain donc l axe des gains est axe de symétrie de la courbe de réponse en gain. Exercice de cours: (IV.) - n 7 Etudier le comportement asymptotique. IV.2 Bande passante On caractérise généralement ce type de filtre par sa bande passante à 3dB c est à dire la bande de fréquence pour laquelle : 22 CPGE MP3...

soit : G(x) G max 2 G db (x) G dbmax 3dB C est d ailleurs avec les filtres passe-bande que cette notion prend sa pleine signification. Principe de calcul : On rappelle que le gain s écrit pour notre fonction de transfert : G(x) = + ( 4m 2 x x) 2 Sachant que G max =, il faut donc résoudre l équation suivante : soit : et : qui donne les polynômes suivants : G(x) = Les solutions à retenir (positives) sont : + ( = 4m 2 x x) 2 2 + ( 4m 2 x x) 2 = 2 ( x ) = ± 2m x x 2 + 2mx = 0 x 2 2mx = 0 x = m + m 2 + et x 2 = +m + m 2 + soit en terme de pulsation : ω = ω 0 ( m + ) m 2 + et ω 2 = ω 0 (+m + ) m 2 +... Jean-Laurent GRAYE 23

La bande passante, qui correspond à la différence de ces pulsations est donc : ω = 2mω 0 On retrouve bien sûr le caractère d autant plus sélectif du filtre lorsque m est faible, soit Q fort En outre, on peut définir le facteur de qualité par : Q = ω 0 ω = 2m ➋ Courbe de réponse en phase : La fonction de transfert du passe-bande peut être écrite comme le produit suivant : Le déphasage est donc : H(jx) = 2mjx + 2jmx + (jx) 2 }{{} fonction de transfert passe bas d ordre 2 φ(x) = π 2 + φ P B2(x) La courbe de réponse en phase est obtenue par simple translation de π 2 le long de l axe des phases : 24 CPGE MP3...

V Filtre coupe-bande (réjecteur) V. Diagramme de Bode La forme canonique générale de la fonction de transfert est : H(jω) = ) 2 + (j ω ω0 ) ) 2 + 2jm (j ω + (j ω ω0 ω0 La fonction de transfert d un tel filtre s écrit : H(jω) = Z L + Z C = jlω + jcω Z L + Z C + Z R R + jlω + jcω = LCω 2 + jrcω + (j 2 LCω 2 ) soit en posant la fréquence réduite x = ω LC = ω ω 0 : H(jx) = + (jx) 2 + 2mjx + (jx) 2 ➊ Courbe de réponse en gain : ( x G db (x) = 20 log 2 ) 2 ( x 2 ) 2 + 4m 2 x = 0 log ( x 2 ) 2 2 ( x 2 ) 2 + 4m 2 x 2 comportement asymptotique : BF (x 0) : G = G max G db 0 HF (x ) : G = G max G db 0 x= : G 0 G db... Jean-Laurent GRAYE 25

➋ Courbe de réponse en phase : H(jx) = + (jx) 2 + 2jmx + (jx) 2 [ ] d où : φ(x) = arg( x 2 ) + arg + 2jmx + (jx) 2 = arg( x 2 ) }{{} = 0 x< = π x> +φ P B2 Ainsi, la courbe de réponse en phase du réjecteur est obtenue à partir de celle du passe-bas d ordre 2 de même type (passif) : 26 CPGE MP3...

V.2 Bande «rejetée» On caractérise généralement le filtre par la bande rejetée à 3 db, soit : G(x) = G max 2 ( x 2 ) 2 ( x 2 ) 2 + 4m 2 x 2 = 2 donc : + 4m2 x 2 = 2, soit à résoudre 4m 2 x 2 ( x 2 ) 2 = ( x 2 ) 2 qui { donne deux polynômes : x 2 ± 2mx = 0 de solutions respectives : x + = m + m 2 + à retenir x + = m { m 2 + à rejeter x = +m + m 2 + à retenir x = +m m 2 + à rejeter On en déduit la bande rejetée : x = x x + = 2m soit : ω = 2mω 0... Jean-Laurent GRAYE 27