Lycée Jaufré RUDEL - BLAYE 6 mai 2017 On étend à l'espace ce concept
Approche géométrique du produit scalaire Caractérisation vectorielle de l'orthogonalité Expression analytique du produit scalaire Le produit scalaire Dénition Soient u et v deux vecteurs de l'espace, et A, B et C trois points tels que u = AB et v = P contenant A, B et C. AC. Il existe au moins un plan On appelle produit scalaire de u et v, le produit scalaire AB AC calculé dans le plan P. On a donc : si u et v sont non nuls, u v = AB AC cos ( BAC si u = 0 ou v = 0, le produit scalaire de u et v est nul : 0 v = 0 et u 0 = 0. ) ;
Approche géométrique du produit scalaire Caractérisation vectorielle de l'orthogonalité Expression analytique du produit scalaire Exemple de calcul dans un cube Exemple ABCDEFGH est un cube d'arête a. Notons u = BF et v = AH = BG. u v = BF AH = BF BG ) = BF BG cos ( FBG = a a 2 2 2 = a2
Approche géométrique du produit scalaire Caractérisation vectorielle de l'orthogonalité Expression analytique du produit scalaire Propriétés du produit scalaire Propriétés AB et 1 Si u et v sont deux vecteurs non nuls tels que u = v = AC, alors : u v = AB AC = AB AH = AK AC où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et K le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). 2 Si u, v et w sont trois vecteurs de l'espace et k un nombre réel, alors : u ( v + w) = u v + u w ; u v = v u ; u (k v) = k ( u v)
Approche géométrique du produit scalaire Caractérisation vectorielle de l'orthogonalité Expression analytique du produit scalaire Exemple d'application Exemple ABCDEFGH est un cube d'arête a. Comme, dans le plan (AGC), C est le projeté orthogonal de G sur (AC) : Pour calculer par la somme BF AG = BF AG AC = AC AC = AC 2 = 2a 2 BF AG, on peut remplacer le vecteur AG AB + BG : ( ) AB + BG = BF AB + BF BG = a 2
Approche géométrique du produit scalaire Caractérisation vectorielle de l'orthogonalité Expression analytique du produit scalaire Orthogonalité de vecteurs Dénition Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s'ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace. Propriété Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u v = 0.
Approche géométrique du produit scalaire Caractérisation vectorielle de l'orthogonalité Expression analytique du produit scalaire Expression du produit scalaire Propriété Dans un repère orthonormé (O; i, j, k), si les vecteurs u et v x x ont pour coordonnées respectives y et y, alors : z z u v = xx + yy + zz. En particulier : u u = x 2 + y 2 + z 2 et u = x 2 + y 2 + z 2.
Vecteur normal à un plan Équations cartésiennes de plans Vecteur normal à un plan On rappelle que toutes les droites orthogonales à un plan sont parallèles entre elles : leurs vecteurs directeurs sont alors colinéaires. On en tire : Dénition Un vecteur n non nul est dit orthogonal à un plan P si ce vecteur est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à ce plan. On appelle alors ce vecteur un vecteur normal du plan P. Théorème Une droite d est orthogonale à toute droite d'un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes d 1 et d 2 de ce plan.
Vecteur normal à un plan Équations cartésiennes de plans Caractérisation d'un plan Propriété Si n est un vecteur non nul et A un point de l'espace, alors l'unique plan passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M tels que AM n = 0.
Vecteur normal à un plan Équations cartésiennes de plans Équation cartésienne d'un plan Propriété Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal a n b a une équation de la forme : ax + by + cz + d = 0. c Réciproquement, si (a; b; c) (0; 0; 0), alors l'ensemble E des points M(x; y; z) tels que : a ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal n b c.
Plans perpendiculaires Propriétés Soit d une droite passant par un point A et de vecteur directeur u et P un plan de vecteur normal n. 1 Si u et n ne sont pas orthogonaux, alors la droite d et le plan P sont sécants. 2 Si u et n sont orthogonaux : Si A P, alors d P ; Si A / P, alors d est strictement parallèle à P.
Plans perpendiculaires Si d, P sécants : Si d P : Si d P :
Plans perpendiculaires Propriétés Soient P et P deux plans de vecteurs normaux respectifs n et n. 1 Si n et n sont colinéaires, alors P et P sont parallèles. 2 Si n et n ne sont pas colinéaires, alors P et P sont sécants, et leur intersection est une droite.
Plans perpendiculaires Si P et P sont parallèles : Si P et P sont sécants :
Plans perpendiculaires Caractérisation de l'intersection de deux plans Propriétés On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. 1 Les plans P et P d'équations respectives ax + by + cz + d = 0 et a x + b y + c z + d = 0 sont sécants si et seulement si (a; b; c) n'est pas proportionnel à (a ; b ; c ). 2 Lorsque (a; b; c) n'est pas proportionnel à (a ; b ; c ), l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées (x; y; z) vérient : droite. { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 est une
Plans perpendiculaires Plans perpendiculaires Dénition Deux plans sont dits perpendiculaires si l'un des deux plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan.
Plans perpendiculaires Caractérisation de la perpendicularité de deux plans Propriété Soient P et P deux plans de vecteurs normaux respectifs n et n. P et P sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs n et n sont orthogonaux.