COMPORTEMENT SYSTEMES PREMIER ORDRE 1. APPLICATIONS 1.1 Circuit électrique RC La charge du condensateur étant initialement nulle, on ferme l'interrupteur à t=0. A t>0, on impose une consigne du type u e (t > 0) = U 0. En utilisant la loi des mailles l'équilibre électrique se traduit par l'équation : D où l équation différentielle suivante : Recherche solution particulière de la même forme que l entrée : Recherches conditions intiales : Recherche solution générale sans second membre : Solution complète de l équation différentielle : Consigne ε s Sortie CO_SIII_asserv_1er_ordre.doc J.LETARD J.HERY page 1
1. Comportement d un moteur à courant continu. Considérons un moteur entraînant une charge, en entrée on dispose d'un couple moteur Cm(t) et en sortie une vitesse de rotation ω(t). On note f le coefficient de frottement visqueux et J le moment d'inertie de la charge par rapport à son axe de rotation x. Cm(t) Moteur f J Charge ω(t) x Modélisation du moteur à courant continu Equations régissant le fonctionnement du moteur à courant continu Equations électriques Equations mécaniques (1) () Avec e (t) : force contre électromotrice du moteur (t) : vitesse de rotation du moteur i (t) : intensité dans l'induit du moteur u (t) : tension d'alimentation de l'induit Ke : R : L : constante électrique résistance de l'induit inductance de l'induit (3) (4) Avec Cr (t) : couple résistant appliqué sur le moteur Cm (t) : couple fourni par le moteur f : coefficient de frottement visqueux Kt : constante de couple J : moment d'inertie du moteur Remarque : lorsque Cm est très important devant le couple dû aux pertes on peut dire que Ke = Kt. CO_SIII_asserv_1er_ordre.doc J.LETARD J.HERY page
Souvent l inductance d une bobine est donnée en mh et une résistance en Ω voir kω. Il n est pas rare d avoir un rapport de 1000 ou plus entre les valeurs de la résistance et de l inductance de l induit d un moteur à courant continu on pourra donc parfois négligé l inductance L de celui-ci. En prenant comme hypothèse que le couple résistant n est dû qu au seul frottement visqueux Déterminer la relation entre ω(t) et u(t) pour le moteur ainsi modélisé. 1.3 Comportement Modélisable par 1 premier ordre pour les applications CO_SIII_asserv_1er_ordre.doc J.LETARD J.HERY page 3
1.4 Autre méthode de résolution Fonction Temporelle Transformée de Laplace 1.5 Analyse réponse à un échelon pour le système précédent Transformée de Laplace pour un échelon : Fonction Temporelle Transformée de Laplace Ecehelon 1 p CO_SIII_asserv_1er_ordre.doc J.LETARD J.HERY page 4
. COMPORTEMENT D UN SYSTEME DU PREMIER ORDRE.1 Forme canonique de la fonction de transfert d'un système du 1 er ordre s( t) Avec G : gain statique, G = lim t " e ( t ) τ : constante de temps. Réponse aux entrées types Réponse indicielle d'où et réduction en éléments simples, on trouve et D'où D'où la réponse temporelle Temps de réponse tr5% : Tangente à l'origine G. y( t) = t, coupe la droite G.E0 pour t=τ. Pour t=τ s(t)=g.e0(1-e -1 )=0.63G.E0 Remarque : la réponse à un échelon d'un système du premier ordre présente toujours une erreur statique, sauf si G=1. CO_SIII_asserv_1er_ordre.doc J.LETARD J.HERY page 5
Réponse à une rampe e ( t) = a. t avec a constante positive d'où et réduction en éléments simples, on trouve, et D'où D'où la réponse temporelle Asymptote t " y ( t) = a. G( t " ) G=1 erreur de traînage (dynamique, de poursuite) permanente " d = e( t) # s( t) = at # a( t # ) = a. G 1 le système ne suit pas s' ( t) = a. G( 1" e t " ) tangente horizontale à l'origine CO_SIII_asserv_1er_ordre.doc J.LETARD J.HERY page 6
.3 Premier ordre généralisé Fonction de transfert 1+ 1p H ( p) = G 1+ p Avec G : gain statique τ1,τ: constante de temps Réponse indicielle e ( t) = e0 E( p) = d'où p S( p) E 0 & A B $ + % p 1+ ' # p " t & ( 1 '( ' # ( D'où S ( p) E0$ 1+ e % ( " D'où la réponse temporelle Pour t = 0 s (1 + 1p) S( p) et réduction en éléments simples p(1 + p), on trouve A = 1 et B = 1 " ( '( & t # $ 1 ' $ ( ( t) 1+ e $ $ % ( " 1 s (0) ; pour t " s () t 1 " " 1 " s' ( t) = " G. e ; pour t = 0 s '(0) = " G. Equation de la tangente à l'origine y(t)=s'(0).t+s(0) " 1 1 y ( t) E0 t + G. E0., pour = y ( ) E t 0 CO_SIII_asserv_1er_ordre.doc J.LETARD J.HERY page 7