Cours n 6 Lentilles minces convergentes et divergentes Les verres de lunettes sont des lentilles qui permettent de palier aux défauts de vision de nombre d entre nous. Les lentilles permettent aussi de construire en les associant des instruments d optique, on verra celà dans le cours n 7 suivant mais avant cela comprendre la marche des rayons lumineux dans les lentilles et prédire le lieu ou se formeront les images est essentiel. Les lentilles sont des éléments optiques dont l action sur les rayons lumineux peut être alternativement décrite par un schéma ou par une formule algébrique, il faut comprendre le lien entre ces deux modèles équivalents ou représentations. On n insistera pas sur les limitations du modèle de la lentille mince, mais on décrira bien ce que l on appelle une image ou un objet virtuel, concepts souvent délicats à maitriser pour les étudiants. Les formules de conjugaison conséquence des lois de Descartes démontrées dans ce cours, devraient être données au concours, mais il est agréable de les savoir par cœur. I) Objet image réel ou virtuel, points conjugués Un objet ponctuel pour un système optique est à l intersection des rayons incidents qui attaquent la face d entrée du système optique Une image ponctuelle pour un système optique est à l intersection des rayons émergents qui sortent de la face de sortie du système optique L objet ou l image est dite virtuelle si ce ne sont pas les rayons qui s intersectent mais leur prolongements. exemple d'image virtuelle : on a vu qu un miroir plan donne d un objet réel une image virtuelle exemple d objet virtuel la seconde lentille A B image de AB donnée par la première constitue un objet virtuel L L B A A A B B
II) Systèmes centrés et approximation de Gauss ) Systèmes centrés Un système optique centré est un système optique dont les éléments constitutifs (dioptre, miroirs) ont un axe de symétrie commun. Cet axe est appelé axe optique. Il est orienté dans le sens de propagation de la lumière. Le centre du système optique sera noté O Tout rayon qui passe par O n est pas dévié. Les plans perpendiculaires à l axe optique sont appelés plans de front ) Approximation de Gauss peu inclinés peu éloignés Exemple du miroir sphérique Un rayon incident sur un système centré est dit paraaxial quand les deux conditions suivantes sont réalisées Le rayon est proche de l axe optique Le rayon est peu incliné par rapport à l axe optique Un système centré est utilisé dans les conditions de Gauss si tous les rayons incidents sont des rayons paraaxiaux Intuition par le dessin de la nécessité de se placer dans les conditions de Gauss pour qu un miroir concave possède un foyer bien défini C S
) Propriétés d un système centré ; stigmatisme approché, aplanétisme approché Un système centré utilisé dans les conditions de Gauss donne de tout point objet une image ponctuelle approchée Un point B du plan de front passant par A a son image B dans le plan de front passant par A III) oyers objets et image On appelle foyer principal objet le point dont l image est située à l infini dans la direction de l axe optique. De les rayons issus donnent des émergents tous parallèles à l axe optique On appelle foyer image principal l image du point objet situé à l infini dans la direction de l axe optique. Les rayons incidents parallèles à l axe optique donnent des rayons émergents qui passent tous par On a vu que tout rayon qui passe par O n est pas dévié cela donne envie de faire de la droite qui le porte un axe optique dit secondaire : Les points du plan focal image sont des foyers images secondaires s. l axe optique secondaire passe par S et le centre O du système optique et on a la règle de construction tout rayon qui arrive // à l axe optique secondaire ressort par le foyer secondaire image in du cours du mercredi er octobre
IV) Lentilles minces CV et DV ) Lentilles CV oyer image Lentille Convergente v=+ Un rayon qui passe par le centre n est pas dévié oyer objet oyer secondaire image oyer secondaire objet Détermination du rayon incident Par foyer secondaire objet Connaissant l émergeant 5
Détermination du rayon incident par foyer secondaire image connaissant l émergeant Construction de l image d un objet étendu : OR IR Construction de l image d un objet étendu : OR IV Observation au viseur Source dépoli Construction de l image d un objet étendu OV IR Construction de l image d un objet étendu OV IR encore 6
) Lentille Divergente Un rayon qui passe par le centre n est pas dévié oyer image oyer objet oyer secondaire image 5 S oyer secondaire objet 5 S 7
Détermination du rayon incident par foyer secondaire objet connaissant l émergeant S 5 Détermination du rayon incident par foyer secondaire image connaisant l émergeant 5 S 8
Détermination de l image d un objet étendu lentille Divergente v=- OR IV On place l objet loin OR IV On place l objet près de OV IR L objet virtuel est réalisé avec une v=+8 OV IV Avec le viseur on vise la monture de la lentille On ne voit qu un tout petit bout du 9
) Détermination de la formule de conjugaison avec origine au centre H K I O J -p p tan = OH/ IO = K/ O soit OH/-p = = K /f soit f /-p = K / OH tan = K/J= OH/ OJ soit K/( p -f )= OH/ p soit K/OH=( p -f )/p on en déduit : qui se simplifie en : f /-p = - f /p /p - /p = /f ) Détermination de la formule de grandissement B H A A O K B -p p tan = AB/-p = B A /p = A B /AB = p /p 0
5) Détermination de la formule de conjugaison avec origine aux foyers formules de conjugaison pour les lentilles minces sphériques f=o f ' O ' f ' f lentille convergente f'>0 lentille divergente f'<0 vergence v= f' unité : dioptrie m symb ole formule de Newton A.'A'=O. O'=ff'=-f'² formule de Descartes avec origine au centre de la lentille soit OA' OA O ' p ' p f ' A' B ' O ' A' f ' A' OA' p ' grandissement AB A ' O A f ' OA p Pour démontrer ces formules à partir des schémas on aura intérêt à choisir des rayons qui construisent des triangles dont les bases sont les quantités qui nous intéressent Doublet accolé ; la vergence équivalente est la somme des vergences. Le démontrer. 6) Méthode de Bessel très important! Pour une distance D suffisante entre objet source et écran il existe deux positions de la lentille qui forment l image de l objet sur l écran, c est à dire qui conjuguent les positions de la source et de l écran. Démontrons le : On doit avoir : D = -p + p p ' p f ' soit p²+pd+df = 0 Le discriminant de cette équation =D²-Df n est positif que si f <D/ ce qui est la condition annoncée pour qu il existe des solutions ; alors ces solutions correspondent à D D² Df ' p D D² Df ' D D² Df ' soit p et -p soient deux solutions symétriques autour du point milieu entre la source et l écran -p (D²-Df )/ D/ D/
-p (D²-Df )/ D/ D/ Entre les deux positions de la lentille qui forment l image on a une distance a que l on mesure. Le calcul precedent montre que a= (D²-Df ) Soit que f' = D²-a² ce qui fournit une méthode expérimentale pour mesurer f D Il faut donc que D f Remarque une des positions correspond à une image agrandie l autre à une image rapetissée 7) aberrations géométriques et chromatiques si la vergence est supérieure à 00 les rayon sont trop inclinés par rapport à l axe optique et on sort de l approximation de Gauss on a des aberrations
Coma : pour une étoile loin de l axe optique Cette aberration limite le champ