VII ALGÈBRE LINÉAIRE

CHAPITRE VII ALGÈBRE LINÉAIRE Sommaire A Espaces vectoriels............................................ 2 A.1 Définition des espaces vectoriels................................ 3 A.2 Définition des sous-espaces vectoriels et exemples fondamentaux............ 6 A.3 Propriétés des sous-espaces vectoriels............................ 9 B Familles de vecteurs et dimension d un espace vectoriel..................... 11 B.1 Familles génératrices et famille libres............................. 11 B.2 Espaces vectoriels de dimension finie............................. 16 C Somme de sous-espaces vectoriels.................................. 22 C.1 Somme de deux sous-espaces vectoriels........................... 22 C.2 Dimension d une somme de deux sous-espaces vectoriels................. 25 C.3 Existence d un supplémentaire en dimension finie..................... 27 C.4 Somme de k sous-espaces vectoriels............................. 28 Exercices.................................................... 30

2 Chapitre VII - Algèbre linéaire Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C. A - Espaces vectoriels La notion de vecteur est essentielle dans les programmes de géométrie du secondaire, que ce soit dans le plan ou dans l espace. La notion d espace vectoriel va être l occasion de formaliser cette notion de façon plus abstraite donc plus générale. Avant toute chose rappelons brièvement les opérations usuelles sur les vecteurs (du plan ou de l espace). La première de ces opérations est l addition de deux vecteurs. Si # u et # v sont deux vecteurs quelconques, alors on commence par choisir deux points A et B tels que # u = AB. # On appelle ensuite C l unique point tel que BC # = # v. Le vecteur somme # u + # v est alors par définition le vecteur AC. # A u B v u + v C La seconde opération est la multiplication d un vecteur par un scalaire i.e. par un nombre réel. Si # u est un vecteur quelconque et que λ est un nombre réel, alors on commence par choisir deux points A et B tels que # # u = AB. Si λ est positif, alors on appelle C l unique point de la demi-droite [A,B) tel que AC = λab. Dans le cas où λ est négatif, on appelle C l unique point de l autre demi-droite issue de A tel que AC = λ AB. Le vecteur λ # u est alors par définition le vecteur AC. # A u B λ u C Bien évidemment les définitions précédentes ne dépendent pas du représentant # AB choisi pour # u. Ces deux opérations vérifient un certain nombre de propriétés dont nous allons faire une définition générale. 2017-2018 Sébastien PELLERIN

A - Espaces vectoriels 3 A.1 - Définition des espaces vectoriels Définition 1 Soit E un ensemble muni d une opération : appelée addition vérifiant : i. (x, y) E 2, x + y = y + x (commutativité) ; + : E 2 E, (x, y) x + y, ii. (x, y, z) E 3, (x + y) + z = x + (y + z) (associativité); iii. il existe un (unique) élément noté 0 E de E tel que, pour tout x E, x + 0 E = x (on dit que 0 E est l élément neutre de l addition); iv. pour tout x E, il existe un (unique) élément y E tel que x + y = 0 E (on dit que y est l opposé de x et est noté x) ; et d une opération : vérifiant : i. x E, 1 x = x ; ii. α K, (x, y) E 2, α (x + y) = α x + α y ; iii. (α,β) K 2, x E, (α + β) x = α x + β x ; iv. (α,β) K 2, x E, α (β x) = (αβ) x. : K E E, (α, x) α x, On dit que (E,+, ) est un K-espace vectoriel ou un espace vectoriel (e.v.) sur K. Les éléments de E sont appelés vecteurs. Les éléments de K sont appelés scalaires. Exemples 1 L ensemble # P des vecteurs du plan est un R-espace vectoriel. 2 L ensemble # E des vecteurs de l espace est un R-espace vectoriel. 3 L ensemble F (R,R) des fonctions de R vers R est un R-espace vectoriel pour les lois données par : x R, (f g )(x) = f (x) + g (x) et α R, (α f )(x) = αf (x). 4 L ensemble R n des n-uplets de réels est un R-espace vectoriel pour les lois données par : (x 1, x 2,..., x n ) + (x 1, x 2,..., x n ) = (x 1 + x 1, x 2 + x 2,..., x n + x n ) et α (x 1, x 2,..., x n ) = (αx 1,αx 2,...,αx n ). En particulier R est un R-espace vectoriel. 5 De même, C n et C sont des C-espaces vectoriels. 6 L ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K est un K-espace vectoriel pour l addition des polynômes et la loi externe donnée par : ( n α a k X k) = k=0 n (αa k )X k. 7 L ensemble M n,p (K) des matrices à n lignes, p colonnes et à coefficients dans K est un K-espace vectoriel pour les lois données par : = ( ) αa i,j 1 i n. ( ai,j ) 1 i n 1 j p + ( b i,j ) 1 i n 1 j p k=0 = ( a i,j + b i,j ) 1 i n 1 j p et α (a i,j ) 1 i n 1 j p 1 j p Sébastien PELLERIN 2017-2018

4 Chapitre VII - Algèbre linéaire 8 Soit (E,+, ) et (F,+, ) deux espaces vectoriels. On définit sur le produit cartésien E F les opérations suivantes : ( (x, y),(x, y ) ) (E F) 2, (x, y) + (x, y ) = (x+x, y+y ) (x, y) E F, λ K, λ.(x, y) = (λ x,λ y) On montre alors facilement que ces opérations font de E F un espace vectoriel (appelé espace vectoriel produit). On peut définir de même le produit E 1 E 2 E n d une famille de k espaces vectoriels E 1,E 2,...,E n, les opérations se faisant «composante par composante». Par exemple, pour tout entier n 2, l ensemble K n des n-uplets de scalaires est un espace vectoriel. Notons la propriété élémentaire (mais fondamentale) suivante : Lemme 1 Soit E un K-espace vectoriel, λ K et x E, alors : λ x = 0 E λ = 0 K ou x = 0 E. Tout d abord, on montre que pour tout y E, on a : y + y = y y = 0 E. Si y = 0 E alors il s agit de l élément neutre pour l addition donc y + y = y + 0 E = y. Réciproquement : ( y) + (y + y) = ( ( y) + y ) + y (associativité) = 0 E + y (définition de l opposé de y) = y (définition de 0 E et commutativité), et d autre part : ( y) + (y + y) = ( y) + y (par l hypothèse y + y = y) = 0 E (définition de l opposé de y). On a donc y = 0 E. On revient à l équivalence initiale. Si λ = 0 K alors l une des propriétés d un e.v. donne : ( 0K.x ) + ( 0 K.x ) = ( ) ( 0 K + 0 K.x i.e. 0K.x ) + ( 0 K.x ) = 0 K.x, et la remarque préliminaire donne 0 K.x = 0 E. Par ailleurs, si x = 0 E alors l une des propriétés d un e.v. donne : ( λ.0e ) + ( λ.0e ) = λ ( 0E + 0 E ) i.e. ( λ.0e ) + ( λ.0e ) = λ.0e et le même argument donne λ.0 E = 0 E. 2017-2018 Sébastien PELLERIN

A - Espaces vectoriels 5 On suppose que λ.x = 0 E avec λ 0 K. Puisque K est R ou C, on peut considérer l inverse 1 λ de λ alors : et d autre part : d où x = 0 E. 1 ( 1 ) λ.(λ.x) = λ λ.x = 1 K.x = x, 1 λ.(λ.x) = 1 λ.0 E = 0 E, Exercice C-123 Montrer que : 1. pour tout x E, on a : x = ( 1 K ) x ; 2. pour tous (x, y) E 2 et λ K, on a : λ (x y) = λ x λ y ; 3. pour tous x E et (λ,µ) K 2, on a : (λ µ) x = λ x µ x ; 4. pour tous x E et λ K, on a : ( λ) ( x) = λ x. Sébastien PELLERIN 2017-2018

6 Chapitre VII - Algèbre linéaire A.2 - Définition des sous-espaces vectoriels et exemples fondamentaux Dans toute la section, E désigne un K-espace vectoriel. Définition 2 Soit F une partie de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E (s.e.v.) lorsque F est non vide et : λ K, (x, y) F 2, x + y F et λ x F, ce qui équivaut à : λ K, (x, y) F 2, λ x + y F. Cela revient à dire qu un s.e.v. de E est une partie non vide de E, stable pour + et. Exemples 1 L ensemble C (R,R) des fonctions continues de R vers R est un s.e.v. de F (R,R). 2 L ensemble D(R,R) des fonctions dérivables de R vers R est un s.e.v. de C (R,R). 3 L ensemble R 2 [X] des polynômes de degré au plus 2 est un s.e.v. de R[X]. 4 De façon plus générale, l ensemble K n [X] des polynômes, à coefficients dans K, de degré au plus n est un s.e.v. de K[X]. 2017-2018 Sébastien PELLERIN

A - Espaces vectoriels 7 5 Soit E = R 3 et F = { (x, y, z) R 3 ; x + z = 0 }. 6 Soit E = R 3 et F = { (x, y, z) R 3 ; x z }. 7 Soit E = F (R,R) et F = {f E; f (0) = 2}. Exercice C-124 On se place dans le R-espace vectoriel M 2 (R). 1. On dit qu une matrice A de M 2 (R) est symétrique lorsque t A = A. Montrer que l ensemble S 2 (R) des matrices symétriques est un s.e.v. de M 2 (R). 2. On dit qu une matrice A de M 2 (R) est antisymétrique lorsque t A = A. Montrer que l ensemble A 2 (R) des matrices antisymétriques est un s.e.v. de M 2 (K). Cet exercice se généralise sans peine dans M n (K) avec n 2. Définition 3 1. Les ensembles {0 E } et E sont les sous-espaces vectoriels triviaux de E. 2. Soit u E \ {0 E }, on pose D u = {x E ; λ K/x = λ u}. Alors D u est un s.e.v. de E appelé la droite vectorielle engendrée par u (ou de vecteur directeur u). 3. Soit (u 1,...,u k ) E k, on pose F = { k λ i u i ; (λ 1,...,λ k ) K k}. i=1 Alors F est un s.e.v. de E appelé le sous-espace vectoriel engendré par (u 1,...,u k ) ; on note : F = Vect(u 1,...,u k ). Sébastien PELLERIN 2017-2018

8 Chapitre VII - Algèbre linéaire Exemples 1 Avec les notations ci-dessus, on a D u = Vect(u). 2 Dans E = R 3, on pose u = (1,1,0) et v = (1,0,1) alors : 3 Dans E = M 2 (R), on a : D I2 = 4 Dans E = M 2 (R), on note S 2 (R) le s.e.v. des matrices symétriques alors : 5 Dans E = # P, si # u # 0 alors D # u est l ensemble des vecteurs colinéaires à # u. 6 Dans R[X], on a : R 2 [X] = Vect(1,X,X 2 ). 2017-2018 Sébastien PELLERIN

A - Espaces vectoriels 9 A.3 - Propriétés des sous-espaces vectoriels Dans toute la section, E désigne un K-espace vectoriel. A.3.1 - Intersection de sous-espaces vectoriels Proposition 2 Si (F i ) i I est une famille de sous-espaces vectoriels de E alors i I F i est un sous-espace vectoriel de E. Remarques 1 En particulier, si F 1 et F 2 sont deux sous-espaces vectoriels de E alors F 1 F 2 est un sous-espace vectoriel de E. 2 On n a pas de résultat analogue pour la réunion. Plus précisément, si F 1 et F 2 sont deux sous-espaces vectoriels de E alors : F 1 F 2 est un s.e.v. de E F 1 F 2 ou F 2 F 1. Sébastien PELLERIN 2017-2018

10 Chapitre VII - Algèbre linéaire A.3.2 - Sous-espace vectoriel engendré par une partie On a vu précédemment ce qu était le sous-espace engendré par un vecteur (c est une droite vectorielle) ou par un nombre fini de vecteurs. On généralise ici cette notion. Définition 4 On appelle sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E, et on note Vect(A), l intersection de tous les s.e.v. de E contenant A. Remarques 1 Vect(A) est un s.e.v. de E. 2 Vect(A) est le plus petit (au sens de l inclusion) s.e.v. de E contenant A i.e. pour tout s.e.v. F de E contenant A on a Vect(A) F. 3 Comme dans le cas où A ne comporte qu un nombre fini d éléments, Vect(A) est l ensemble des combinaisons linéaires des familles de vecteurs de A i.e. Vect(A) = { x E ; k N, (a 1,..., a k ) A k, (λ 1,...,λ k ) K k / x = λ 1.a k +... + λ k.a k }. En effet, notons F l ensemble de droite. Alors F est clairement non vide et stable par combinaison linéaire de deux vecteurs donc c est un s.e.v. de E. De plus, F contient A puisque tout a A peut s écrire comme la combinaison 1 K.a donc F contient le plus petit des s.e.v. contenant A i.e. Vect(A) F. Par ailleurs, toute combinaison linéaire de vecteurs de A est une combinaison linéaire de vecteurs de Vect(A) donc appartient à Vect(A) (puisque c est un s.e.v.) ce qui prouve que F Vect(A) d où l égalité. 4 Vect( ) = {0 E } 5 Si A et B sont deux parties de E telles que A B alors Vect(A) Vect(B). 6 A est un s.e.v. de E si et seulement si Vect(A) = A. 2017-2018 Sébastien PELLERIN

B - Familles de vecteurs et dimension d un espace vectoriel 11 B - Familles de vecteurs et dimension d un espace vectoriel Dans toute cette section, (E,+, ) désigne un K-espace vectoriel. B.1 - Familles génératrices et famille libres B.1.1 - Définitions et exemples On rappelle que si x 1,..., x n sont des vecteurs de E alors une combinaison linéaire des vecteurs x 1,..., x n est un vecteur de la forme : n λ 1 x 1 + + λ n x n = λ i x i avec λ i K pour tout i 1,n. Définition 5 i=1 Soit x 1,..., x k des vecteurs de E et F un sous-espace vectoriel de E. On dit que (x 1,..., x k ) est une famille génératrice de F lorsque F = Vect(x 1,..., x k ) i.e. : x F, (λ 1,...,λ k ) K k /x = λ 1.x 1 + λ 2.x 2 + + λ k.x k. Exemples 1 Considérons D u = {λ u;λ K} = Vect(u) alors (u) est une famille génératrice de D u. Plus généralement, si D est une droite vectorielle et si x D \ {0 E } alors (x) est une famille génératrice de D. 2 Dans E = R 2, on pose e 1 = (1,0) et e 2 = (0,1). 3 Dans K n [X], une famille génératrice est {1,X,X 2,...,X n } puisque tout élément de K n [X] s écrit : 4 Dans M 2 (R), toute matrice s écrit : λ 0 1 + λ 1 X + λ 2 X 2 + + λ n X n. 5 Plus généralement, dans M n,p (K), une famille génératrice est constituée par la famille des matrices E i,j, pour i 1,n et j 1, p, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui à la place (i, j ) qui vaut 1. n p En effet, considérons A M n (K), on note A = (a i,j ) 1 i n alors : A = a i,j E i,j. 1 j p i=1 j =1 Sébastien PELLERIN 2017-2018

12 Chapitre VII - Algèbre linéaire Exercice C-125 Dans M 2 (R), trouver une famille génératrice de S 2 (R) et une famille génératrice de A 2 (R). Dans M 3 (R), trouver une famille génératrice de S 3 (R) et une famille génératrice de A 3 (R). Définition 6 Soit x 1,..., x k des vecteurs de E. 1. On dit que (x 1,..., x k ) est une famille libre lorsque : ) (λ 1,...,λ k ) K k, (λ 1.x 1 + λ 2.x 2 + + λ k.x k = 0 E λ 1 = = λ k = 0 K. On dit aussi que x 1,..., x k sont linéairement indépendants. 2. Si (x 1,..., x k ) n est pas libre alors on dit que (x 1,..., x k ) est une famille liée. Cela signifie que l on peut écrire une combinaison linéaire nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls i.e. λ 1.x 1 +... + λ k.x k = 0 E avec (λ 1,...,λ k ) (0,...,0). Exemples 1 Soit E = R 3, on pose X = (1,1,0), Y = (1,0,0) et Z = (2,1,0). 2 Dans E = F (R,R), on considère les deux fonctions f : R R x f (x) = e x et g : R R x g (x) = e 2x. 3 Dans le R-espace vectoriel C, la famille (1,i) est libre puisque : 2017-2018 Sébastien PELLERIN

B - Familles de vecteurs et dimension d un espace vectoriel 13 4 Dans R[X], la famille (X,X 2,X 7 ) est libre. 5 Dans R[X], la famille (1,2X,X 3) est liée. Exercice C-126 Soit E un K-espace vectoriel et (a 1, a 2,..., a n ) une famille libre de E. Pour tout k 1,n 1, on pose b k = a k a n. Montrer que (b 1,...,b n 1 ) est également une famille libre de E. De façon générale, on parle de famille de vecteurs ou de système de vecteurs lorsque l on donne une énumération d un nombre fini de vecteurs de E (avec répétition possible d un même vecteur). Remarques 1 Une famille contenant 0 E est toujours liée. En effet, il suffit que le scalaire devant 0 E soit non nul et que tous les autres soient nuls. 2 Une famille contenant deux fois le même vecteur est toujours liée. En effet, il suffit d écrire : 1.x + ( 1).x + 0 K.( ) = 0 E. 3 Si x 0 E alors la famille (x) est libre. 4 Deux vecteurs forment une famille liée si et seulement s ils sont colinéaires. On retiendra donc le résultat suivant très utile en pratique : x et y ne sont pas colinéaires la famille (x, y) est libre. Sébastien PELLERIN 2017-2018

14 Chapitre VII - Algèbre linéaire B.1.2 - Propriétés des familles génératrice et libres On dit que G est une sous-famille de F = (x 1,..., x n ) si G = (x i1,..., x ip ) avec i 1 <... < i p dans 1,n. Par exemple, la famille (x 1, x 4, x 5 ) est une sous-famille de (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ). Les trois indices de la définition sont ici i 1 = 1, i 2 = 4 et i 3 = 5. De même, on dit que H est une sur-famille de F si F est une sous-famille de H. Par convention, la famille vide est une sous-famille de n importe quelle famille de vecteurs. Notons que l on écrit souvent G F ou on dit que «F contient G» pour dire que G est une sous-famille de F bien qu il ne s agisse pas d une inclusion d ensembles. Remarques 1 Si G est une sous-famille de F alors toute combinaison linéaire de G est aussi une combinaison linéaire de F (il suffit de mettre 0 K devant les vecteurs qui ne sont pas dans G ). 2 Si G est une famille obtenue à partir de F en permutant les vecteurs, alors les combinaisons linéaires de F et de G sont exactement les mêmes (d après la commutativité de l addition). 3 Une sous-famille d une famille libre est libre ; une sur-famille d une famille liée est liée. 4 Une sur-famille d une famille génératrice est génératrice; une sous-famille d une famille qui n est pas génératrice n est pas génératrice. Proposition 3 (ajout d un vecteur à une famille libre) Soit (x 1,..., x k ) une famille libre et x E alors : (x 1,..., x k, x) est liée (λ 1,...,λ k ) K k /x = λ 1.x 1 + + λ k.x k x Vect(x 1,..., x k ) Proposition 4 (redondance d un vecteur dans une famille génératrice) Soit (e 1,...,e k ) une famille génératrice de E, on suppose que l on peut écrire : e i = λ 1 e 1 + + λ i 1 e i 1 + λ i+1 e i+1 + + λ k e k alors la famille (e 1,...,e i 1,e i+1,...,e k ) est génératrice. Ce dernier résultat signifie que, si dans une famille génératrice certains vecteurs s expriment en fonction des autres alors on peut les retirer et la famille obtenue est toujours génératrice. 2017-2018 Sébastien PELLERIN

B - Familles de vecteurs et dimension d un espace vectoriel 15 Sébastien PELLERIN 2017-2018

16 Chapitre VII - Algèbre linéaire B.2 - Espaces vectoriels de dimension finie B.2.1 - Bases et dimension Définition 7 1. On dit que E est un espace vectoriel de dimension finie lorsqu il existe e 1,...,e k tels que E = Vect(e 1,...,e k ). 2. On dit qu une famille de vecteurs de E est une base de E lorsque c est à la fois une famille libre et une famille génératrice de E. Ainsi, E est de dimension finie lorsque E admet une famille génératrice (ne contenant qu un nombre fini de vecteurs). Exemples 1 Les familles ( (1,0),(0,1) ) et ( (1,0),(1,1) ) sont deux bases de R 2. 2 Une base du R-espace vectoriel C est (1,i). 3 Une base de K n [X] est (1,X,X 2,...,X n ). Le résultat suivant est fondamental : Théorème 5 Si (e 1,...,e k ) est une base de E alors tout x s écrit de façon unique comme une combinaison linéaire de e 1,...,e k i.e. : x E,!(λ 1,...,λ k ) K k / x = λ 1.e 1 + λ 2.e 2 + + λ k.e k. L existence vient du fait qu une base est une famille génératrice. Pour l unicité, on écrit x = λ 1.e 1 + λ 2.e 2 + + λ k.e k = µ 1.e 1 + µ 2.e 2 + + µ k.e k d où (λ 1 µ 1 ).e 1 + (λ 2 µ 2 ).e 2 + + (λ k µ k ).e k = 0 E or une base est une famille libre donc tous les coefficients sont nuls i.e. on a λ i = µ i pour tout i 1,k. 2017-2018 Sébastien PELLERIN

B - Familles de vecteurs et dimension d un espace vectoriel 17 Théorème 6 Tout espace vectoriel, distinct de {0 E }, de dimension finie admet au moins une base. Proposition 7 (lemme d échange de Steinitz) Si n + 1 vecteurs sont combinaisons linéaires de n vecteurs alors ils forment une famille liée i.e. e 1 Vect(f 1,..., f n ). = (e 1,...,e n+1 ) liée. e n+1 Vect(f 1,..., f n ) Sébastien PELLERIN 2017-2018

18 Chapitre VII - Algèbre linéaire Lemme 8 Si (e 1,...,e k ) est une famille libre de E et si (f 1,..., f m ) est une famille génératrice de E alors k m. Autrement dit, une famille libre contient moins d éléments qu une famille génératrice. Théorème et définition 9 Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d éléments. Ce nombre est appelé la dimension de E et est noté dim K (E). Remarques 1 Lorsqu il n y a pas d ambiguïté, on note plus simplement dim(e). 2 Par convention, si E = {0 E } alors dim(e) = 0. 3 En pratique, quand on cherche la dimension d un espace vectoriel, il suffit d en trouver une base et de compter ses éléments. Exemples 1 Une base de R 2 est constituée des vecteurs e 1 = (1,0) et e 2 = (0,1) donc dim R (R 2 ) = 2. 2 Puisque tout nombre complexe z s écrit z = a + i b = a.1 + b.i pour un unique couple (a,b) R 2, une base du R-e.v. C est constituée par les vecteurs e 1 = 1 et e 2 = i donc dim R (C) = 2. 3 (1 K ) est une base de K donc dim R (R) = 1 et dim C (C) = 1. 4 Soit u non nul, la droite vectorielle D u = {λ u;λ K} admet (u) pour base donc dim K (D u ) = 1. 5 Une base de K n [X] est (1,X,X 2,...,X n ) donc dim K (K n [X]) = n + 1. 6 Une base de M 2 (R) est constituée par les matrices : ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0,, 0 0 0 0 1 0 donc dimm 2 (R) = 4 = 2 2. et ( ) 0 0 0 1 7 De façon générale, une base de M n,p (K) est constituée par les matrices E i,j (dont le seul coefficient non nul est celui à la place (i, j ) qui vaut 1) pour i 1,n et j 1, p donc dim K M n,p (K) = np. 8 En particulier, dimm n (K) = n 2. 2017-2018 Sébastien PELLERIN

B - Familles de vecteurs et dimension d un espace vectoriel 19 Théorème 10 Si dim(e) = n alors on a l équivalence : (e 1,e 2,...,e n ) famille libre (e 1,e 2,...,e n ) famille génératrice. Ainsi, si on travaille dans un e.v. de dimension finie dont on connaît la dimension n et si l on considère une famille de n vecteurs alors pour montrer que c est une base, il suffit de montrer soit que c est une famille libre, soit que c est une famille génératrice. Exercice C-127 On considère n + 1 polynômes P 0,...,P n de K n [X] vérifiant degp k = k. Montrer que (P 0,P 1,...,P n ) est une base de K n [X]. Plus précisément, on montre que si P 0,...,P n sont des polynômes de K[X] vérifiant : alors la famille (P 0,P 1,...,P n ) est libre. degp 0 < degp 1 < < degp n 1 < degp n Sébastien PELLERIN 2017-2018

20 Chapitre VII - Algèbre linéaire B.2.2 - Propriétés liées aux bases et à la dimension Théorème 11 On suppose que E est de dimension finie et que F et G sont deux s.e.v. de E, alors : dimf dime et F G dimf = dimg } = F = G. Remarque Si dimf = dimg alors on n a pas forcément F = G. En effet, dans R 2 par exemple, il suffit de considérer les droites vectorielles F = D (1,0) et G = D (0,1). Exercice C-128 Dans l espace vectoriel R 3, on considère les vecteurs : u = (1,2,3), v = (2, 1,1), a = (1,0,1) et b = (0,1,1). Montrer que : Vect(u, v) = Vect(a,b). 2017-2018 Sébastien PELLERIN

B - Familles de vecteurs et dimension d un espace vectoriel 21 Théorème 12 (de la base incomplète) On suppose que E est de dimension finie n et on considère une famille libre (e 1,...,e k ) de E. Alors il existe n k vecteurs e k+1,...,e n tels que (e 1,...,e k,e k+1,...,e n ) soit une base de E. Autrement dit, tout famille libre peut être complétée en une base de l espace. Sébastien PELLERIN 2017-2018

22 Chapitre VII - Algèbre linéaire C - Somme de sous-espaces vectoriels C.1 - Somme de deux sous-espaces vectoriels On considère un K-espace vectoriel E. Théorème 13 Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E, alors : F + G = {x + y;(x, y) F G} est un s.e.v. de E. Exercice C-129 Soit F, G et H des sous-espaces vectoriels de E. 1. Montrer que F F + G et G F + G. 2. Montrer que si F H et G H alors F + G H. 3. Montrer que si G H alors F + G F + H. Définition 8 Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E. 1. On dit que F et G sont en somme directe lorsque F G = {0 E }. On note alors F + G = F G. 2. On dit que F et G sont supplémentaires lorsque E = F G. Théorème 14 Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Les assertions suivantes sont équivalentes : i. F et G sont supplémentaires; ii. F G = {0 E } et : x E, (a,b) F G/x = a + b ; iii. x E,!(a,b) F G/x = a + b. 2017-2018 Sébastien PELLERIN

C - Somme de sous-espaces vectoriels 23 Exemples 1 Dans l e.v. E = R 2, on considère les vecteurs u = (1,0) et v = (1,1), on pose F = Vect(u) et G = Vect(v). Sébastien PELLERIN 2017-2018

24 Chapitre VII - Algèbre linéaire 2 Montrons que M 3 (R) = S 3 (R) A 3 (R). Exercice C-130 Dans l espace F (R, R), on note P l ensemble des fonctions paires et I l ensemble des fonctions impaires. 1. Montrer que P et I sont deux sous-espaces vectoriels de F (R,R). 2. Montrer que l intersection P I est réduite à la fonction nulle. 3. Montrer que toute fonction peut s écrire comme la somme d une fonction paire et d une fonction impaire. En déduire que P I = F (R,R). 2017-2018 Sébastien PELLERIN

C - Somme de sous-espaces vectoriels 25 C.2 - Dimension d une somme de deux sous-espaces vectoriels Proposition 15 (Théorème de Grassmann) Soit F et G deux s.e.v. d un e.v. de dimension finie E, alors : dim(f + G) = dimf + dimg dim(f G). HERMANN GRASSMANN Sébastien PELLERIN 2017-2018

26 Chapitre VII - Algèbre linéaire Exercice C-131 Dans R 4, on pose F = Vect(u, v, w) et G = Vect(x, y) avec : u = (0,1, 1,0), v = (1,0,1,0), w = (1,1,1,1), x = (0,0,1,0) et y = (1,1,0, 1). Quelles sont les dimensions de F, G, F + G et F G? Corollaire 16 On suppose que E est de dimension finie. 1. Soit F et G deux s.e.v. de E tels que F G = {0 E }, alors : dim(f G) = dimf + dimg. 2. Soit F et G deux s.e.v. de E, alors : E = F G { dime = dimf + dimg F G = {0 E }. Exemple Dans M n (R), on note S n (R) le s.e.v. des matrices symétriques et A n (R) celui des matrices antisymétriques. Exercice C-132 Dans l espace vectoriel R 4, on considère les parties suivantes : F = Vect ( (1,2,1,3),(2,0,0,1) ) et G = { (x, y, z, t) R 4 ; 2x + y + z = 0 et x = y }. 1. Montrer que F et G sont des s.e.v. de R 4. 2. Déterminer une base et la dimension de F et G. 3. Montrer que F et G sont supplémentaires dans R 4. 2017-2018 Sébastien PELLERIN

C - Somme de sous-espaces vectoriels 27 C.3 - Existence d un supplémentaire en dimension finie Théorème 17 Soit F un s.e.v. d un e.v. de dimension finie E. Alors il existe au moins un s.e.v. G de E tel que E = F G. On dit que G est un sous-espace vectoriel supplémentaire de F. Exemple Dans E = R 3, on pose F = { (x, y, z) R 3 ; x + y = 0 }. Montrons que F est un s.e.v. de E puis déterminons-en un supplémentaire. Sébastien PELLERIN 2017-2018

28 Chapitre VII - Algèbre linéaire C.4 - Somme de k sous-espaces vectoriels On considère un K-espace vectoriel E. On généralise la notion de somme de sous-espaces vectoriels au cas de k 2 sous-espaces F 1,...,F k de E : F 1 + + F k = {x 1 + + x k ; i 1,k, x i F i }. Il s agit d un sous-espace vectoriel de E. Autrement dit, un vecteur x de E est dans F 1 + + F k lorsqu il existe x 1 F 1,..., x k F k tels que : x = x 1 + + x k. Proposition et définition 18 Soit F 1,...,F k des sous-espaces vectoriels de E. Il y a équivalence entre : i. pour tout x F 1 + + F k, il existe un unique (x 1,..., x k ) F 1 F k tel que x = x 1 + + x k ; ii. pour tout (f 1,..., f k ) F 1 F k, on a : f 1 + + f k = 0 E = f 1 = = f k = 0 E ; iii. l union d une base de F 1, d une base de F 2,..., et d une base de F k, donne une base de F 1 + + F k. Dans ce cas, on dit que F 1,...,F k sont en somme directe et on note : F 1 + + F k = F 1 F k i.e. k k F i = F i. i=1 i=1 2017-2018 Sébastien PELLERIN

C - Somme de sous-espaces vectoriels 29 Corollaire 19 Soit F 1,...,F k des sous-espaces vectoriels de E en somme directe, on a : ( k ) k dim F i = dim(f i ). i=1 i=1 Corollaire 20 Soit F 1,...,F k des sous-espaces vectoriels de E. Pour tout i 1,k, on note B i une base de F i, alors : k E = F i B 1 B k base de E. i=1 k On dit alors que B 1 B k est une base adaptée à la somme directe E = F i. i=1 Exercice C-133 (Oral HEC 2013) Notons E = R 3 [X], F = {P E ; P(0) = P(1) = P(2) = 0}, G = {P E ; P(1) = P(2) = P(3) = 0} et H = {P E ; P(X) = P( X)}. Montrer que : E = F G H. Sébastien PELLERIN 2017-2018

30 Chapitre VII - Algèbre linéaire Exercices Exercice C-134 Les sous-ensembles suivants de R 2 sont-ils des sousespaces vectoriels de R 2? Si c est le cas, donner une famille de vecteurs qui engendre le sous-espace. 1. E 1 = { (x, y) R 2 ; 2x + 3y = 0 } 2. E 2 = { (x, y) R 2 ; y = 0 } 3. E 3 = { (x, y) R 2 ; x 2 = x y } 4. E 4 = { (x, y) R 2 ; x y 0 } 5. E 5 = { (x, y) R 2 ; x y = 0 } 6. E 6 = { (x, y) R 2 ; x = y } 7. E 7 = { (x, y) R 2 ; x + y = 1 } 8. E 8 = { (x, y) R 2 ; x + y = 0 } Exercice C-135 Les sous-ensembles suivants de R 3 sont-ils des sousespaces vectoriels de R 3? Si c est le cas, donner une famille de vecteurs qui engendre le sous-espace. 1. E 1 = { (x, y, z) R 3 ; x + y + z = 0 } 2. E 2 = { (x, y, z) R 3 ; 2x = 3y = z } 3. E 3 = { (x, y, z) R 3 ; x + y + z = 1 } 4. E 4 = { (x, y, z) R 3 ; y z = 0 } 5. E 5 = { (x, y, z) R 3 ; x y +3z = 0 et 2x y +z = 0 } 6. E 6 = { (x, y, z) R 3 ; x y + z = 0 } 7. E 7 = { (x, y, z) R 3 ; x 0 } 8. E 8 = { (x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 1 } Exercice C-137 Les sous-ensembles suivants de l espace vectoriel R N des suites réelles sont-ils des sous-espaces vectoriels de R N? 1. E 1 = { (u n ) R N ; (u n ) monotone } 2. E 2 = { (u n ) R N ; (u n ) convergente } 3. E 3 = { (u n ) R N ; (u n ) bornée } 4. E 4 = { (u n ) R N ; (u n ) arithmétique } 5. E 5 = { (u n ) R N ; lim u n = 0 } n + 6. E 6 = { (u n ) R N ; lim u n = 1 } n + 7. E 7 = { (u n ) R N ; (u n ) nulle à partir d un certain rang } 8. E 8 = { (u n ) R N ; n 0,u n+2 = u n+1 3u n } Exercice C-138 Les sous-ensembles suivants de l espace vectoriel M 3 (R) des matrices carrées d ordre 3 sont-ils des sous-espaces vectoriels de M 3 (R)? 1. L ensemble E 1 des matrices de M 3 (R) triangulaires supérieures. 2. L ensemble E 2 des matrices de M 3 (R) dont les termes diagonaux sont tous nuls. 3. L ensemble E 3 des matrices de M 3 (R) de termes diagonaux tous non nuls. 4. L ensemble E 4 des matrices de M 3 (R) dont la somme des termes diagonaux est nulle. Exercice C-136 Les sous-ensembles suivants de l espace vectoriel F (R,R) des fonctions de R vers R sont-ils des sousespaces vectoriels de F (R,R)? 1. E 1 = { f F (R,R) ; 2f (0) = f (1) } 2. E 2 = { f F (R,R) ; f (0) = f (1) + 1 } 3. E 3 = { f F (R,R) ; x R, f (1 x) = f (x) } 4. E 4 = { f F (R,R) ; f (0) = 0 } 5. E 5 = { f F (R,R) ; f s annule } 6. E 6 = { f F (R,R) ; f croissante } 7. E 7 = { f F (R,R) ; f impaire } 8. E 8 = { f F (R,R) ; lim f (x) = + } x + Exercice C-139 Les sous-ensembles suivants de l espace vectoriel K[X] des polynômes à coefficients dans K sont-ils des sous-espaces vectoriels de K[X]? 1. E 1 = { P K[X] ; degp = 3 } 2. E 2 = { P K[X] ; degp 3 } 3. E 3 = { P K[X] ; P(0) = 1 } 4. E 4 = { P K[X] ; (X 1) divise P } 2017-2018 Sébastien PELLERIN

C - Somme de sous-espaces vectoriels 31 Exercice C-140 Soit E 1, E 2 et E 3 trois sous-ensembles de R 3 définis par : E 1 = {(x, y, z) R 3 ; x + 2y z = 0}, E 2 = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z = 0} et E 3 = {(x, y, z) R 3 ; y = 0}. 1. Montrer que E 1, E 2 et E 3 sont des sev de R 3. 2. Donner une famille génératrice de E 1, de E 2, de E 3, de E 1 E 2, de E 2 E 3, de E 3 E 1 et de E 1 E 2 E 3. Exercice C-141 1. Indiquer si les vecteurs suivants forment une famille libre ou liée de R 3. a. x = (1, 2,1) et y = (2, 3,2) b. x = (0,1, 2), y = ( 1,2,1) et z = (2,3,0) c. x = (1,0,2), y = ( 1,1, 3) et z = ( 1,3, 5) d. x = ( 1,1,2), y = (1,2,3), z = (1,1,1) et t = (0,1,3) 2. Indiquer si les vecteurs suivants forment une famille libre ou liée de R[X]. a. P = X 3 X + 1 et Q = 2X 3 + X 2 + 3 b. P = X 2 + 1, Q = X 2 + X 1 et R = X 2 + X c. P = X 2 +7X+1, Q = 2X 2 X+3 et R = X 2 8X+2 d. P 0,...,P n avec P k = (X + 1) k+1 X k 3. Soit E = R R le R-e.v. des fonctions définies sur R et à valeurs réelles. a. Pour tout x R, on pose f 1 (x) = e x+1, f 2 (x) = e x+2 et f 3 (x) = e x+3. La famille (f 1, f 2, f 3 ) estelle libre dans E? b. Pour tout x R, on pose g 1 (x) = x 1, g 2 (x) = x 2 et g 3 (x) = x 3. La famille (g 1, g 2, g 3 ) est-elle libre dans E? Exercice C-142 Montrer que tout triplet (x, y, z) de R 3 est combinaison linéaire des trois triplets : a = (0,1,1), b = (1,1,0) et c = (1,1,1). Exercice C-143 Dans l espace vectoriel R 4, on pose : F = { (x, y, z, t) R 4 ; x + y + z t = 0 } et G = { (x, y, z, t) R 4 ; x = 2y = 2z = t }. 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R 4 et en donner une base. 2. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de R 4 et en donner une base. 3. Montrer que les sous-espaces vectoriels F et G de R 4 sont supplémentaires. Exercice C-144 1 6 3 On considère la matrice réelle A = 9 2 3. 9 6 11 Pour tout réel λ, on note : { x x E λ = (x, y, z) R 3 ; A y = λ y }. z z 1. Montrer que, pour tout réel λ, E λ est un sousespace vectoriel de R 3. 2. Déterminer une base et la dimension de E 4 et E 8. Exercice C-145 Soit n 2 et : F = {P R n [X] ; P(0) = P (0) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R n [X] puis en déterminer un supplémentaire. Exercice C-146 On pose : et E = { (x 1,..., x n ) R n ; x 1 + + x n = 0 } F = {(x, x,..., x) ; x R}. Montrer que R n = E F. Sébastien PELLERIN 2017-2018