omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré de la longueur de plus grand côté est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l angle droit est l angle opposé au plus grand côté. Le triangle est rectangle en. orthocentre H H est le point d intersection de deux hauteurs du triangle. H est donc l orthocentre Si une droite passe par un sommet du triangle et l orthocentre alors elle est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. les droites (H) et () sont perpendiculaires ercle circonscrit est un point du cercle de diamètre [] Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côtéun diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle et l angle droit est opposé au diamètre du cercle. Le triangle est rectangle en édiane [] est une médiane du triangle Sidansun trianglelamédianeissued unsommetmesurelamoitié du côté opposé Le triangle est rectangle en et = = = lors ce triangle est rectangle. édiatrice = Si un point est équidistant des extrémités d un segment () est la médiatrice de [] = alors il est sur la médiatrice d un segment donc () est perpendiculaire à () 1
omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? tangente à un cercle La droite D est tangente au cercle Si une droite est tangente en à un cercle de centre O (D) et () sont perpendiculaires D au point. alors elle est perpendiculaire à la droite (O) Les droites et sont pa- Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendicu- Les droites et sont perpen- // rallèles. laire à l une diculaires. La droite est perpendiculaire à alors elle est perpendiculaire à l autre. bissectrice d un angle est un point sur la bissectrice de Si un point est surla bissectrice d un angle alors il est équidistant OH=OK D K1 l angle des côtés de cet angle (OH) et (H) sont perpendiculaires (OK) et (H) sont perpendiculaires
omment démontrer que deux droites sont parallèles? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) parallèle à si deux droites sont parallèles à une même troisième, etsontparallèlesentreelles // // et est parallèle à alors elles sont parallèles perpendiculaire à si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, et sont parallèles et est perpendiculaire à alors elles sont parallèles entre elles réciproque de Thales Si et N sont deux tri- D après la réciproque du théorème de Thales. lors on a ( N)//() 1,5 N 0.8,5 angles avec : est un sommet commun [],N [] = N On peut aussi remplacer la dernière condition par = N
1 Le théorème de Pythagore Théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l angle droit. Si est rectangle en alors = +. est un sommet commun [],N [] lors on a (N)//() = N On peut aussi remplacer la dernière condition par = N La trigonométrie Utilisation : alculer la longueur d un côté connaissant les deux autres. Réciproque : Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. Si est égal à + alors est rectangle en. Utilisation : Démontrer qu un triangle est rectangle.,5 1,5 Dans un triangle rectangle, on a les relations trigonométriques suivantes : ôté opposé de α sin(α) = Hypothénuse ôté adjacent de α cos(α) = Hypothénuse ôté opposé de α tan(α) = ôté adjacent de α Exemple : sinâ = Exemple : cosâ = Exemple : tanâ = Le théorème de Thalès Théorème : Si deux triangles ont un sommet commun et des côtés appartenant à la même droite ou parallèles, alors les mesures des côtés des deux triangles sont proportionnels. Si et N sont deux triangles avec : est un sommet commun [],N [] lors on a = N = N (N)//() N (N)//() Réciproque : Si deux triangles ont un sommet commun, deux côtés respectivement appartenant à la même droite et de longueur proportionnelles, alors les deux autres côtés sont parallèles. Si et N sont deux triangles avec : 1,5 N 0.8,5
Les droites remarquables dans un triangle. Les hauteurs..1 édiatrices La médiatrice d un segment passe par le milieu de ce segment et est perpendiculaire à ce segment. H La hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire à son côté opposé. H Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes. L intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes. L intersection des hauteurs est l orthocentre. Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets.. Les bissectrices. Les médianes La médiane d un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et le milieu de son côté opposé. J K G La bissectrice d un angle est la droite qui coupe l angle en deux angles de même mesure. Ω L // Propriétés dans le triangle : Les trois médianes d un triangle sont concourantes. Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes. L intersection des bissectrices est le centre du cercle inscrit. L intersection des médianes est le centre de gravité du triangle. 5